淺談類比教學(xué)在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

左曉虹 左澤龍

（1.三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 三門峽 472000；2.盧氏縣徐家灣中學(xué)，河南 盧氏 472200）

1 類比教學(xué)應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性

邏輯學(xué)中的類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象在某些屬性上相同，推斷出它們在另外的屬性上（這一屬性已為類比的一個對象所具有，另一個類比的對象那里尚未發(fā)現(xiàn)）也相同的一種推理。[1]類比推理的結(jié)構(gòu)，可表示如下：A 有屬性a、b、c、d，B 有屬性a、b、c，所以，B 有屬性d。縱觀古今中外，我們?nèi)祟惖倪M(jìn)步似乎與類比有著密切練習(xí)，比如牛頓把蘋果和行星進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)了萬有引力；魯班把樹葉與木工的工具相類比，發(fā)明了鋸子；而光波概念的提出者，荷蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家赫爾斯坦·惠更斯曾將光和聲這兩類現(xiàn)象進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們具有一系列相同的性質(zhì)：如直線傳播、有反射和干擾等，又已知聲是由一種周期運動所引起的、呈波動的狀態(tài)，由此，惠更斯做出推理，光也可能有呈波動狀態(tài)的屬性，從而提出了光波這一科學(xué)概念。惠更斯在這里運用的推理就是類比推理。

類比教學(xué)法是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常用的一種教學(xué)方法，在教學(xué)中通過新舊知識的類比，利用已有的舊知識，揭示新知識的本質(zhì)所在，幫助學(xué)生找出新舊知識之間的相同點和不同點，從而達(dá)到掌握知識的目的。[2]數(shù)學(xué)中應(yīng)用類比的教學(xué)案例很多，也都是多數(shù)教師常用的教學(xué)手法。這一方法之所以被廣泛接受和應(yīng)用，必然有其獨特的一面，這甚至是無可替代的。針對初級中學(xué)的學(xué)生，在熟知其認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，這一慣用方法毫無疑問的起到了事半功倍的良好效果。中學(xué)生習(xí)慣于記憶，并擅長記憶，但是這也會影響著后期的學(xué)習(xí)能力。類比教學(xué)的意義就在于打破常規(guī)的“死教死學(xué)”模式，從而得到啟發(fā)學(xué)生的目的。作為教師的我們在課堂教學(xué)中應(yīng)該積極主動探尋類比教學(xué)方法并付諸于行動。

2 類比教學(xué)應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性

2.1 平面與空間的類比教學(xué)

平面與空間的類比對于研究初等幾何圖形有著極其重要的意義。初等幾何含蓋了四個方面，即點、線、面、體。每一個層面的學(xué)習(xí)都關(guān)系并影響著其他層面。而類比的方法可以將這幾個層面有機地結(jié)合起來，從而形成蜘蛛網(wǎng)式的知識體系。平面中的相關(guān)推理適用于發(fā)展立體幾何的研究，而立體幾何的理論知識也可以準(zhǔn)確檢驗平面幾何，這又相輔相成的促進(jìn)了平面與空間之間的統(tǒng)一，相得益彰。在日常教學(xué)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)幾乎所有的平面都可以作為推理論證立體幾何的基礎(chǔ)和工具，反之亦然。

在概念教學(xué)中中學(xué)生接觸平面圖形是從三角形、四邊形開始的，如果孤立地去理解與記憶這些圖形概念，會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個負(fù)擔(dān)，但從概念的定義形式上看，這一部分概念的定義形式是相似的，通過這些概念之間的類比，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。例如，三角形、四邊形、多邊形概念分別為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形；由在同一平面且不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形；由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做多邊形。從概念的定義形式上來看，是對一類圖形條件的限制，形式上是一致的，不同之處，一是三角形定義中沒有“在同一平面”，二是組成線段條數(shù)，其他都是相一致的。通過這樣的類比，學(xué)生能從一個新的角度與高度對這三個概念進(jìn)行認(rèn)識與理解，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。在此概念掌握的基礎(chǔ)上，正方體、長方體等等概念掌握起來就容易多了。

在性質(zhì)教學(xué)中，拿立體幾何的教學(xué)來說，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：圓可類比為球，正方形呢，長方形呢，平行四邊形呢，三角形呢，從而使學(xué)生自主類比：正方形可類比為正方體，長方形可類比長方體等，教師繼續(xù)重點引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系和相關(guān)數(shù)量關(guān)系等角度分析正方形和正方體有哪些類似的特征，使學(xué)生初步體會從升維的角度該考慮從哪些方面入手尋找兩類對象的相似特征，并從三角形的類比對象出發(fā)引出例題，在例題尋找類比對象、推測四面體性質(zhì)和探尋驗證方向三個層面的類比過程中，使學(xué)生感知類比推理發(fā)在現(xiàn)新結(jié)論、提供思考和證明問題的思路與方向的作用。再比如在對容器容積和體積探究中，在學(xué)生學(xué)習(xí)了正方體的體積是棱長的三次方，長方體的體積是長寬高之積，圓柱體的體積是地面面積與柱高之積之后，教師進(jìn)而大膽引導(dǎo)學(xué)生推斷任何規(guī)則的立體圖形的體積是其底面積與高的乘積。

2.2 數(shù)與形的類比教學(xué)

數(shù)與形的類比推動著代數(shù)的發(fā)展，數(shù)形結(jié)合思想更是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法之一，數(shù)形結(jié)合其實也是一種類比，在教師講述函數(shù)及其圖像的時候都會給學(xué)生們或多或少的灌輸這一方法，而事實上中學(xué)生尤其是初中生的認(rèn)知能力是有限的，作為老師如何去正確引導(dǎo)很關(guān)鍵。在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時候，好多教師給學(xué)生的口訣：“正一三，線上升；負(fù)二四，線下降”（一次項系數(shù)是正數(shù)，則圖像呈現(xiàn)上升趨勢；一次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，則圖像呈現(xiàn)下降趨勢）；“正正不過四，正負(fù)不過二，負(fù)正不過三，負(fù)負(fù)不過一”（當(dāng)一次項系數(shù)是正數(shù)，并且常數(shù)項是正數(shù)的時候，圖像不經(jīng)過第四象限；當(dāng)一次項系數(shù)是正數(shù)，常數(shù)項是負(fù)數(shù)的時候，圖像不經(jīng)過第二象限；當(dāng)一次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，常數(shù)項是正數(shù)的時候，圖像不經(jīng)過第三象限；當(dāng)一次項系數(shù)和常數(shù)項均為負(fù)數(shù)的時候，圖像不經(jīng)過第一象限）。這些口訣就是數(shù)與形類比的案例。實踐檢驗證明，這樣的類比不僅僅便于記憶，而且出錯率很低，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)試，也有助于提高學(xué)生的歸類總結(jié)能力。而在講授和探討二次函數(shù)的時候，學(xué)生們會以此為借鑒進(jìn)行獨立思考，教師類比一次函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)相關(guān)知識輕松掌握。

數(shù)與形的類比現(xiàn)象和具備類比條件的實例很多，通過與形的類比推斷相關(guān)數(shù)的性質(zhì)，也可以通過數(shù)的類比得出形的相關(guān)性質(zhì)。例如通過向量、長度等概念的引入賦予所研究對象的幾何意義，進(jìn)而通過幾何直觀尋求解決問題的方法。例如在講“勾股定理”時，教師可以結(jié)合《幾何原本》著作的結(jié)論并繪圖說明：“在一個直角三角形中，在斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和”。

3 初等數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的類比教學(xué)

類比教學(xué)除了單獨用于某學(xué)科，也可用于學(xué)科之間，從而增加了學(xué)科之間的緊密聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)文化知識的積極性，并感知學(xué)科間的微妙關(guān)系。從美學(xué)角度講平面與空間的類比可以達(dá)到藝術(shù)家們想要的效果，形成藝術(shù)品。學(xué)生可以通過嘗試圖形的“神奇”變換產(chǎn)生愉悅心情，進(jìn)一步促進(jìn)對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

初等數(shù)學(xué)中的一條三角形定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，也即根本不存在一條邊大于其他兩邊之和的三角形。這個數(shù)學(xué)原理被一位科學(xué)家成功地運用到社會科學(xué)領(lǐng)域。他認(rèn)為，歷史上如果三個割據(jù)勢力并存，就形成了三足鼎立，這是一種比較穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。如果強者侵犯了弱者，被侵犯的弱者就會與另一個弱者聯(lián)合起來。結(jié)盟之后，兩邊之和大于第三邊，穩(wěn)定的三足結(jié)構(gòu)就不會被破壞。只有當(dāng)強者的力量超過了兩個弱者之和，三國鼎立的局面才會結(jié)束。這位科學(xué)家利用類比推理表達(dá)自己的思想，使抽象的道理具體化，使論述更加形象，收到了良好的表達(dá)效果。如果數(shù)學(xué)老師可以在講此定理時結(jié)合中國歷史講講三國；歷史老師同樣可以在講三國時對比數(shù)學(xué)的這條定理；政治老師分析當(dāng)前國際形勢時也可拈來此定理作比喻，那課堂一定是愉悅的，學(xué)生一定是喜歡的。

正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進(jìn)?！薄邦惐仁谦@得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！鳖惐茸鳛橐环N推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理，它是某種類型的遷移性和相似性的推理方式，應(yīng)用類比，可以在兩個不同的知識領(lǐng)域之間實行知識的過渡，因此，人們常常把類比方法譽為理智的橋梁，是信息轉(zhuǎn)移的橋梁。教師通過類比教學(xué)，使學(xué)生在達(dá)到相應(yīng)教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，能深刻體會到數(shù)學(xué)是生動的、有趣的，數(shù)學(xué)的本質(zhì)并非僅僅是解決問題，更重要的是發(fā)現(xiàn)問題。同時讓學(xué)生逐步培養(yǎng)利用類比的思想處理一些數(shù)學(xué)問題和生活問題。當(dāng)然在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質(zhì)上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質(zhì)不同的問題。

［1］曹為民.類比法在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用[J].赤峰教育學(xué)院學(xué)報，2001(01).

［2］黃勤新.淺談類比教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)教學(xué)參考，2012(26).

［3］李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].高等教育出版社，1995.