金麗萍

摘 要：數(shù)學(xué)教育歷史悠久，教學(xué)模式推陳出新，在新課標(biāo)的改革下，又創(chuàng)造了多種多樣的新模式。隨著對教學(xué)模式研究的不斷深入，教師也更加明確沒有一種教學(xué)模式可以成為固定模板，可以通用于所有數(shù)學(xué)課。因為每一堂課都有自身的特點，以“三角形的內(nèi)角和”為例，打造了屬于這堂課的“RPR教學(xué)模式”。第一步，通過邏輯推理，推導(dǎo)出直角三角形的內(nèi)角和是180°；第二步，通過動手操作的環(huán)節(jié)，驗證銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是180°；第三步，通過課外知識的拓展——法國數(shù)學(xué)家帕斯卡的發(fā)現(xiàn)，再次用邏輯推理法鞏固三角形的內(nèi)角和就是180°。

關(guān)鍵詞：教學(xué)模式；推理；實踐；三角形；內(nèi)角和

一、背景分析

中小學(xué)的教材中均有“三角形內(nèi)角和定理”，即“三角形的內(nèi)角和是180°”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第二學(xué)段4～6年級圖形的認(rèn)識中，對“三角形的內(nèi)角和”提出了這樣的目標(biāo)：“通過觀察、操作，了解三角形內(nèi)角和是180°。”而在第三學(xué)段7～9年級圖形的性質(zhì)中，提出的教學(xué)目標(biāo)是：“探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。”顯然，“了解”和“證明”是有區(qū)別的。了解是指能夠從具體實例中知道或能夠舉例說明“三角形內(nèi)角和是180°”的特征，而證明則要根據(jù)確實的材料判明“三角形內(nèi)角和是180°”的真實性。

基于新課標(biāo)對不同學(xué)段的不同目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計過程中，就要依據(jù)教學(xué)目標(biāo)來完成課堂教學(xué)。在小學(xué)階段，需要學(xué)生了解這一規(guī)律，但并非是直接告訴學(xué)生結(jié)論，而是通過學(xué)生猜想、觀察、操作等數(shù)學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°。

二、教材分析

何為教材，顧名思義，即教學(xué)材料。教材是完成教學(xué)任務(wù)的依據(jù)，是教學(xué)過程的支架。為了上好“三角形的內(nèi)角和”這一堂課，筆者橫向比較了蘇教版、北師大版和人教版三種版本的教材。

通過對三種版本教材的剖析，筆者有以下幾點思考：

第一，更傾向于北師大版和人教版的安排，對于三角形的內(nèi)角和，學(xué)生最基礎(chǔ)的探究方法是量一量、算一算，但在蘇教版中并無體現(xiàn)。但蘇教版有一個知識點是其他版本不具備的，即導(dǎo)入時，有理論知識的鋪墊，可以讓學(xué)生更快進(jìn)入角色。

第二，北師大版的引入比較卡通化，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，人教版的設(shè)計比較直接。相對而言，北師大版的探究方法更具多樣性。

第三，三種版本都同樣重視“拼一拼”的探究方法，其實這不僅僅是一種方法，更是一種轉(zhuǎn)化思想的滲透。

通過教材對比以及對其他課輔材料的深入研究，確定本次教學(xué)重點是探索和發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°，并能利用這一知識去解決相關(guān)問題。而難點是如何去證明三角形的內(nèi)角和是180°，主要依據(jù)浙師大版的探究方法。

三、“RPR教學(xué)模式”的構(gòu)建

（一）理論依據(jù)

研究表明，10歲孩子的左右大腦前額皮層發(fā)育完善，孩子的天性開始消退；相反，大腦抑制能力加強(qiáng)；思維能力的發(fā)展處在轉(zhuǎn)折期，推理能力開始形成；培養(yǎng)思維的獨立性和發(fā)散性在四年級尤為關(guān)鍵。所以在這節(jié)課的設(shè)計上，我特意設(shè)計了兩次邏輯推理的環(huán)節(jié)，有意識地培養(yǎng)孩子的思維以及推理能力。

（二）模式構(gòu)建

“三角形的內(nèi)角和”采用了新的教學(xué)模式，比上面兩種情況更為科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)——“RPR教學(xué)模式”。到底什么是“RPR教學(xué)模式”？即Reasoning（推理）—Practice（實踐）—Reasoning（推理）三部曲。如圖所示：

（三）優(yōu)勢呈現(xiàn)

與傳統(tǒng)教學(xué)模式相比，“RPR教學(xué)模式”多一次推理，從表面上看，這次推理使整堂課的結(jié)構(gòu)更嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容更飽滿。但從深層次挖掘，可以更好地鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，更重要的是第一次推理為實踐過程進(jìn)行鋪墊，而第二次的推理為實踐過程進(jìn)行升華，“RPR教學(xué)模式”使課堂更加緊湊，學(xué)生思維鍛煉強(qiáng)度更大。

四、實踐與探索

（一）課堂前測 深入分析

1.前測調(diào)查情況

下面是我對班內(nèi)40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的統(tǒng)計結(jié)果：

2.調(diào)查結(jié)果分析

通過前測，我了解到以下三點：

第一，“三角形的內(nèi)角”雖然是一個新的概念，但是通過已有的知識經(jīng)驗，95%的學(xué)生已經(jīng)能夠準(zhǔn)確表達(dá)，所以在設(shè)計教學(xué)過程時，老師只需用一句話帶過。

第二，三角形的內(nèi)角和是180°，全班有45%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確說出來，而42.5%的學(xué)生卻說出了其他答案。通過分析，主要原因是題目1中有一個具體的三角形，大部分學(xué)生都想到了用量角器去量一量，由于不可避免的誤差，以致學(xué)生回答出了五花八門的內(nèi)角和度數(shù)。說明在眾多的驗證方法中，量一量的方法是最基礎(chǔ)的?；趯W(xué)生的回答，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的時候，我把測量的方法放在了最前面。

第三，除了測量和根據(jù)三角板計算的方法，還有學(xué)生想到了拼一拼的方法，看看是不是一個平角，能夠想到這個方法，學(xué)生的思維算是比較活躍的。所以在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，我先把問題拋給學(xué)生，除了測量的方法，你還有其他辦法來驗證嗎？

（二）教學(xué)初試 產(chǎn)生困惑

1.發(fā)現(xiàn)問題

（1）巧妙設(shè)疑，揭示課題

在導(dǎo)入部分，我設(shè)計了以下六個問題：

①出示長方形，問這是什么？（長方形）

②你們還記得長方形有幾個角嗎？（4個）

③每個角是多少度？（90°）

④所以長方形的內(nèi)角和是？（360°）

⑤課件演示，將長方形對角線等分，所得圖形的內(nèi)角和是多少度？（180°）

⑥再繼續(xù)等分呢？

此時學(xué)生的思維產(chǎn)生碰撞，有的學(xué)生認(rèn)為是90°，也有的學(xué)生說還是180°，然后揭題，今天我們就來探究“三角形的內(nèi)角和”。

（2）操作交流，探究知識

①初步猜想

讓學(xué)生拿出自己的三角板，經(jīng)歷算一算，拼一拼更大的三角形等過程，猜想三角形的內(nèi)角和是多少度。

②測量驗證

師：怎樣驗證三角形的內(nèi)角和到底是不是180°呢？你們有什么好辦法嗎？

生：量一量。

現(xiàn)在每個小組都有形狀不同的3個三角形。請小組合作，完成活動記錄表。

學(xué)生反饋測量的結(jié)果，并說說你發(fā)現(xiàn)了什么？

教學(xué)片段一：

師：通過測量，你發(fā)現(xiàn)了什么？（三角形的內(nèi)角和有180°，也有不是180°）

師：請你觀察這些內(nèi)角和不是180°的，你發(fā)現(xiàn)他們都和180°很？（接近）

師：對呀，其實三角形的內(nèi)角和是180°，只是測量的時候會出現(xiàn)？（偏差）

師：是的。不同的量角器會有誤差，測量的時候也有誤差，如一個80°的內(nèi)角，有同學(xué)量出來是80°，有同學(xué)量出來是81°，所以測量結(jié)果并非十分精確?，F(xiàn)在你知道三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？（可能是180°，或者接近180°。）

學(xué)生的答案讓我很詫異，不是已經(jīng)很清楚地說明了測量時是有誤差的嗎？答案的呈現(xiàn)不應(yīng)該是齊刷刷的一句“三角形的內(nèi)角和是180°”嗎？但還是有學(xué)生說“接近180°”，確實結(jié)果是學(xué)生自己親自動手測量的，所以對于自己測量出來的答案早已根深蒂固，對于誤差，學(xué)生還是不太能接受。

③拼接驗證

師：同學(xué)們，剛才我們測量的過程中，由于誤差的存在，并不能說不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°，那你還有其他辦法嗎？

請小組交流合作，請生匯報。

④課外拓展

法國數(shù)學(xué)家帕斯卡的發(fā)現(xiàn)。

2.引發(fā)深思

通過第一次的教學(xué)，我有了以下幾點思考：

首先，在導(dǎo)入部分，我故意設(shè)計一個“圈套”，讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，當(dāng)學(xué)生的思維產(chǎn)生碰撞時，讓學(xué)生動手操作，經(jīng)歷探究過程去尋找答案。由于課前做過前測，知道大部分學(xué)生都會想到測量的方法，所以課前準(zhǔn)備好三個三角形，鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形各一個，讓學(xué)生來量一量，在量之前，一定要著重強(qiáng)調(diào)操作的規(guī)范性。反饋的時候，跟我預(yù)設(shè)的一樣，有180°的，也有接近180°的，

課后，我一直在思考，怎樣才能更好地解決誤差這個問題。是否應(yīng)該在操作前給學(xué)生一些暗示？但又不能直接告訴他們，這讓我對本節(jié)課產(chǎn)生了新的困惑。

（三）挖掘教材 解決問題

1.初次推理

當(dāng)我再次翻閱教本時，我發(fā)現(xiàn)練習(xí)十四中的第12題的第（2）小題，求長方形和正方形的內(nèi)角和，這道題目對于學(xué)生而言，即使沒有學(xué)過三角形的內(nèi)角和，也是會求的，因為長方形和正方形的內(nèi)角都是直角，90°×4=360°，但是教本的思路肯定是讓學(xué)生分割成兩個三角形，然后180°×2=360°。突然腦海中蹦出一個想法，既然已知三角形的內(nèi)角和就能求長方形和正方形的內(nèi)角和，那如果知道長方形的內(nèi)角和，豈不是能將它分割成兩個直角三角形，也能推出直角三角形的內(nèi)角和？而且在我的教學(xué)設(shè)計中，本來就是用長方形導(dǎo)入的，如果能用長方形來推出直角三角形的內(nèi)角和是180°，教學(xué)環(huán)節(jié)更加緊扣，而且讓學(xué)生的探究過程更加充實，多了一種探究方法。更重要的是這樣的探究方法是沒有任何誤差的。所以在第二次的教學(xué)過程中，我改變了教學(xué)過程，讓學(xué)生先用邏輯推理法，得到直角三角形的內(nèi)角和是180°。

例如，12.（1）用線段分別連接長方形、正方形一組對角的頂點，分別把長方形、正方形分成了兩個什么圖形？

（2）長方形和正方形的內(nèi)角和各是多少度？

教學(xué)片段二：

課件出示各種形狀的長方形和正方形：

師：同學(xué)們，今天老師請來了我們的老朋友，它們是？（長方形和正方形）

師：你們還記得長方形和正方形有幾個角嗎？（4個）

師：很好，我們就把這四個角稱之為“內(nèi)角”，那你們知道長方形和正方形的內(nèi)角和是多少度嗎？（360°）

師：你是怎么知道的？（一個內(nèi)角是90°，4個內(nèi)角就是90°×4=360°）

師：是不是所有的長方形和正方形的內(nèi)角和都是360°呢？

（是的）

課件演示將所有正方形和長方形等分，變成

師：看，老師將它等分，現(xiàn)在我們得到了什么？（直角三角形）

師：那直角三角形內(nèi)角和是多少度呢？（180°）

師：你是怎么知道的？（長方形和正方形的內(nèi)角和是360°，進(jìn)行等分后，就是360÷2=180°）

師：那這5個直角三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？（是的）

課件演示 變成

師：好，老師將這個由正方形等分所得到的直角三角形繼續(xù)等分，我們又得到了什么？（更小的直角三角形）

師：那你知道這個直角三角形，它的內(nèi)角和是多少度嗎？為什么？

生1：90°，因為180°÷2=90°。

生2：還是180°。上面的角和下面的角都是直角等分的，所以都是45°，45°+45°+90°=180°。

師：你聽明白了？誰能再來說一遍。

師：如果老師將這個直角三角形繼續(xù)等分，請問它的內(nèi)角和是多少度？（還是180°）

課件呈現(xiàn)大小不一、形狀不同的直角三角形。

師：通過推導(dǎo)，你現(xiàn)在知道大屏幕上的直角三角形內(nèi)角和都是？（180°）

師：因為它們都可以由長方形或者正方形？（等分得到）

通過邏輯推理法，學(xué)生很好地推出直角三角形的內(nèi)角和就是180°，沒有任何誤差。此時再來猜測銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是多少度時，學(xué)生的心中已經(jīng)潛意識地認(rèn)識到銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。當(dāng)然，在學(xué)生動手操作的時候還是應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)操作要求，本著科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度進(jìn)行操作，不得湊數(shù)，不得弄虛作假。不可否認(rèn)，測量出來的結(jié)果還是會有誤差存在，但是因為有了直角三角形的內(nèi)角和是180°的鋪墊，再向?qū)W生解釋內(nèi)角和接近180°，是因為誤差的存在，學(xué)生顯得更難接受。

2.動手實踐

教學(xué)片段三：

師：同學(xué)們，剛才我們測量的過程中，由于誤差的存在，并不能說不是所有的三角形內(nèi)角和都是180°，那你還有其他辦法嗎？

師：同學(xué)們，那現(xiàn)在老師給你們一點小小的提示，好嗎？請你想想看，我們能不能試著將這三個內(nèi)角放到一塊去呢？

請小組交流合作，請生匯報。

為了使探究方法多樣化，除了量一量的方法，我們還應(yīng)該灌輸給學(xué)生一種轉(zhuǎn)化的思想，將這三個內(nèi)角轉(zhuǎn)換為一個平角，即三角形的內(nèi)角和就是180°。最后通過老師的指導(dǎo)，學(xué)生呈現(xiàn)了以下三種方法。

3.再次推理

其實早在300多年前，帕斯卡就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一種“0誤差”的邏輯推理法去驗證三角形的內(nèi)角和，在前面兩個環(huán)節(jié)的鋪墊下，再進(jìn)行課外知識的拓展。對于直角三角形的推導(dǎo)我們已經(jīng)掌握了，主要是在銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)做高，推出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和是180°，雖有一定的難度，但是前面的鋪墊夠扎實，學(xué)生學(xué)起來就不那么費勁了。

五、教學(xué)體會

通過本次教學(xué)，筆者有以下幾點思考。

（一）培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力

RPR教學(xué)模式中，三部曲的每一個環(huán)節(jié)都在努力培養(yǎng)學(xué)生的能力，第一步，邏輯推理法，順利推導(dǎo)出直角三角形的內(nèi)角和是180°。第二步，測量法，通過量一量，推出銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是180°，并且運用轉(zhuǎn)化的思想，把三個角放在一起，轉(zhuǎn)化成一個平角，同樣推出三角形的內(nèi)角和是180°。在整個過程中，學(xué)生的動手能力得到了鍛煉。第三步，進(jìn)行課外知識的拓展，即法國數(shù)學(xué)家帕斯卡的發(fā)現(xiàn)。整個探究過程，收放自如，也提供給了學(xué)生較大的自我發(fā)揮的空間，較好地鍛煉了學(xué)生的思維能力。

（二）開啟新教學(xué)模式

推理、實踐、再推理的教學(xué)模式并非通用于所有數(shù)學(xué)課，但是在動手實踐的課堂上，這樣的過程還是非常扎實的。如果沒有理論知識的鋪墊，學(xué)生直接動手操作，可能會有一定的盲目性，所以最好有一定的理論知識的灌輸，然后再動手實踐，但是往往實踐的過程是有誤差存在的，所以再一次用理論知識進(jìn)行分析，最終獲得結(jié)論。通過這樣的三部曲，所得到的知識在學(xué)生心中將更加根深蒂固。

（三）推廣應(yīng)用

本次探討是以“三角形的內(nèi)角和”為例的，而“RPR的教學(xué)模式”既然是一種模式，自然可以推廣應(yīng)用。雖然它不能適用于所有的課堂，但是圖形幾何方面的課堂還是非常值得研究和探討的，例如“平行四邊形的面積”“多邊形的內(nèi)角和”等等。新的教學(xué)模式，自然有不成熟的地方，這需要慢慢磨煉，步步完善。

參考文獻(xiàn)：

張苾菁.從實踐操作到思想點化：《三角形的內(nèi)角和》教學(xué)有感[J].小學(xué)教育教學(xué)，2011（04）.

編輯 李建軍