伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

張平平

摘要：伴隨矩陣在矩陣中占有重要地位，因此，總結(jié)伴隨矩陣的性質(zhì)及其相關(guān)應(yīng)用對(duì)學(xué)習(xí)線性代數(shù)有很大幫助。本文就是帶著這個(gè)目的出發(fā)，首先總結(jié)一下伴隨矩陣的性質(zhì)，然后用例子的形式來(lái)說(shuō)明伴隨矩陣的相關(guān)應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：伴隨矩陣；逆矩陣；行列式

中圖分類號(hào)：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）36-0195-02

設(shè)n階方陣A=

a的行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式A所構(gòu)成的如下矩陣：A=稱為矩陣A的伴隨矩陣，簡(jiǎn)稱伴隨陣。這個(gè)定義可以在文獻(xiàn)[1]中找到。由伴隨矩陣的定義及轉(zhuǎn)置矩陣的定義，很容易得到下面的性質(zhì)：（A）=（A），其中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。由于矩陣kA的（i，j）元的代數(shù)余子式為：

（-1）=

kA，因此，（kA）=kA.

由伴隨矩陣的定義及矩陣的乘法運(yùn)算馬上有下面的性質(zhì)成立：AA=AA=AE （1）

其中E為n階單位矩陣。

若n階方陣A是非奇異的，即A≠0，此時(shí)矩陣A是可逆的。由（1）得A=A=E

結(jié)合逆矩陣的定義，有A=，

即A=AA，其中A表示矩陣A的逆矩陣。

若n階方陣A是非奇異的，此時(shí)矩陣A是可逆的，由（1）得A=A=E

由矩陣逆的定義知：（A）= （2）

同時(shí)對(duì)（1）兩邊同時(shí)取逆，根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)有：（A）A=

即有（A）= （3）

結(jié)合（2）、（3）得到伴隨矩陣的如下性質(zhì)：（A）=（A）

若對(duì)（1）兩邊同時(shí)取行列式，由行列式的相關(guān)性質(zhì)可得：A

A=A

E=A （4）

對(duì)于（4）式，若A≠0，則有

A=A

若A=0，由（1）得，AA=O （5）

此時(shí)假設(shè)

A≠0，則矩陣A可逆，在等式（5）兩邊同時(shí)右乘（A）得A=O.

由伴隨矩陣的定義得A=O，從而有

A≠0矛盾，于是有，若A=0必有

A=0.居于以上分析，我們很容易得到下面的性質(zhì)：

A=A.

設(shè)矩陣A為一n階方陣，現(xiàn)總結(jié)其伴隨矩陣的性質(zhì)如下：

（1）（A）=（A）；（2） （kA）=kA；（3） AA=AA=AE； （4）

A=A.

此外，若A還是可逆矩陣，則有如下性質(zhì)成立：

（5）A=AA； （6） （A）=；

（7）（A）=（A）.

下面舉例來(lái)說(shuō)明伴隨矩陣性質(zhì)的應(yīng)用。

例1：設(shè)A為4階方陣，A=，求

3A

-4A。

解：由伴隨矩陣的性質(zhì)（5）得，3A+2A=3×AA-4A=-3A，從而有

3A

-4A=

-3A=

3A=3

例2：設(shè)A為4階方陣，且A的伴隨矩陣的行列式

A=8，求

A

+A。

解：由伴隨矩陣的性質(zhì)（4）得A=

A=8，從而有A=2；再結(jié)合性質(zhì)（5）得：

A

+A=

+A=（）

A=.

例3：設(shè)A為n階方陣，證明A+（A）是對(duì)稱矩陣。

證明：由性質(zhì)（1）得：（A+（A））=（A）+（（A））=（A）+（（A））=（A）+A=A+（A）.

從而，A+（A）為對(duì)稱矩陣。

以上是伴隨矩陣一些非?；镜男再|(zhì)，只有掌握這些最基本的性質(zhì)，才能探討其更深層次的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013：38.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013：52.