例談高中生立體幾何解題能力的培養(yǎng)

王其文

高中立體幾何的難度和復雜性較中學平面幾何相比有較大提高，對學生的抽象思維能力和空間想象力提出較高的要求。在新課改背景下，教師必須結合高中立體幾何的教學實踐，引導學生從多角度看待例題幾何問題，幫助學生找到解題突破口。教師必須不斷完善自身的教學素養(yǎng)，增強學生對空間點線面、三視圖以及空間位置關系的判定的理解。

一、幾何概念教學

概念是數學知識的基礎，也是學生實現對數學知識實踐應用的前提。立體幾何涉及大量的幾何概念知識、性質、定理等。概念教學切忌死記硬背，教師必須從理解的角度出發(fā)，結合圖形、文字、符號進行真題訓練教學。尤其是在空間關系、空間角、空間幾何體的概念教學中，通過采用幾何真題進行概念訓練可以有效強化學生對幾何概念的理解。

【例1】設直線m與平面a相交但不垂直，則下列說法正確的是（ ）

A.在平面a內有且只有一條直線與直線m垂直

B.過直線m有且只有一個平面與平面a垂直

C.與直線m垂直的直線不可能與平面a平行

D.與直線m平行的平面不可能與平面a垂直

【分析】本題考查的是學生對立體幾何中空間直線與平面的位置關系問題。對于A，過直線與平面的交點，我們必然可以找到一條直線與直線m垂直。于是，平面a中任一平行于該直線的線都與直線m垂直，則A選項錯誤。對于B，在直線m上取一點作平面a的垂線，這兩條直線確定的平面即與平面a垂直，則B正確。由A選項中的推論可知，必然存在直線與平面a空間平行，則C錯誤。對于D，我們若是將B中構建的平面進行前后平移，構造出與直線m平行的平面，且該平面必然與a垂直，則D錯誤。

從長期的實踐教學出發(fā)，我認為通過綜合性概念題的訓練，可以有效地幫助學生理解立體幾何的概念，這也是進行立體幾何證明與推斷的敲門磚。

二、灌輸解題方法

古語云，授之以魚不如授之以漁。只有學生掌握了立體幾何的解題方法，他們在以后空間的證明與判斷上才會更加得心應手。我認為，向量與立體幾何有著密不可分的聯(lián)系，向量是解決立體幾何問題的有效手段之一。

【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點。

（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB。

【分析】拿到本題后，學生們首先嘗試運用立體幾何的線位關系進行證明，幾經嘗試后無果。此時，我們必須利用向量的知識，將幾何證明轉換成向量計算，這是高中幾何常見的求解方法之一。首先，我們以線段DA、DC、DP所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立空間直角坐標系，并設AD=a。于是我們可以得到各點的坐標，D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、G（0，a，0）、E（a， ，0）、F（ ， ，

）。然后，要證明EF⊥CD，即相當于證明 =0。于是，利用向量乘法原理，我們可得（- ，0， ）·（0，a，0）=0，即可證得EF⊥CD。對于第二問，我們不妨設出點G（x，0，z）。于是可得 =（x- ，- ，z- ）。由題中所給條件可知，要使直線GF⊥平面PCB，只需要有 =0 、 =0。即是（x- ，- ，z- ）·（a，0，0）=a（x- ）=0，解得x= 。再由（x- ，- ，z- ）·（0，-a，a）= +a（z- ）=0，解得z=0。綜上，我們可以得到G點的坐標為（ ，0，0），G點就是AD中點。

三、非常規(guī)思維教學

在高考中，立體幾何題常常會作為試卷壓軸題出現。對此，我們有必要針對立體幾何解題中的非常規(guī)思維展開教學，鼓勵學生開闊思維、勇于創(chuàng)新，為高考解題節(jié)省寶貴的時間。尤其是在立體幾何角度、距離、面積的計算中非常規(guī)思維常常會對解題起到意想不到的效果。

【例3】在四面體ABCD中，設AB=1，CD= ，直線CD與AB的距離為2，夾角為 ，則四面體ABCD的體積為多少？

【分析】對于本題，若是直接求解四面體的體積固然難以實現，因此，我們需要利用非常規(guī)思維進行轉化求解。

作線段BE與CD平行且相等，再連接DE、AE。此時，我們將四面體轉換成四棱錐A-BCDE，也可以看成兩個三棱錐A-BCD和A-BDE。由于底面BCDE 為平行四邊形，則三棱錐A-BCD和A-BDE的底面積與高相等，則他們對應的體積也必然相等。于是我們可以得到：VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE= S△BDE·h = AB·BE·sinABE·h= 。在本題中，我們采用的補全法，將四面體轉換成四棱錐。在高中立體幾何解題中，教師必須注意對這些特殊思維方法的教學，從而不斷提高學生的發(fā)散性思維能力。

總之，概念、方法、思維是解決立體幾何的三大利器。從長期的教學實踐角度看，我們既要加強概念的教學，更要強化學生開放性思維的教學，只有實現了教、學、練的有機結合，高中立體幾何教學才會不斷取得進步。

（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學）endprint