利用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)

繆志興

【中圖分類號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）12-0162-01

高中物理是一門綜合性比較高的學(xué)科，尤其是與數(shù)學(xué)學(xué)科的交叉應(yīng)用比較多，大量應(yīng)用到一些數(shù)學(xué)中的處理技巧與方法。應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力是高考考綱所列的五種能力之一，學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究物理問題也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。本文以斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)為例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用。

例：從傾角為θ的斜面上A點(diǎn)，以初速度V0沿水平方向拋出一個(gè)小球，落在斜面B上，求：從拋出到落到斜面上時(shí)，小球離斜面的最遠(yuǎn)距離。

【解法一】平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式和推論

從拋出點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t小球與斜面的距離最在；如圖1所示，當(dāng)小球的速度V與斜面平行時(shí)，小球離斜面距離達(dá)到最遠(yuǎn)，即此時(shí)速度與水平面的夾角為θ。此時(shí)=tanθ=，則t=

作速度的反向延長線，交初速度方向的延長線交于M點(diǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)論：M點(diǎn)為水平位移的中點(diǎn)，所以，小球距離斜面的最大距離：

MN=AMsinθ=sinθ=v0tsinθ=v0sinθ=

【解法二】運(yùn)動(dòng)的分解

如圖2所示，將平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0和加速度g沿著斜面和垂直于斜面分解，在垂直于斜面方向vx=v0 sinθax=gcosθ小球做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，平行于斜面方向vx=v0cosθ vy=v0sinθ小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

所以，當(dāng)小球在垂直于斜面方向的速度減為0的時(shí)，小球距離斜面最遠(yuǎn)。

hmax==

【解法三】解析幾何法

（1）切線方程法

由于做平拋運(yùn)動(dòng)的小球的數(shù)學(xué)解析式為：x=vot y=gt則做平拋運(yùn)動(dòng)的小球的解析式為： y0=同理可設(shè)斜面0A的解析式為y1=xtanθ

如圖3，將直線OA沿y軸方向向上移動(dòng)b個(gè)單位，得到一個(gè)新的解析式為：y2=xtanθ-b。

當(dāng)y2與y0只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，xtanθ-b=即-xtanθ+b=0由于方程只有一個(gè)解，所以△=（tanθ）-4×=0則b=最大高度h=bcosθ==

（2）點(diǎn)到直線距離法

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式：xtanθ-y=0，拋物線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是（x0，）則點(diǎn)到直線的距離d==cosθx-將x0視為未知數(shù)，剛dmin=cosθ·==

【解法四】平面幾何法

如圖4所示，取平拋運(yùn)動(dòng)過程中一點(diǎn)A，過A點(diǎn)作水平線與斜面分別交于C、D兩點(diǎn)。過A點(diǎn)作斜面的垂線交斜面于B點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，AC sinθ=AB，若AC越大，則AB也越大。

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：AD=v0t CD==

則AC=AD-CD=V0t-，可將其看成關(guān)于時(shí)間t的二次函數(shù)。

當(dāng)t=-=時(shí)，AC有最大值

ACmax==則ABmax=ACmax·sinθ=