力學(xué)中一個趣味問題的討論

楊星宇

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系北京100875)

摘 要：在3維空間和n維空間中，當(dāng)一個質(zhì)點受到某一確定質(zhì)量和密度物體的最大引力時，對該連續(xù)分布物體的形狀進行物理分析和數(shù)學(xué)運算可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物體對質(zhì)點有最大引力時，物體表面任意質(zhì)量元對質(zhì)點的引力在引力合力方向上的分量都相等，而且在3維空間中物體的形狀并非球形.

關(guān)鍵詞：萬有引力定律n維空間最值問題物體形狀

收稿日期：(2015-02-25)

對于3維空間中一個連續(xù)分布的物體，在質(zhì)量和密度都保持不變的情況下，它具有什么樣的形狀時才會對一個質(zhì)點產(chǎn)生最大的引力呢？會是球形嗎？對于n維空間中的物體情況又如何呢？下面分別進行討論.

1對3維空間中物體形狀的討論

1.1質(zhì)點受力最大時 對物體形狀定性討論

若以質(zhì)點所在位置為原點，質(zhì)點所受引力合力的方向為極軸方向(即極角θ=0),建立球坐標(biāo)系(r,θ,φ),其中r∈[0,+∞)，θ∈[0,π]，φ∈[0,2π)，則物體上的任意一點可由坐標(biāo)(r,θ,φ)確定，物體表面可由函數(shù)r=R(θ,φ)描述.

要使質(zhì)點的受力最大，物體的形狀應(yīng)具有以下特性：

(2)物體形狀具有旋轉(zhuǎn)對稱性，繞極軸旋轉(zhuǎn)任意角度對稱，故物體表面函數(shù)簡化為r=R(θ)

“對稱性原理”[1]:原因中的對稱性必反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對稱性至少有原因中的對稱性那樣多.由牛頓第三定律可知，物體對質(zhì)點有最大引力時，質(zhì)點對物體也有最大引力.現(xiàn)在考慮質(zhì)點對物體的引力，由萬有引力定律可知，質(zhì)點產(chǎn)生的引力場以質(zhì)點為球心成球?qū)ΨQ分布.不妨設(shè)物體為流體，物體受質(zhì)點引力場作用，考慮到特性1的要求，當(dāng)其受力最大時，可知物體形狀具有繞合力方向(即極軸方向)的旋轉(zhuǎn)對稱性.

1.2質(zhì)點受力最大時 對物體形狀定量計算

設(shè)該連續(xù)分布的物體質(zhì)量為M,密度為ρ且都保持不變，質(zhì)點的質(zhì)量為m.

在球坐標(biāo)系中，物體體積和質(zhì)點所受引力合力的大小分別為

令

R1(cosθ)=R(θ)t=cosθ

可得

由變分法[2]，解得

即

畫出函數(shù)圖像如圖1所示，該曲線不是半圓.

圖1

圖2

由對稱性可知，引力合力方向沿極軸正方向.

2對n維空間中物體形狀的討論

2.1質(zhì)點受力最大時 對物體形狀定性討論

以質(zhì)點所在位置為原點，質(zhì)點所受引力合力的方向為θ1=0所在軸(可稱其為主軸)的正方向，建立n維超球坐標(biāo)系[3](r,θ1,θ2,…,θn-2,φ),其中r∈[0,+∞),θi∈[0,π],φ∈[0,2π)，故物體上任意一點可由n維坐標(biāo)(r,θ1,θ2,…,θn-2,φ)確定，物體表面由函數(shù)r=R(θ1,θ2,…,θn-2,φ)描述.

與前文分析論述同理可得，要使質(zhì)點的受力最大，物體的形狀應(yīng)具有以下特性：

(2)物體形狀具有旋轉(zhuǎn)對稱性，繞主軸旋轉(zhuǎn)任意角度對稱，故物體表面函數(shù)簡化為r=R(θ1).

2.2質(zhì)點受力最大時 對物體形狀定量計算

將萬有引力公式推廣到n維空間

設(shè)該連續(xù)分布的物體質(zhì)量為M,密度為ρ,且都保持不變，質(zhì)點的質(zhì)量為m.

在n維超球坐標(biāo)系中，物體體積和質(zhì)點所受引力合力的大小分別為

其中dRnV為n維超球坐標(biāo)系中的體積元

dRnV=rn-1sinn-2(θ1)sinn-3(θ2)…

sin(θn-2)drdθ1dθ2…dθn-2dφ

令

R1(cosθ1)=R(θ1)t=cosθ1

sin(θn-2)dθ2…dθn-2dφ

可得

由變分法[2]，解得

即

其中

此時，物體對質(zhì)點有最大的引力.

3結(jié)論

3.1在3維空間中的結(jié)論

在3維空間中，物體對質(zhì)點有最大引力時，物體表面在球坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式滿足如下關(guān)系

為常量，這表明，當(dāng)物體對質(zhì)點有最大引力時，物體表面任意質(zhì)量元Δm對質(zhì)點m的引力Fr在引力合力方向上的分量Fz都相等.

3.2在n維空間中的結(jié)論

在n維空間中，物體對質(zhì)點有最大引力時，物體表面在n維超球坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式滿足如下關(guān)系

由上式可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物體對質(zhì)點有最大引力時，物體表面任意質(zhì)量元對質(zhì)點的引力在引力合力方向上的分量都相等.

3.3在2維空間中的結(jié)論

如果從n維空間退化到2維空間，那么當(dāng)物體對質(zhì)點有最大引力時，物體“表面”在平面極坐標(biāo)系中的表達(dá)式滿足如下關(guān)系

容易發(fā)現(xiàn)，上式就是極坐標(biāo)系中圓的表達(dá)式.

故若物體是2維物體，物體對質(zhì)點有最大引力時，物體的形狀是“球形”，不過此球形是2維空間的球形，即圓.

參 考 文 獻(xiàn)

1趙凱華.定性與半定量物理學(xué).北京：高等教育出版社，1991.33

2歐斐君.變分法及其應(yīng)用：物理、力學(xué)、工程中的經(jīng)典建模.北京：高等教育出版社，2013.47～65

3StewartJ.Calculus:ConceptsandContexts[M].3rded.BROOKSCOLEPublishingCompany，2006:881

DiscussiononanInterestingMechanicalQuestion

YangXingyu

(DepartmentofPhysics,BeijingNormalUniversity,Beijing100875)

Abstract:Through physical analysis and mathematical operations on the shape of a continuous distribution object with constant mass and density in three-dimensional space and n-dimensional space respectively, find a conclusion: when the resultant gravity of the object on a given particle is maximal, the component of gravity on the given particle of any particle with euqal mass in the object′s surface in the direction of the resultant gravity is equal, and the shape of the object is not sphericity in three-dimensional space.

Keywords:thelawofuniversalgravitation;n-dimensionalspace;maximumorminimumproblem;objectshape