吳熙婷

（廈門市華僑中學(xué)）

一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課引起的四問反思

吳熙婷

（廈門市華僑中學(xué)）

從數(shù)學(xué)活動(dòng)課《探究四點(diǎn)共圓的條件》的前期準(zhǔn)備與課堂實(shí)踐，揣摩對教材文本的解讀方式和課堂詮釋的具體策略，通過問題反思，梳理對數(shù)學(xué)活動(dòng)目的達(dá)成的積極因素，促成學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體悟與積淀。

活動(dòng)；問題；定位；資源

數(shù)學(xué)活動(dòng)課是課程結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要部分，是指以在教學(xué)過程中構(gòu)建具有教育性、創(chuàng)造性、實(shí)踐性的學(xué)生主題活動(dòng)為主要形式，以激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)實(shí)踐、主動(dòng)思考、主動(dòng)探索、主動(dòng)創(chuàng)造為基本特征，以促進(jìn)學(xué)生整體素質(zhì)全面提高為目的的一種新型教學(xué)觀和教學(xué)形式。

同一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，一千個(gè)老師，便將有一千個(gè)解讀方式和詮釋的策略，來影響一千個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與積淀。從初三數(shù)學(xué)活動(dòng)課《探究四點(diǎn)共圓的條件》的前期準(zhǔn)備與課堂實(shí)踐中，真切感受一句話：事非經(jīng)過不知難，事非經(jīng)過不知“道”。道是一個(gè)首和一個(gè)走之底組成的，聯(lián)合起來就表示“從頭開始行走”。對數(shù)學(xué)活動(dòng)課的研究還未成型，的確需要教師從頭開始行走啟程，展開對教材內(nèi)外資源的揣摩與探究。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)課的定位

問題1：數(shù)學(xué)活動(dòng)課怎樣不會(huì)流于形式？

“數(shù)學(xué)活動(dòng)課”即數(shù)學(xué)+活動(dòng)，活動(dòng)的生成層次、學(xué)生主體的覆蓋面都是反映活動(dòng)課教學(xué)特征的重要維度，決定“活動(dòng)”是只走了形式，還是“走心”走到學(xué)生心里去，學(xué)生真正獲得研究方法的習(xí)得。

（一）活動(dòng)課不等同于常規(guī)新授課

新授課的內(nèi)容主要包含數(shù)學(xué)概念、定理、法則等的形成、推導(dǎo)，并應(yīng)用在解決問題，穿插活動(dòng)是它的學(xué)習(xí)方法之一，而不是主題。而數(shù)學(xué)活動(dòng)課更多的應(yīng)該是要提供給學(xué)生一個(gè)探究的步驟：一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論當(dāng)初是從何而來的，它的過程和方法可能、可以是什么樣子的？如本節(jié)課的探究途徑設(shè)計(jì)：定研究對象—畫實(shí)例特例—抓特征要素—篩選核心條件，學(xué)生有一個(gè)親身的體驗(yàn)和直觀的借鑒。在《探究四點(diǎn)共圓的條件》中，定研究對象選擇的是四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，不是平面內(nèi)隨意分散的任意圖形上的四點(diǎn)，這保證了研究對象的純粹性；接著，不斷地嘗試畫實(shí)例（四邊形）、特例（特殊的平行四邊形），抓特征要素：從四邊形的基本元素—邊、角、對角線進(jìn)行特征的分析，在不斷地尋找—否決—再尋找—再否決的活動(dòng)過程中，篩選獲得真正的核心條件。

（二）數(shù)學(xué)活動(dòng)課不等同于復(fù)習(xí)課或超綱課

復(fù)習(xí)課將割裂的章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行整體性的串聯(lián)建構(gòu)，使知識(shí)鏈系統(tǒng)化，綜合運(yùn)用，提煉思想方法。數(shù)學(xué)活動(dòng)課經(jīng)常都在章末附上，但它也不應(yīng)該是復(fù)習(xí)課或者超綱知識(shí)的補(bǔ)充課，因?yàn)樗凶约邯?dú)特的意義所在。因此，本節(jié)課活動(dòng)一的舊知復(fù)習(xí)和活動(dòng)五的共圓的模型應(yīng)用都放在課下，課上只做快速的回顧，只為活動(dòng)的必備認(rèn)知和技能做一個(gè)鋪墊和延伸。數(shù)學(xué)活動(dòng)課的生活信息素材或者數(shù)學(xué)事實(shí)資料以及活動(dòng)課所生成的結(jié)論，都只作為展開數(shù)學(xué)活動(dòng)的載體。相對于活動(dòng)本身，超綱的活動(dòng)結(jié)論不是學(xué)生真正需要的東西，兩者間顯然是授之于“漁”或是“雜魚”的區(qū)別。

二、數(shù)學(xué)活動(dòng)課的進(jìn)入角度

問題2：基于教材載體，怎樣為數(shù)學(xué)活動(dòng)課尋找篩選恰當(dāng)?shù)乃夭馁Y源，更好地與活動(dòng)的切入點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來？

（一）數(shù)學(xué)猜想的發(fā)散

猜想總是很發(fā)散的，要怎么收攏呢？第一稿中筆者曾考慮怎么讓學(xué)生去猜想“四點(diǎn)共圓的條件”會(huì)是“角”的方向？曾設(shè)計(jì)了一個(gè)圍繞圓周角的性質(zhì)——圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，反之撤掉圓的背景，對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)會(huì)落在同一個(gè)圓上；又如“同弧所對圓周角相等”基本圖形，反之，若共一邊的兩個(gè)三角形公共邊所對的角相等，則這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)也共圓等等。這其實(shí)也就是圓周角的性質(zhì)定理和它的逆向猜想。這樣的設(shè)計(jì)，可能受到的影響來自于曾經(jīng)學(xué)過的平行線的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和判定、特殊四邊形的性質(zhì)和判定等等教材章節(jié)。作為數(shù)學(xué)課程改革基本思路指導(dǎo)下，以創(chuàng)新課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)方式為方向的活動(dòng)課，太過明確而顯得狹隘的猜想，或者活動(dòng)已經(jīng)失去了開始的探究創(chuàng)新意義。因此，活動(dòng)課的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)與教材的整體建構(gòu)是有所不同的，學(xué)生個(gè)體的差異性是促成基于活動(dòng)過程獲得猜想的全面性和獨(dú)特性的自然起點(diǎn)。

具體地說，為什么本節(jié)課最終的結(jié)論是關(guān)于“對角”的？在活動(dòng)的開始，首先引導(dǎo)四邊形的要素是什么？學(xué)生會(huì)回憶，一般是看邊、看角、看對角線！那么為四點(diǎn)共圓選擇條件時(shí)，邊的角度出發(fā)為什么不提？對角線為什么不說？這就是得到數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，不可也不該繞道回避的真正問題。從特殊圖形出發(fā)尋找共性條件，特例從哪里開始，比如為什么從平行四邊形開始？可不可以從矩形開始？學(xué)生也可以從正方形開始，因?yàn)樗鼡碛衅叫兴倪呅沃械淖顝?qiáng)條件。學(xué)生無論從哪里進(jìn)入，一切基本元素具備的圖形特征皆有可能是四點(diǎn)共圓的條件之一。

（二）數(shù)學(xué)猜想的收攏

在具體的教材資源處理上，如本節(jié)課在畫實(shí)例特例的篩選時(shí)，若畫圖已發(fā)現(xiàn)矩形可以四點(diǎn)共圓，那正方形作為更特殊的矩形，也可以四點(diǎn)共圓；經(jīng)常會(huì)與矩形比照的四邊形是菱形，發(fā)現(xiàn)菱形不可以四點(diǎn)共圓，作為存在的反例，那么平行四邊形就不一定四點(diǎn)共圓了等等，這樣將特殊四邊形之間進(jìn)行關(guān)聯(lián)性的思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)原來教材上提供的6個(gè)基本圖形頓時(shí)就鮮活生動(dòng)起來，所以教材的處理真的是一門大學(xué)問，學(xué)生從中可發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇妙之處，鍛煉邏輯推理能力。

數(shù)學(xué)活動(dòng)課多以閱讀材料的形式給出，篇幅很有限，開放度卻高。因此活動(dòng)課備課難度較大，它的“難”很大程度上在于怎樣從無到有，為數(shù)學(xué)活動(dòng)課尋找、篩選恰當(dāng)?shù)乃夭馁Y源。在課前相關(guān)資源收集時(shí)，就曾發(fā)現(xiàn)一大堆的四點(diǎn)共圓的條件，有些屬于高中階段，甚至是競賽范疇內(nèi)的。因此這個(gè)剔除不相干因素的過程也是數(shù)學(xué)活動(dòng)的必經(jīng)之路和重要組成。

三、數(shù)學(xué)活動(dòng)的作業(yè)設(shè)計(jì)

問題3：數(shù)學(xué)活動(dòng)課的作業(yè)可以怎樣設(shè)計(jì)來延續(xù)強(qiáng)化、觀察評估活動(dòng)課的效果？

數(shù)學(xué)活動(dòng)課以學(xué)生活動(dòng)能力的發(fā)展?fàn)顩r為評價(jià)關(guān)注對象，觀察活動(dòng)課對各層次學(xué)生可能發(fā)生的數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值。因此，其課后作業(yè)應(yīng)成為“活動(dòng)”的助力，延續(xù)活動(dòng)的基本路徑，更看重創(chuàng)造力、質(zhì)疑能力，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案，沒有單一的評價(jià)指標(biāo)。

在本節(jié)《探究四點(diǎn)共圓的條件》活動(dòng)課的最后，設(shè)計(jì)拋出新問題，延伸把“活動(dòng)”二字進(jìn)行到底，比如研究目標(biāo)設(shè)置為：有公共邊的兩個(gè)三角形要滿足什么條件能確定四點(diǎn)共圓呢？學(xué)生可以結(jié)合今天的數(shù)學(xué)活動(dòng)流程，自行設(shè)計(jì)從三角形的角度出發(fā)，進(jìn)行大膽的探究：三角形的要素又是什么呢？（如邊、角元素）；什么樣的三角形算得上是三角形的特例呢？特殊三角形都有哪些呢？（如等邊三角形、等腰直角三角形等），學(xué)生自己就可設(shè)計(jì)幾個(gè)特例來簡單、全面地說明判定條件的由來與邊無關(guān)，與公共邊所對的兩個(gè)角有關(guān)系。

四、數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體生成與主導(dǎo)預(yù)設(shè)

問題4：活動(dòng)課上的教師與學(xué)生，主導(dǎo)與主體如何把握？

（一）教師主導(dǎo)預(yù)設(shè)

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)機(jī)把握

活動(dòng)課里的過渡和銜接有賴于老師的引導(dǎo)?；顒?dòng)目的的揭示，活動(dòng)流程指令的清晰度，其實(shí)也是一節(jié)活動(dòng)課充分活動(dòng)的保障。從特殊條件出發(fā)尋找四點(diǎn)共圓的共性條件里，以共同完成一個(gè)圖形的一“畫”（四邊形）二“試”（四頂點(diǎn)可否共圓）三“尋”（四邊形的要素特征）四“斷”（特征與共圓之間的判定關(guān)系是否成立）為示范，可以有意識(shí)地避免學(xué)生停留于光畫圖嘗試，不經(jīng)歷猜想思辨，迷失活動(dòng)目標(biāo)，造成活動(dòng)課無序的情況，保證活動(dòng)課的前進(jìn)與深入。活動(dòng)重心從什么地方開始，包括每畫一個(gè)圖形便分析一個(gè)圖的特征，判斷特征的作用，追問學(xué)生對條件的分解，觀察學(xué)生活動(dòng)的進(jìn)展，促成學(xué)生的活動(dòng)成果加工梳理，通過思維導(dǎo)圖橫向比對，先把圖形畫出來再全部羅列分析，需要老師的伺機(jī)推動(dòng)與有效組織。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)課的細(xì)節(jié)

活動(dòng)課的起點(diǎn)基于學(xué)情，活動(dòng)中的細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)同樣服務(wù)于學(xué)生活動(dòng)的便捷。本節(jié)課里，為什么共斜邊的兩個(gè)直角三角形組合的四邊形教學(xué)設(shè)計(jì)用坐標(biāo)定位？因?yàn)橛捎^察坐標(biāo)可迅速獲得線段（邊）長度，再由勾股定理逆定理獲得最長邊所對的角是直角；為什么用格點(diǎn)圖作為背景素材？為了避免學(xué)生隨意作圖可能造成的較大誤差，誤導(dǎo)活動(dòng)基于圖形得到的猜想結(jié)果，方格紙的標(biāo)準(zhǔn)化，可以直觀、快速給予參考。教師要設(shè)計(jì)活動(dòng)中有用、好用的活動(dòng)工具。

（二）學(xué)生主體生成

1.學(xué)生在活動(dòng)中的獨(dú)立性

學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和生成資源就是最好的課堂資源?；顒?dòng)課重視學(xué)生個(gè)人獨(dú)立嘗試，比如尋找得到的條件之間的重復(fù)、包含、比對需要學(xué)生進(jìn)行觀察研究、思辨整理。學(xué)生的思考方式與教師思維的相異性是客觀存在的，因此，拘泥于既定的活動(dòng)途徑是數(shù)學(xué)活動(dòng)課堂的大忌。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生自己選擇不同的方向去探索，能在活動(dòng)過程中更深層次地沉浸其中，在創(chuàng)新性的活動(dòng)過程和出乎意料的成果中獲得不一樣的喜悅和期待。

2.學(xué)生在活動(dòng)中的合作性

活動(dòng)課在大致確定研究對象后，也可分組分工，學(xué)生的交往與碰撞或可獲得意料外的火花。不同組討論不同圖形進(jìn)行共享，避免重復(fù)研究，最后的結(jié)論或更充分完整。在最后梳理時(shí)讓學(xué)生之間去表達(dá)互相質(zhì)疑，操作效果會(huì)更好，因?yàn)檎f的學(xué)生要想得明白才能說得明白，互相說的過程達(dá)到活動(dòng)課的不同思維的碰撞。

顧廣林.初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010（9）.

·編輯張珍珍