吳躍

【內(nèi)容摘要】數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學思想，實際上包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面，其在簡化某些數(shù)學問題方面具有巨大的優(yōu)越性，同時也可以將抽象的數(shù)學知識變得形象生動，尤其適用于函數(shù)與平面解析幾何方面數(shù)學知識的求解中。本文以數(shù)形結(jié)合思想為研究對象，就其在高中數(shù)學中的應用進行了探究。

【關鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)形結(jié)合 應用

數(shù)形結(jié)合思想實際上就是借助數(shù)量與圖形二者關系的轉(zhuǎn)化來幫助學生找到解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想。數(shù)學知識本身比較枯燥、乏味，并且對學生邏輯思維要求比較高，所以學生學習起來有一定的困難。而數(shù)形結(jié)合思想在教學中運用可以使抽象、復雜的數(shù)學知識變得生動、形象，有利于降低學生分析和理解有關數(shù)學問題的難度，提高學生的解題能力。

一、以數(shù)化形，使抽象數(shù)據(jù)圖形化

數(shù)量關系是數(shù)學語言中一類常見的數(shù)學知識，但是學生在理解那些抽象性比較高的數(shù)量關系時可能有一定的難度，無法形成深刻地理解和認識，學習效果不理想。理論上來講，“數(shù)”與“形”之間大都具有很強的對應關系，所以針對抽象、復雜的“數(shù)”方面的內(nèi)容，數(shù)學教師可以將其對應轉(zhuǎn)化成“形”來幫助學生更好地觀察、分析和理解這些“數(shù)”的具體內(nèi)容，提高學生解決有關問題的能力。在高中數(shù)學教學的過程中，平面、立體以及解析幾何等方面的數(shù)學知識大都可以采用數(shù)形結(jié)合思想來實現(xiàn)從“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化。

例如，已知方程|x2-1|=k+1，討論k取值不同時刻的方程個數(shù)。

解析：該方程的求解實際上可以分成兩個函數(shù)：y=|x2-1|和y=k+1，這樣一來，方程解實際上就是兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，從而實現(xiàn)有利于降低解題的難度。下面就該道例題的具體解決步驟進行探討。

解：y=k+1的圖像實際上就是平行于x軸的一系列直線，而y=|x2-1|則表示單一的一元二次函數(shù)，其二者之間的具體位置關系如下圖所示。

由上圖可知：當k<-1時，兩個函數(shù)圖形此時沒有交點，這說明|x2-1|=k+1此時無解；當k=-1時，兩個函數(shù)此時有兩個交點，這說明|x2-1|=k+1方程有兩個解；當-10時，兩個函數(shù)此時有兩個交點，這說明|x2-1|=k+1方程有兩個解。

二、以形變數(shù)，使圖形變化數(shù)據(jù)化

雖然圖形具有直觀、形象的特點，但是在定量方面還是缺乏一定的不足，需要借助數(shù)據(jù)或者代數(shù)公式來加以表達。而在遇到那些比較復雜的圖形問題時候，學生可以合理將有關的圖形進行數(shù)據(jù)化或公式化處理，以幫助學生定量分析和了解圖形的變化特征，針對題目中所給出的各種已知條件，將圖形或幾何的意義和性質(zhì)以相應的數(shù)學定理或公式來用代數(shù)式加以表達，從而更好地得出相關圖形計算公式的條件與結(jié)論。

例如：已知f（x）=x2-2ax+2，當x在[-1，+∞]間取值時，f（x）>a恒成立，對a的取值范圍進行探討。

解析：有題目可知，當x在[-1，+∞] 間取值時f（x）>a恒成立，所以可知x2-2ax+2-a>0在[-1，+∞]范圍中也恒成立，所以g（x）=x2-2ax+2-a此時處于x軸的上方，具體如上圖所示。由于此時該不等式恒成立，所以可得出以下兩個結(jié)論：當△=4a2-4（2-a）<0，可知參數(shù)a的取值范圍為（-2，1）；當△=4a2-4（2-a）≥0的時候，g（-1）>0，a<-1，此時參數(shù)a的取值范圍為（-3，1）。

由此可知，針對某些求取具體值的數(shù)學問題，圖形無法直接的表述出來，而如果可以將圖像轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，則可以提高學生解題的速率。

三、數(shù)形互變，使數(shù)與形共同作用

數(shù)形互變實際上不單單指以數(shù)變形或者以形變數(shù)，而是指二者的互相變換來達到解決有關數(shù)學問題的目的。通過在數(shù)與形之間找到二者交互的共同點來幫助學生從已知數(shù)學公式與結(jié)論入手，詳細分析數(shù)學題目中給出的數(shù)和形方面的互變條件，從而幫助學生將那些復雜抽象的數(shù)學問題形象化、具體化、簡單化，進而達到解決問題的目的，尤其是針對那些復雜的綜合性應用題，數(shù)學教師更需要引導學生靈活運用數(shù)與形的關系。

例如，在講解“三角函數(shù)”部分數(shù)學知識的時候，數(shù)形結(jié)合思想的運用在教學中具有重要的意義。針對函數(shù)y=Asin（wx+φ）+b的圖像變化方面的教學知識，為了可以使學生直觀地觀察A、w、φ和b等參數(shù)變化對于對應圖形的實際影響。數(shù)學教師可以借助幾何畫板來幫助學生演示各個參數(shù)變化后圖形的對應變化，具體主要為：（1）y=sinx；（2）y=sin（x+1）；（3）y=sin（x+1）+4。幾何畫板具有強大的動態(tài)展示功能，教師只需要將A、w、φ和b等參數(shù)按照上述內(nèi)容進行分別賦值即可使學生直觀地觀察到各個參數(shù)變化對于函數(shù)圖形變化的影響，深化學生對于函數(shù)圖形的理解和認識，增強學習效果。

總之，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學思想，其在高中數(shù)學教學中的應用可以使抽象復雜的數(shù)學知識變得生動、形象，有利于降低學生理解的難度，拓展學生的思維，提升學生的解題能力。因此，在實際高中數(shù)學教學中，數(shù)學教師要合理引入數(shù)形結(jié)合思想，以不斷提升學生解決數(shù)學問題的能力。

（作者單位：甘肅省迭部縣高級中學）