羅 垚

（武漢大學動力與機械學院 武漢 430072）

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平行軸圓柱線圈互感計算的新方法

羅 垚

（武漢大學動力與機械學院 武漢 430072）

摘要運用倒數距離在圓柱坐標中的一種解耦展開公式，提出了以變形Bessel函數和變形Struve函數表示的平行軸圓柱線圈互感的新表達式。隨后進一步對所得表達式進行了漸近展開以利于數值計算。數值計算表明，變形Bessel函數和變形Struve函數的單調性有利于提高平行軸圓柱線圈的互感計算效率，尤其對于徑向較厚的扁線圈或圓盤線圈。相對于同樣準確度的計算結果，提出的方法較已有的方法快1～2個數量級，而這些已有方法采用的是振蕩的Bessel和Struve函數。最后，對于共面圓環(huán)提出了一種以Gauss超幾何函數表達的閉式解，該解的正確性亦由數值計算確認。

關鍵詞：互感 變形Bessel函數 漸近展開

0 引言

對于近年來興起的無線能量傳輸系統(tǒng)，其核心部分大量采用平行軸圓柱線圈[1-3]，而圓柱線圈的互感值是無線能量傳輸效率的重要因素，故準確而高效的圓柱線圈互感計算方法具有重要的實用價值。文獻[4]中已有近似公式對這一問題進行處理，但這些公式較為復雜且準確度不高，求解時往往需要借助專門繪制的曲線和數表。此外，純數值方法（FEM，BEM等）則難以對電磁場問題進行逆向求解（例如給定互感值求線圈的幾何參數），因而對圓柱線圈互感問題的解析或半解析處理是極為必要的。在無線能量傳輸系統(tǒng)的實際應用中，兩互感線圈不可能總保持同軸，對此一般采用文獻[5]中給出的平行軸圓柱線圈計算公式。在文獻[5]中，圓柱線圈的互感首次以Bessel函數Jn（x）及Struve函數Hn（x）準確解出。此法將兩圓柱線圈的相對方位分為三種情況并得出了五個不同的公式來完整描述兩個線圈相對方位的所有可能情形。此法比以往任何公式都更為簡潔，并尤其適用于求解具有較小徑向參數和較大軸向參數的線圈互感。兩線圈各幾何參數如圖1所示。

圖1　平行軸矩形截面圓柱線圈側視圖，兩線圈匝數分別為N1、N2，線圈徑向參數為R1～R4及r0,軸向參數為2h1、2h2和z0Fig.1 Side view of two circular coils of rectangular cross section,with the turns of N1and N2,respectively,the radial parameters of R1～R4and r0,the axial parameters of 2h1,2h2and z0

然而，由于文獻[5]中方法的被積函數的徑向參數依賴于非周期振蕩函數Jn（kr）及Hn（kr），而其軸向參數依賴于指數衰減函數e-kh及e-kz0，故此法并不適用于求解具有較大徑向參數和較小軸向參數的線圈互感，但在實際應用中，具有這種幾何特性的線圈（例如圓盤線圈）是被廣泛應用的。同時，若考慮在實軸上單調的變形Bessel函數In（x）、Kn（x）以及變形Struve函數Ln（x），則此種單調性可能有助于互感數值積分的計算。推導以下這種以變形Bessel函數和變形Struve函數表示出的互感表達式并將其計算性能與已有方法進行比較。本文所用到的特殊函數見表1。

表1　本文用到的特殊函數Tab.1 Special functions applied

1 含變形Bessel函數的互感積分公式

限于篇幅，本文在以下推導中僅列出主要步驟。首先考慮兩平行軸圓環(huán)，其半徑分別為r1、r2，分別位于相距z0的平行平面上，且它們的軸間距離為r0。它們之間的互感為[5]

式中，μ0＝4π×10-7H/m為真空磁導率。為了將式（1）寫為含變形Bessel函數In（x）和Kn（x）的表達式，現運用倒數距離展開[6]

式中

且

式中，εn為Neumann因子。在經過一些計算之后可將式（1）的互感表達式變?yōu)?/p>

或

式（5）、式（6）是以下推導各類圓柱線圈互感公式的基礎。

現有兩平行軸單層圓柱線圈（螺線管），其半徑為r1、r2，其他線圈參數可參考圖1。為了計算這兩個線圈間的互感，令式（1）、式（5）和式（6）中的軸向參數，并對z1、z2積分，在簡單的計算之后可得表達式

（1）對r0≥r1＋r2

（2）對0≤r0≤r2-r1

（3）對z0≥h1＋h2

式（7）～式（9）與文獻[7]中給出的結果一致。兩平行軸螺線管的互感即可由式（7）～式（9）的數值積分求得。

設有兩平行軸圓盤線圈，它們可視為h1＝h2＝0的圓柱線圈，其他線圈參數如圖1所示。為了計算這兩個線圈間的互感，對式（1）、式（5）和式（6）的徑向參數r1、r2積分并運用式（10）～式（12）進行積分。

于是可得

（1）對r0≥R2＋R4

（2）對0≤r0≤R3-R2

（3）對徑向參數無任何限制的圓盤線圈

式（12）、式（13）即為含有變形Bessel函數與變形Struve函數的互感表達式。式（15）與文獻[5]中給出的結果一致。兩平行軸圓盤線圈的互感即可由式（13）～式（15）的數值積分求得。

設有兩矩形截面圓柱線圈，其線圈參數如圖1所示。為了計算這兩個線圈間的互感，令式（1）、式（5）和式（6）中的軸向參數，并對z1、z2積分，再對徑向參數r1、r2積分，并由式（10）～式（12），可得

（1）對r0≥R2＋R4

（2）對0≤r0≤R3-R2

（3）對z0≥h1＋h2

兩平行軸矩形截面圓柱線圈的互感即可由式（16）～式（18）的數值積分求得。進一步注意變形Bessel函數I0,1（x）、K0,1（x）及變形Struve函數L0,1（x）的非振蕩特性。實際上，若n≥0，在整個正實軸0 ＜x＜∞上，In（x）及Ln（x）均單調增加而Kn（x）呈指數型單調遞減。因而對比文獻[5]中的表達式，此處將J0,1（x）、H0,1（x）復雜的振蕩性質轉移到振蕩性質非常簡單的三角函數上，這種轉移將有利于數值積分的實行。對兩共面圓環(huán)z0＝0，式（5）或式（6）可被進一步求積為閉式

式中

且

或有

式中

且

式（19）～式（21）與文獻[8]中給出的結果一致，適用于r0＞r1＋r2的情形。式（22）～式（24）則由本文首次給出，適用于0≤r0＜r2-r1的情形。另外，式（19）及式（22）的解析延拓亦適用于軸向參數重疊的情形，即當r2-r1＜r0＜r1＋r2時它們的實部均收斂于積分式（1）的值。

2 對以上結果的漸近處理

為了加快平行軸圓柱線圈的互感積分求積速度，已得到含有變形Bessel函數和變形Struve函數的互感積分表達式。然而在大多數通用數值計算軟件（如Matlab、Mathematica）中，對Struve函數Hn（x）和變形Struve函數Ln（x）并未進行優(yōu)化處理。為了進一步提高互感積分的數值計算速度，現對式（10）～式（12）中引入的函數u、v和w進行漸近近似。

若x≥0，則對x→∞有[9]

當ν＝n，n為整數時，有[9]

因此

從而得到當k→∞時

同理，當k→∞時可得

類似地，可由x→∞時

得到當k→∞時

式（29）、式（30）和式（32）中的級數收斂很快，取前p項時，余項誤差為，n＝0,1。在以下對第1節(jié)推出的廣義積分進行數值求積時，對被積參數k較大的區(qū)間可由式（29）、式（30）和式（32）對被積函數中的u、v和w進行代換。這一漸近處理將使數值計算速度進一步提高并保證所需計算的準確度。

3 數值計算

式（7）～式（9）的正確性已被文獻[7]中的實驗所證實，故此處不再對其進行驗證。首先對平行軸圓盤線圈互感公式（13）～式（15）進行數值驗證。計算平臺為CPU工作頻率3.4GHz的個人計算機。兩線圈參數取為：R1＝0.5m，R2＝1m，R3＝1.5m，R4＝2m，該計算將對歸一化互感值M/（N1N2）實行。計算時令漸近展開式中p＝9。結果見表2。ta、tb分別為文獻[5]方法和本文所述方法得出表2第三列同一結果時的計算耗時。由該表可見本文所述方法在絕大多數情況下比文獻[5]方法快，在r0較大的情況下可比文獻[5]方法快1個數量級。另外，表2也顯示在r0較小而z0較大的情形，文獻[5]方法更為適用，因在此種情形文獻[5]中公式所含因子e-kz0將迅速衰減從而加快數值積分速度。

表2　本文方法與文獻[5]中方法對兩平行軸圓盤線圈互感的計算性能比較Tab.2 Performance of the mutual inductance for two disk coils of parallel axes evaluated with the proposed method and that in Ref.[5]

（續(xù)）

表3　本文方法與文獻[5]中方法對兩平行軸矩形截面圓柱線圈互感的計算性能比較Tab.3 Performance of the mutual inductance for two short thick coils evaluated with the proposed method and that in Ref.[5]

（續(xù)）

接下來驗證兩平行軸矩形截面圓柱線圈互感表達式（16）～式（18）的正確性。計算如下兩線圈間的互感：R1＝0.1m，R2＝0.3m，R3＝0.5m，R4＝0.8m，h1＝0.02m，h2＝0.01m。該計算亦將對歸一化互感值M/（N1N2）實行。計算結果見表3。ta、tb分別為文獻[5]方法和本文所述方法得出表3第三列同一結果時的計算耗時。另外，式（16）～式（18）的適用參數范圍有互相重疊的部分，在這種重疊情形下，ta為含Bessel函數的式（18）的計算耗時，而tb則為含變形Bessel函數的式（16）或式（17）的計算耗時。由該表可見，對徑向較厚的扁線圈，本文所述方法在絕大多數情況下比文獻[5]中方法快，在r0較大的情況下可比文獻[5]中方法快2個數量級。

共面圓環(huán)互感閉式解式（19）、式（22）與式（1）的比較見表4。取R1＝1m、R2＝2m。當1m＜r0＜3m時去掉了式（19）或式（22）所得結果的虛部。結果顯示本文方法與已有方法的計算結果完全一致，也表明了本文閉式解的解析延拓的正確性。式（19）、式（22）的計算幾乎在瞬間完成，因此不需要進一步比較其計算耗時。

表4　本文共面圓環(huán)互感閉式解與文獻[5]中方法的比較Tab.4 Mutual inductance of the coplanar circular loops evaluated with the proposed method compared to that in Ref.[5]

4 結論

若兩平行軸圓柱線圈的徑向參數較大而軸向參數較小，則以已有的Bessel函數及Struve函數積分計算其互感時將非常耗時。然而，對于線圈徑向參數未重疊的情形，運用變形Bessel函數及變形Struve函數的單調性可以得到一種高速高準確度的互感計算方法，此法特別適用于兩線圈的軸間距離大于它們外半徑之和（r0＞R2＋R4）的情形。數值計算實例表明，本文所述方法在多數情況下可將計算效率提高1～2個數量級，并保持很高的準確度。若對以上互感積分的被積函數Hn（x）與Ln（x）進行漸近處理，則其數值計算速度可以進一步提高，同時保證很高的計算準確度。另外，本文方法對矩形截面圓柱線圈的互感僅需三個公式即可包括這兩個線圈之間所有的相對方位，相比而言，文獻[5]則需要五個公式。該方法可以視為對已有的圓柱線圈互感計算方法的一個補充，即對于軸向參數較大而徑向參數較小的線圈（螺線管），宜采用文獻[5]的方法計算互感；而對軸向參數較小而徑向參數較大的線圈（圓盤線圈），宜采用本文提出的方法來計算互感。

致謝：Norway Agder University的J.Conway教授對本文用到的漸近展開式提出了非常寶貴的指導和建議，本文作者在此對其表示衷心的謝意。

參考文獻

[1]Raju S,Wu R,Chan M,et al.Modeling of mutual coupling between planar inductors in wireless power applications[J].IEEE Transactions on Power Electronics,2014,29（1）:481-490.

[2]Acero J,Carretero C,Lope I,et al.Analysis of the mutual inductance of planar-lumped inductive power transfer systems[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2013,60（1）:410-419.

[3]Low Z N,Chinga R A,Tseng R,et al.Design and test of a high-power high-efficiency loosely coupled planar wireless power transfer system[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2009,56（5）:1801-1812.

[4]卡蘭塔羅夫П Л,采伊特林Л А.電感計算手冊[M].北京:機械工業(yè)出版社,1992.

[5]Conway J T.Inductance calculations for circular coils of rectangular cross section and parallel axes using Bessel and Struve functions[J].IEEE Transactions on Magnetics,2010,46（1）:75-81.

[6]Buchholz H.Elektrische und magnetische Potentialfelder[M].Gottingen:Springer,1957.

[7]Hannakam L.Berechnung der Gegeninduktivitat achsenparalleler Zylinderspulen[J].Archiv für Elektrotechnik,1967,51（5）:141-154.

[8]Hannakam L.Praktische Berechnung der gegeninduktivitat zweier kreisf?rmigen Leiterschleifen in allgemeiner Lage[J].Archiv für Elektrotechnik,1980,62（1）:351-357.

[9]Abramowitz M,Stegun I.Handbook of mathematical functions with formulas,graphs,and mathematical tables[M].Washington D C:National Bureau of Standards,1972.

[10]Conway J T.Analytical solutions for the self-and mutual inductances of concentric coplanar disk coils[J].IEEE Transactions on Magnetics,2013,49（3）:1135-1142.

[11]Yao Luo,Chen Baicao.Improvement of selfinductance calculations for circular coils of rectangular cross section[J].IEEE Transactions on Magnetics,2013,49（3）:1249-1255.

[12]Babic S,Sheppard S,Akyel C.The mutual inductance of two thin coaxial disk coils in air[J].IEEE Transactions on Magnetics,2004,40（2）:822-825.

[13]Conway J T.Inductance calculations for noncoaxial coils using Bessel functions[J].IEEE Transactions on Magnetics,2007,43（3）:1023-1034.

[14]羅垚,陳柏超,袁佳歆，等.傾斜軸空心矩形截面圓柱線圈互感計算[J].電工技術學報,2012,27（5）:132-136.Luo Yao,Chen Baichao,Yuan Jiaxin，et al.Mutual inductance calculations of inclined axial air-core circular coils with rectangular cross-sections[J].Transactions of China Electrotechnical Sosiety,2012,27（5）:132-136.

[15]羅垚,陳柏超.空心矩形截面圓柱線圈自感計算的新方法[J].電工技術學報,2012,27（6）:1-5.Luo Yao,Chen Baichao.New method for selfinductance calculations of air-core circular coils with rectangular cross-sections[J].Transactions of China Electrotechnical Sosiety,2012,27（6）:1-5.

[16]Haas H.Ein Beitrag zur Berechnung der Gegeninduktivit?t koaxialer Zylinderspulen[J].Archiv für Elektrotechnik,1975,57（1）:21-26.

[17]Babic S,Sirois F,Akyel C,et al.Mutual inductance calculation between circular filaments arbitrarily positioned in space:alternative to Grover’s formula[J].IEEE Transactions on Magnetics,2010,46（9）:3591-3600.

[18]Watson G N.A Treatise on the theory of bessel functions[M].Cambridge,U.K.:Univ.Press,1944.

[19]Prudnikov A P,Brychkov Y A,Marichev O I.Integrals and series[M].New York:Gordon and Breach,1992.

羅 垚 男，1983年生，博士后，主要研究方向為電磁場解析計算。

E-mail:ostpreussen@qq.com（通信作者）

New Approach for the Mutual Inductance Calculations of the Circular Coils with Parallel Axes

Luo Yao
（School of Power and Mechanical Engineering Wuhan University Wuhan 430072 China）

AbstractA method for calculating the mutual inductance of circular coils with parallel axes is presented by using the modified Bessel and modified Struve functions,which is obtained by the expansion expressions of the reciprocal distance in the cylindrical coordinates.The obtained expressions are further coped with the asymptotic expansions to facilitate the numerical calculations.The monotonicity of the modified Bessel and Struve functions is beneficial to the numerical evaluations of the improper integral,especially in the case of short thick coils or disk coils with large radial distance and small axial distance.The proposed method is several tens to hundreds times faster than the existing method using the oscillatory Bessel and Struve functions,with the same accuracy.Additionally,a closed-form solution of the mutual inductance for coplanar circular loops is given using the Gauss hypergeometric functions,and it is verified by numerical calculations.

Keywords：Mutual inductance,modified Bessel functions,asymptotic expansion

作者簡介

收稿日期2014-01-03 改稿日期 2014-04-21

中圖分類號：TM12；TM153