平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱

□左效平

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平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱

□左效平

一、單點(diǎn)的一次性對(duì)稱，探求變化后點(diǎn)的坐標(biāo)

例1（2015·株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（－3，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______.

分析：坐標(biāo)系中單點(diǎn)的對(duì)稱有三種：關(guān)于x軸對(duì)稱，y軸對(duì)稱和原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的解答，有三種方法：

垂直等距作圖法：

1.過(guò)該點(diǎn)向坐標(biāo)軸引垂線；

2.延長(zhǎng)垂線段，使得延長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度等于已知的垂線段的長(zhǎng)度；

3.此時(shí)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即為所求.

SHAN Chan-juan, LONG Jun-rui, WU Bi-bo, QIN Xiao, MEI Chang-lin, WANG Jiu-sheng, XIONG Lin-ping

規(guī)律法：

兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).

延長(zhǎng)等長(zhǎng)法：

1.連接這個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的線段；

2.延長(zhǎng)線段到新點(diǎn)，使得新點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于所連線段長(zhǎng)；

3.新點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即為所求.

解：應(yīng)該填寫(xiě)的答案是（3，2）.

二、單點(diǎn)的連續(xù)對(duì)稱，探求變化后點(diǎn)的坐標(biāo)

例2（2015·南京）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，－3），作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到點(diǎn)A′，再作點(diǎn)A′關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，得到點(diǎn)A″，則點(diǎn)A″的坐標(biāo)是（____，___）.

分析：運(yùn)用規(guī)律法，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，－3），點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，得到A′的坐標(biāo)為（2，3），由點(diǎn)A″與點(diǎn)A′關(guān)于y軸對(duì)稱，因此點(diǎn)A″的坐標(biāo)是（－2，3）.

解：分別填：－2，3.

三、單點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，探求變化后點(diǎn)的坐標(biāo)

例3（2015·涼山）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（－3，2）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）.

A.（－3，－2）B.（3，2）

C.（2，－3）D.（3，－2）

分析：解決本題可用到如下兩個(gè)結(jié)論：

1.點(diǎn)A（a，b）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)是B，則B的坐標(biāo)為（b，a）.

2.點(diǎn)A（a，b）關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱的點(diǎn)是B，則B的坐標(biāo)為（－b，－a）.

因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y＝x對(duì)稱，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，－3），所以選C.

四、對(duì)稱、平移、計(jì)算綜合

例4（2015·武漢）如下圖，已知點(diǎn)A（－4，2）、B（－1，－2），平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

（2）寫(xiě)出從線段AB到線段CD的變換過(guò)程；

（3）直接寫(xiě)出平行四邊形ABCD的面積.

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律寫(xiě)出C、D坐標(biāo)；

（2）從平移的角度來(lái)說(shuō)明；

（3）點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)相同，故BC∥x軸，同理AD∥x軸.BC長(zhǎng)度可由點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，BC上的高是A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差.

解：（1）C（4，－2）、D（1，2）；

（2）AB沿著B(niǎo)C平移BC長(zhǎng)度得到線段CD；

（3）BC＝4－（－1）＝5，BC上的高為A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差即2－（－2）＝4，所以平行四邊形ABCD的面積為5×4＝20.

插圖：楊明