韋曉

摘要：數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識的精髓，是構(gòu)成高中數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分。長期以來，高中師生就是通過數(shù)學思想和方法的學習與掌握來領(lǐng)悟數(shù)學的真諦，懂得數(shù)學的價值。正是基于這樣的考慮，本文嘗試著通過對高中數(shù)學常用的函數(shù)與方程思想及方法的細致的研究與詳細的闡述，并結(jié)合筆者的教育教學實踐，對高中數(shù)學的函數(shù)與方程思想進行了教學研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學思想；函數(shù)與方程；數(shù)學符號意義

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）04-0103

筆者所任教的學校是一所普通高中，這些學生大多數(shù)數(shù)學基礎(chǔ)較差，由于中考對于函數(shù)與方程思想及數(shù)學符號意義不做重點考查，因此初中數(shù)學教學對此淡化很多，致使很多學生對函數(shù)與方程思想及數(shù)學符號意義知之甚少。這些學生很多來自于農(nóng)村，在初中階段就沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，也沒有掌握科學的學習方法，導(dǎo)致高中階段的數(shù)學學習存在很大問題，如何讓這些學生盡快地適應(yīng)高中學習，歷來都是我們高中數(shù)學教師最為關(guān)心的事情。

因此，認真分析普通高中學生數(shù)學學習困難的原因，并及時采取恰當?shù)拇胧Ω咧薪處焷碚f顯得尤為重要。而函數(shù)與方程思想和數(shù)學符號又是高中數(shù)學的主線，所以如何合理地進行普通高中數(shù)學在函數(shù)與方程思想及數(shù)學符號方面的有效教學成為高中數(shù)學教學要探索的重要課題。

一、數(shù)學思想

對于什么是“數(shù)學思想”，學者們各抒己見：有的人認為數(shù)學思想就是人們對研究數(shù)學對象統(tǒng)一的、本質(zhì)的認知。它不僅包含對數(shù)學本質(zhì)的理解，還包含了對數(shù)學基本特性、數(shù)學對象以及數(shù)學與其他領(lǐng)域、數(shù)學和客觀世界的聯(lián)系的認識，也包含在數(shù)學中創(chuàng)立新的概念、新的理論、新的模型和新的方法的認識。

有部分人認為數(shù)學思想就是數(shù)學觀念，認為數(shù)學觀念是人類用數(shù)學的思維方式來考慮問題、解決問題的自覺意識或者思維習慣，因此數(shù)學思想是用數(shù)學理念為中心的對數(shù)學關(guān)系中最一般規(guī)律的認知。也有部分人認為數(shù)學思想既是對數(shù)學事實與理論的本質(zhì)認識，又是數(shù)學中處理和解決問題的基本觀點，還是對數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本方法的概括。

錢佩玲認為，數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質(zhì)的認識，是從某些特定的數(shù)學內(nèi)容與對數(shù)學的認識中提煉升華的數(shù)學觀點，它在認識過程中被反復(fù)應(yīng)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，它是建立數(shù)學和運用數(shù)學解決問題的一個指導(dǎo)方法。比較以上幾種觀點，它們的相同點是：首先數(shù)學思想是一種理性的認識，是一種“隱性”的知識，因此在數(shù)學概念、原理、方法等理性認識中滲透著的數(shù)學思想方法，它又是對數(shù)學知識的再一步提升、概括后形成的。因此，數(shù)學思想是對數(shù)學概念、方法、原理等“顯性”知識的最本質(zhì)認識。于是，筆者認為數(shù)學思想是數(shù)學活動的指導(dǎo)思想，它是對數(shù)學概念、原理、命題、觀念、法則以及方法的本質(zhì)性認識，它是一種理性的、隱性的、動態(tài)的知識。

二、函數(shù)與方程

羅建宇認為，函數(shù)思想是用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析和解決問題，方程思想是用數(shù)學符號語言組建模型解決問題。鄭一平認為，方程思想是分析變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，通過求解方程或方程組的解，使問題得以解決。王太青認為，函數(shù)不僅是貫穿于中學數(shù)學內(nèi)容的一根主線，還是高考數(shù)學的核心內(nèi)容。函數(shù)與方程思想和方法在近些年的高考中都得到了充分體現(xiàn)，在2009年中也必然有所體現(xiàn)，因此函數(shù)與方程思想和方法的應(yīng)用是尤為重要的。

國外研究表明，其實函數(shù)作為一個備受所有數(shù)學家青睞的概念，它并沒有在產(chǎn)生之后就立刻進入到中小學的數(shù)學教材中。由于函數(shù)概念有它歷史發(fā)展的厚實性，所以決定了絕大部分的自然科學要受到它的支配。而函數(shù)進入數(shù)學教材要歸功于克萊因和貝利的數(shù)學教育改革運動。在一些以克萊因為首的數(shù)學家的倡導(dǎo)下，經(jīng)歷了近一百年的努力，使得函數(shù)概念己成為當今各國學生必修的內(nèi)容。

國外關(guān)于函數(shù)思想的研究主要集中在教學實踐上，發(fā)現(xiàn)許多學生認為變量一直是“變”，而常量也永遠是“?！?，對于變量有時“受制”與常量有時“不常”的問題，往往理解不透，不清楚研究變量必須要通過研究其常量才能實現(xiàn)的道理。這是因為他們還不能運用唯物主義的認識論去看待事物的變化發(fā)展。恩格斯曾經(jīng)是這樣刻畫函數(shù)的：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點就是笛卡兒的變數(shù)。有了這一變數(shù)，運動便進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法便進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微積分也就立刻成為必要的了?！比欢瘮?shù)的思想和方法與變量的思想和方法卻有著緊密的聯(lián)系。

通過以上研究表明：函數(shù)與方程的思想和方法貫穿整個中學數(shù)學教材的始終，它具有極強的生命力，能夠聯(lián)結(jié)眾多的數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)，不僅成為中學數(shù)學的主要內(nèi)容，也成為整個數(shù)學學科的主要內(nèi)容，是中學數(shù)學核心思想方法，對于這一點也得到了國內(nèi)外大多數(shù)數(shù)學教師的認同。在數(shù)學教育的相關(guān)研究中，人們普遍認為，函數(shù)與方程思想的教學，既具有復(fù)雜性，又具有特殊重要性。因此，這種地位和作用上的重要性和學習實踐中的難懂性，也導(dǎo)致了對函數(shù)與方程思想和方法的教學的相關(guān)探討成為理論研究的焦點問題。Shlomo Vinner發(fā)現(xiàn)，對于大多數(shù)學生來說，他們完全把函數(shù)思想認為是一種“公式”。

筆者認為函數(shù)思想是，在教師和學生的參與下，通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)等分析、解決數(shù)學問題，在學生思維中形成的具有一定普適性的、重要的數(shù)學解題技巧、做法和規(guī)律的觀點和方法的統(tǒng)稱。方程思想是，通過構(gòu)造變量間的等式關(guān)系得到方程或方程組，運用方程的特點、性質(zhì)、等價轉(zhuǎn)化的過程等分析、解決數(shù)學問題，在學生思維中形成的常見的、最一般的數(shù)學解題技巧、做法和規(guī)律的觀點和方法的統(tǒng)稱。函數(shù)思想與方程思想是不能割裂的，應(yīng)統(tǒng)稱為函數(shù)與方程思想，是數(shù)學理論、數(shù)學知識的升華。

三、數(shù)學符號

所謂數(shù)學符號意義獲得能力，是指從數(shù)學符號中獲取各種數(shù)學信息的能力。具體地說，數(shù)學符號意義獲得能力是指學習者根據(jù)所掌握的數(shù)學符號系統(tǒng)與組合規(guī)則，通過分析數(shù)學符號的形式和意義，經(jīng)歷識別、聯(lián)想、分析、推理、綜合、表征等思維過程，從數(shù)學符號中獲取各種數(shù)學意義的能力。數(shù)學符號意義獲得能力的核心不是能知道“數(shù)學符號表示什么”，而是能知道“數(shù)學符號意味著什么”，能夠為數(shù)學符號賦予“新生命”，能使“死板、枯燥”的數(shù)學符號變得“生動、有趣”。數(shù)學符號獲得能力除了具有符號意義獲得能力的一般特征外，還具有以下學科特征：

1. 數(shù)學符號感知能力的敏銳性

由于不同數(shù)學分支的數(shù)學符號具有相對獨立性，是自成體系的，使得整個數(shù)學符號系統(tǒng)劃分為不同的數(shù)學符號子系統(tǒng)。除了小部分數(shù)學符號只屬于某個數(shù)學分支外，大部分數(shù)學符號都是多學科共用的。這種現(xiàn)象導(dǎo)致了三類特殊符號：同形同義符號、同形異義符號、異形同義符號。連同符號中大量存在的形似符號、近義符號等使得數(shù)學符號的形式和意義及它們之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系異常復(fù)雜，需要學習者具有更敏銳的感知能力。

2. 數(shù)學符號結(jié)構(gòu)分析能力的細致性

數(shù)學符號除了一般符號所具有的線性結(jié)構(gòu)外，還存在大量的“嵌套”結(jié)構(gòu)和組合結(jié)構(gòu)，因而比其他符號的結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，所蘊含的意義更加多樣，需要更加細致和更大的耐心。在數(shù)學學習中，許多學生由于“粗心大意”，對一些特殊的結(jié)構(gòu)和條件“視而不見”，影響了對數(shù)學問題的解決。

3. 數(shù)學符號意義獲得能力的廣泛性

理論上，對于每個數(shù)學符號，我們都應(yīng)嘗試分析并獲得它的七種意義：基本意義、轉(zhuǎn)換意義、隱性意義、史學意義、美學意義、操作意義和個性化意義，從而使數(shù)學符號所表征的知識與原有認識結(jié)構(gòu)中的知識建立廣泛的聯(lián)系?，F(xiàn)實上，大部分數(shù)學教師和學生往往滿足于獲得數(shù)學符號的一種或兩種意義，只要解決所面對的問題，就再探討數(shù)學符號的其他意義，致使學生感到數(shù)學枯燥、難學。

當前，數(shù)學符號在數(shù)學教學中的作用愈來愈受到重視，但相關(guān)的研究尚處于起步階段。一些學者和教師分別從實證和實踐的角度論證了數(shù)感、符號感、符號意識、數(shù)學語言等在數(shù)學教學中的重要功能，但對數(shù)學語言符號的理論研究相對很少，使得相關(guān)研究具有濃重的經(jīng)驗色彩，對數(shù)學符號、數(shù)學語言、符號意識、符號感等有關(guān)的定義、構(gòu)成要素、理論基礎(chǔ)、實證性研究的科學性等問題都存在很大爭議。本研究嘗試從理論和實踐兩個方面進行了有益的探索，但由于研究條件及個人能力有限，這些問題還有待更深一步的研究。因此，培養(yǎng)學生廣泛的數(shù)學符號意義獲得能力，讓學生樹立從六個維度建構(gòu)數(shù)學符號意義的意識和習慣非常重要。

總之，當前的數(shù)學思想研究是提高學生數(shù)學學習能力的重要途徑，唯有把握了數(shù)學思想，才能進一步提高教學質(zhì)量及學生的數(shù)學水平。但在探索的過程中必定是困難重重的，需要廣大數(shù)學教師一起努力，才能探索出新的領(lǐng)域。

（作者單位：廣西欽州市靈山中學 535000）