虞益鋒 周美琴

[摘要]推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過類比和歸納等推測某些結(jié)果。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視知識間的聯(lián)系與發(fā)散，對于各種算法、規(guī)律、公式等的教學(xué)，應(yīng)該創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理“再創(chuàng)造知識”。促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]類比推理；歸納推理；再創(chuàng)造

推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的知識和具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理。這種推理的途徑是從觀察、實(shí)驗(yàn)人手，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過歸納而作出猜想。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視知識間的聯(lián)系與發(fā)散，對于各種算法、規(guī)律、公式等的教學(xué)，應(yīng)該創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理“再創(chuàng)造知識”，促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展。例如蘇教版五年級（下冊）《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》的教學(xué)。

一、引發(fā)聯(lián)想

1.復(fù)習(xí)

（1）回顧“除法商不變的規(guī)律”

課件出示題目，指名口答。

3÷4=

（3×6）÷（4×6）=

（3÷100）÷（4÷100）=

（3×99999）÷（4×99999）=

提問：剛才計(jì)算時(shí)，有同學(xué)想得特別快，請他們來說說是怎么想的。

指名說說“除法商不變的規(guī)律”。

（2）復(fù)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”

提問：我們知道分?jǐn)?shù)與除法是有關(guān)系的，分?jǐn)?shù)與除法有著怎樣的關(guān)系呢？“3÷4”的商用分?jǐn)?shù)如何表示？

2.引發(fā)推想：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、商不變的規(guī)律推想.分?jǐn)?shù)中可能會有怎樣的規(guī)律？

學(xué)生推想：分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于除法里的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法里的除數(shù)，被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。那么分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小也不變。

二、驗(yàn)證歸納

（一）正例驗(yàn)證

1.教學(xué)例1

談話：我們從認(rèn)識1/2開始打開了分?jǐn)?shù)的大門，今天我們就選擇1/2繼續(xù)研究。1/2的分子和分母同時(shí)乘2得到哪個(gè)分?jǐn)?shù)，1/2的分子和分母同時(shí)乘4得到哪個(gè)分?jǐn)?shù)，1/2的分子和分母同時(shí)乘8會得到哪個(gè)分?jǐn)?shù)？

如果分?jǐn)?shù)中確實(shí)存在剛才大家所說的規(guī)律，那1/2與2/2，1/2與4/8，1/2與8/16應(yīng)該是相等的，它們是否相等呢？（同桌合作，選擇一組分?jǐn)?shù)驗(yàn)證是否相等。）

學(xué)生反饋用同樣大小的正方形紙分別表示出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)并完全重疊比較、把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)再比較、畫線段圖比較等方法進(jìn)行驗(yàn)證。

明確“從左往右看，1/2的分子和分母同時(shí)乘2、同時(shí)乘4、同時(shí)乘8，得到的分?jǐn)?shù)都相等。從右往左看，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以2、除以4、除以8，得到的分?jǐn)?shù)都相等。這幾組分?jǐn)?shù)中存在大家推想的規(guī)律”。

2.教學(xué)例2

請學(xué)生分別用分?jǐn)?shù)表示每個(gè)圖里的涂色部分。

提問：這三個(gè)分?jǐn)?shù)相等嗎？你怎么知道是相等的？引導(dǎo)：從左往右觀察，這些分?jǐn)?shù)是如何變化的？

明確：這幾組分?jǐn)?shù)中，從左往右看，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

提問：這三個(gè)圓中還藏著三個(gè)相等的分?jǐn)?shù)，你能找出來嗎？這三個(gè)分?jǐn)?shù)表示的是什么？

引導(dǎo)：剛剛我們從左往右看，現(xiàn)在從右往左看，這些分?jǐn)?shù)又是怎樣變化的呢？

明確：這幾組分?jǐn)?shù)中，從右往左看，分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以相同的數(shù)，得到的分?jǐn)?shù)都相等。

（二）尋找是否存在反例

談話：剛剛我們找到的例子都證明了分?jǐn)?shù)中存在大家所推想的規(guī)律，那你們能否舉出一個(gè)例子，一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小發(fā)生變化的呢？

學(xué)生獨(dú)立嘗試尋找反例，交流中相互討論“同時(shí)乘或除以的數(shù)為什么要0除外”。

三、總結(jié)提升

提問：剛剛我們研究了什么？我們是怎樣得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的？

引導(dǎo)總結(jié)：根據(jù)已有知識“商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”進(jìn)行合理的推想，再舉了許多的例子進(jìn)行驗(yàn)證，并且舉不出相反的例子，從而驗(yàn)證了此規(guī)律的存在。沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)。世上許多的創(chuàng)造發(fā)明都源于合理推想。

本課教學(xué)通過回顧商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系啟發(fā)學(xué)生通過類比聯(lián)想分?jǐn)?shù)中可能存在怎樣的規(guī)律，再通過多個(gè)例證、否定反例的存在，引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理“再創(chuàng)造”出了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中很多內(nèi)容可以通過知識或方法的類比推理來學(xué)習(xí)，如除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比，推出比的基本性質(zhì)；萬以內(nèi)數(shù)的讀寫類比，推出億以內(nèi)及億以上數(shù)的讀寫方法等。

合情推理的另一種主要形式是歸納推理，小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)算定律、找規(guī)律、整數(shù)計(jì)算法則的總結(jié)、立體圖形體積計(jì)算公式推導(dǎo)等內(nèi)容多可以采用歸納推理進(jìn)行教學(xué)。例如蘇教版四年級（下冊）《乘法結(jié)合律》的教學(xué)。

例題：華豐小學(xué)舉行跳繩比賽，規(guī)定每個(gè)班選派23人參加。每個(gè)年級有5個(gè)班，6個(gè)年級一共要選派多少人參加比賽？

1.引發(fā)猜想

請學(xué)生獨(dú)立列式解答。

全班交流：23×（5×6），先算全校的班級數(shù)，再算參加比賽的總?cè)藬?shù)；（23×5）×6，先算一個(gè)年級參加比賽的人數(shù)，再算參加比賽的總?cè)藬?shù)。

指出：這兩種算法都求出了參加比賽的總?cè)藬?shù)，算法不同，結(jié)果相同，我們可以把這兩個(gè)算式用“=”連接。

啟發(fā)：觀察、比較等式左右兩邊的式子，它們之間有聯(lián)系嗎？是怎樣的聯(lián)系呢？

2.驗(yàn)證、歸納

師：同學(xué)們通過觀察比較.有了一些想法。這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否是一條規(guī)律？從一個(gè)例子得到的結(jié)論只能看作是猜想。接下來，該怎樣進(jìn)一步驗(yàn)證呢？

生：我們要多寫些這樣的式子，看看是否符合這個(gè)規(guī)律。

學(xué)生舉例后全班交流，師選擇等式板書。

師：大家都舉了幾個(gè)例子，全班同學(xué)舉的例子合在一起就有好多例子了。這么多例子都符合我們的發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在能確定這是一條規(guī)律嗎？

學(xué)生嘗試舉反例。

生：咱們舉了很多的例子都與我們的發(fā)現(xiàn)符合，而且舉不出反例，證明運(yùn)算中確實(shí)存在這樣的規(guī)律。

師：像這樣的等式寫得完嗎？你能用一個(gè)式子或者一句話表示這個(gè)規(guī)律.又包含所有的情況嗎？

全班交流用文字、符號等表達(dá)乘法結(jié)合律。

3.總結(jié)提升

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律及探索規(guī)律的過程、方法。

此案例從一個(gè)具體事實(shí)23×（5×6）=（23×5）×6啟發(fā)學(xué)生猜想乘法運(yùn)算中可能存在怎樣的規(guī)律，繼而通過大量舉例、否定反例歸納出了乘法結(jié)合律。即引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察了類中的元素都具有某一性質(zhì)，推斷這個(gè)類中的所有元素都具有這個(gè)性質(zhì)”的歸納推理過程。

合情推理這一“發(fā)現(xiàn)真理的思維”，已經(jīng)成為現(xiàn)代化社會公民必需的文化素質(zhì)。波利亞說過：“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明?！钡沁@個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明過程，那么應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?。?shí)踐證明，學(xué)生通過“再創(chuàng)造”所獲得的知識與能力，遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加的要理解得透徹、掌握得更好，一般來說還可以保持較長久的記憶；通過“再創(chuàng)造”來進(jìn)行學(xué)習(xí)能夠引起學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力。

責(zé)任編輯 王慧