【摘 要】“應(yīng)答評價”是一種重要的評價方法。巧用應(yīng)答評價，通過推理與證明問題的探索過程，探討教師如何在課堂教學(xué)中關(guān)注一切有用的信息，對發(fā)揮評價的改進(jìn)作用、鼓勵學(xué)生探究、關(guān)注教育目標(biāo)的非預(yù)期效果、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力都有很大的作用。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)答評價;歸納推理;創(chuàng)新素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）18-0050-02

【作者簡介】呂建林，南京市第一中學(xué)（江蘇南京，210001）教師。

“應(yīng)答評價”是美國學(xué)者斯塔克提出一種評價方法，這種方法的主要特點是強調(diào)評價要為一切與評價有關(guān)的人員提供有用的信息。如果教育評價更直接地指向方案的活動而非方案的內(nèi)容，如果他能滿足評價聽取人對信息的需求，或者在反映方案得失、長短的評價報告中更能反映人們不同的價值觀念，那么，這種評價即可稱為“應(yīng)答評價”。

新課程理念指導(dǎo)下的課堂教學(xué)的一大變革就是評價的變化。從過往關(guān)注結(jié)果的評價方式轉(zhuǎn)向更加關(guān)注過程的診斷性評價和過程性評價，評價方式的變化增強了評價的有效性，對學(xué)生的發(fā)展也起著至關(guān)重要的作用。在一節(jié)“推理與證明”復(fù)習(xí)課上，一個學(xué)生的猜想不為其他同學(xué)所認(rèn)可，而教師對這一猜想方式的評價引發(fā)了大家更多的思考，產(chǎn)生了一連串的新成果，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，充分體現(xiàn)了教師對學(xué)生探究精神的關(guān)注、對學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的培育、對學(xué)生終身發(fā)展的關(guān)懷。回顧如下。

教師首先給出了一個例題：通過觀察下列等式，猜想出一個一般性結(jié)論，并證明結(jié)論的真假。

sin230°+sin290°+sin2150°=■，

sin260°+sin2120°+sin2180°=■，

sin245°+sin2105°+sin2165°=■，

sin215°+sin275°+sin2135°=■。

有的學(xué)生觀察出角之間的關(guān)系是一個以60°為公差的等差數(shù)列，于是寫出這樣的猜想結(jié)論：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■①。

證明如下：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=（■sinα-■cosα）2+sin2α+（■sinα+■cosα）2=■sin2α+sin2α+■cos2α=■。大多數(shù)學(xué)生都得出了這個結(jié)論，但是教師在巡視過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生甲猜想出的結(jié)論不一樣，他寫的是sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=■，不少學(xué)生一聽到這個結(jié)論就笑了起來，他們認(rèn)為甲的猜想沒有注意到題干中給出的四個式子中每一組角都是公差為60°的等差數(shù)列，所以甲的結(jié)論是錯誤的。

教師首先對大多數(shù)學(xué)生的結(jié)論表示肯定：我們觀察出了題目中給出的四個式子有三個共同的特征：1.都是三個角的正弦值的平方和的形式;2.每個式子中給出的三個角都是以60°為公差的一個等差數(shù)列;3.每個式子的值都等于■。由此推出的結(jié)論①真實、全面地反映了上述三個特征，經(jīng)推證，結(jié)論①也是正確的。

然后，教師對學(xué)生甲的結(jié)論進(jìn)行點評，首先確定甲猜想的結(jié)論是一個假命題，其次肯定學(xué)生甲猜想的可取之處。歸納法是對觀察、實驗和調(diào)查所得的個別現(xiàn)象，概括出一般原理的一種思維方式和推理形式，其主要環(huán)節(jié)是歸納推理。歸納法是一種或然性推理方法，不可能做到完全歸納，總有許多對象沒有包含在內(nèi)。因此，結(jié)論不一定可靠。數(shù)學(xué)教育家費賴登塔爾說過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法在于“再創(chuàng)造”。大家在獲得了結(jié)論①以后，為什么沒有進(jìn)一步猜想，如果角的關(guān)系是一個一般的等差數(shù)列是否可行呢？學(xué)生甲的結(jié)論雖然后來證明發(fā)現(xiàn)不正確，但是這樣的探究過程是有益的，探索的精神是值得肯定和贊揚的。做科學(xué)研究不是僅僅為了獲取一個正確答案，而是為了探索未知的世界。

在教師的鼓勵下，學(xué)生開始進(jìn)一步深究，是否只有三個角的公差β=60°的時候?qū)W生甲的結(jié)論才成立呢？如果不是，那么β還可以取哪些值？

解：sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=sin2α+2cos2βsin2α+2sin2βcos2α=（1+2cos2β-2sin2β）sin2α+2sin2β

要使其為定值，那么1+2cos2β-2sin2β=0，cos2β=-■，即當(dāng)β=kπ±■（k∈Z）時，sin2（α-β）+sin2α+sin2（α+β）=■②。

在大家認(rèn)為這道題的研究可以告一段落的時候，又一名學(xué)生提出自己的猜想：如果把①式中的正弦改為余弦是否有類似的結(jié)論呢？

猜想：cos2（α-60°）+cos2α+cos2（α+60°）=■③，

學(xué)生紛紛議論，并著手推理，經(jīng)推證發(fā)現(xiàn)結(jié)論成立。

有學(xué)生說，結(jié)論③也可以利用三角恒等式來證明，因為sin2α+cos2α=1，所以cos2（α-60°）+cos2α+

cos2（α+60°）+sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=3，

由sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■，

可得cos2（α-60°）+cos2α+cos2（α+60°）=■。

進(jìn)一步猜想，當(dāng)β=kπ±■（k∈Z）時，cos2（α-β）+cos2α+cos2（α+β）=■④，成立嗎？

學(xué)生從上面的推理過程可以看出，結(jié)論④當(dāng)然也是正確的。

教師說：“很好。大家的推理讓老師想到了波利亞講過的一段話：好問題與蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，當(dāng)你找到一個以后，很可能四周就有好幾個?！贝藭r，又一名學(xué)生站起來說：“老師，如果把原式改成4個成等差數(shù)列的角的正弦的平方和，會不會有新的結(jié)論呢？”于是繼續(xù)探究：當(dāng)β取何值時，sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）為定值。

解：sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）=2sin2α（cos6β+cos2β）+（sin23β+sin2β）

只要cos6β+cos2β=0，即cos2β=0或cos22β=■，原式的值與α無關(guān)，此時β=■+■或■+■（k∈Z），sin2（α-3β）+sin2（α-β）+sin2（α+β）+sin2（α+3β）=2⑤。

通過推理，學(xué)生自然得出了另一個結(jié)論：

當(dāng)β=■+■或β=■+■（k∈Z）時，

cos2（α-3β）+cos2（α-β）+cos2（α+β）+cos2（α+3β）=2 ⑥。

……

從這一系列問題的推理過程可以看出，結(jié)論①是歸納推理的結(jié)果，不同的學(xué)生對題干中所給出的信息的理解程度不同，也因此產(chǎn)生了不同的推理結(jié)果，結(jié)論②的發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)了學(xué)生甲思維的廣闊性。教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不同結(jié)論后提出了一個問題，這個問題的探討引起了學(xué)生對另外兩個問題（即結(jié)論③、結(jié)論⑤）的探究，甚至更多的問題被提出和被解決。結(jié)論③是基于三角函數(shù)的名稱改變提出的新問題，而結(jié)論⑤則是基于項數(shù)的增加而提出的新問題。這些改變，是與教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生甲的結(jié)論后啟發(fā)學(xué)生探究的過程密切相關(guān)的。學(xué)生提出的結(jié)論④和結(jié)論⑥，也是在教師帶領(lǐng)全班對學(xué)生甲的結(jié)論完善后，自己類比得出的。

類比是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)的泉源。進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是明確兩類對象之間具有某些相似特征，而教師要做的事情是：創(chuàng)造必要的情境，通過及時恰當(dāng)?shù)脑u價激勵，啟發(fā)學(xué)生展開類比推理活動，提升數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。按照這樣的路徑，學(xué)生們自然會進(jìn)一步推廣，推導(dǎo)5個角乃至更多角時的結(jié)論。

創(chuàng)新素養(yǎng)從哪里來？從發(fā)現(xiàn)和肯定學(xué)生在探究過程中的那些微小的改進(jìn)中來。如果我們在課堂教學(xué)中能善用應(yīng)答評價，關(guān)注評價的價值取向，服務(wù)于評價對象的未來發(fā)展，也許就能有更多令人欣喜的發(fā)現(xiàn)。