[摘 要] 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)模式比較單一，多以教師提問、講評和學(xué)生回答、練習(xí)為主，學(xué)生的思維易被教師所禁錮，學(xué)生的課堂主體性得不到有效體現(xiàn). 把課堂還給學(xué)生，學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知，在教師的引導(dǎo)和鼓勵下，在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，自主建構(gòu)知識，從而打造高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課.

[關(guān)鍵詞] 問題；復(fù)習(xí)課；高效

問題的提出

筆者有幸參與了浙江省“浙派”名師初中數(shù)學(xué)班關(guān)于復(fù)習(xí)課的八節(jié)研討課，以及浙派名師暨全國名師經(jīng)典課堂教學(xué)展示的6節(jié)復(fù)習(xí)課的研討.這14節(jié)課中，或多或少地體現(xiàn)了把課堂還給學(xué)生，把提問題的權(quán)利還給學(xué)生，讓學(xué)生來提問題，以學(xué)定教，從而打造高效的復(fù)習(xí)課. 那么在初中數(shù)學(xué)課堂中，怎么把問題還給學(xué)生，教師又充當(dāng)了什么樣的角色呢？而復(fù)習(xí)課是一種重要的教學(xué)課型，是對已學(xué)知識的再回顧、再整理、再應(yīng)用和再反思，承擔(dān)著查漏補(bǔ)缺，夯實(shí)四基，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的責(zé)任，是實(shí)現(xiàn)知識系統(tǒng)化，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心平臺. 因此，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要組成部分.

1. 培養(yǎng)學(xué)生提問題的能力的必要性

問題是數(shù)學(xué)的心臟、思維的起點(diǎn)（P.R.Halmos），而提出一個問題往往比解決一個問題更為重要. 在實(shí)際教學(xué)的全部過程中要始終貫穿提問的藝術(shù). 教育家約翰·S·布魯巴克認(rèn)為：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)要遵循的最高準(zhǔn)則是學(xué)生自己提問題. ”因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中要注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題. 當(dāng)學(xué)生自己會發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的時候，數(shù)學(xué)課就不再是枯燥的思維活動了，數(shù)學(xué)教學(xué)也就充滿了趣味和活力，學(xué)生也就真正成為了學(xué)習(xí)的主體. 所以，把問題還給學(xué)生，如何讓學(xué)生“提好”問題，提“好”問題，這是值得思考的地方.

為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，有利于因材施教，使每位學(xué)生得到發(fā)展；給學(xué)生提供更多的交流、合作的機(jī)會；促進(jìn)智力因素與非智力因素的協(xié)同發(fā)展；消除學(xué)生模仿解題的習(xí)慣，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)和探究能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；有利于提高教學(xué)活動效率；有利于課堂開展研究性學(xué)習(xí).

2. 當(dāng)前初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課存在的問題

（1）注重知識講解，忽視學(xué)生能力. 在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，有部分教師只注重知識的講解，卻忽視了學(xué)生能力的培養(yǎng)，從而無法真正提高復(fù)習(xí)效率. 另外，在復(fù)習(xí)課中，許多教師都是采用一刀切的復(fù)習(xí)方式，忽視了學(xué)生們存在的差異性，從而使基礎(chǔ)差的學(xué)生無異于聽天書. 這樣的復(fù)習(xí)無論多少遍，都是沒有效率可言的.

（2）注重題海戰(zhàn)術(shù)，忽視知識結(jié)構(gòu). 在初中數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)課中，側(cè)重于讓學(xué)生大量做練習(xí)，采取題海戰(zhàn)術(shù)，卻忽視了知識結(jié)構(gòu)的梳理，導(dǎo)致整個復(fù)習(xí)雜亂無章. 這樣一來，學(xué)生因?yàn)闆]有及時梳理知識結(jié)構(gòu)，知識也就無法系統(tǒng)化，建立不起系統(tǒng)性的知識網(wǎng)絡(luò)，從而嚴(yán)重影響了知識的運(yùn)用，復(fù)習(xí)效率自然也就難以提高.

（3）注重復(fù)習(xí)進(jìn)度，忽視復(fù)習(xí)效率. 就初中數(shù)學(xué)而言，教學(xué)內(nèi)容很多，因而教師的教學(xué)任務(wù)也很重. 等課程上完之后，已經(jīng)沒有太多時間進(jìn)行復(fù)習(xí)，所以許多教師就只能根據(jù)自己的教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行忙碌的復(fù)習(xí). 而在復(fù)習(xí)課中，如果復(fù)習(xí)內(nèi)容不根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況而進(jìn)行進(jìn)度上的調(diào)整的話，基本上所謂的復(fù)習(xí)就成了一個沒有多大價值的教學(xué)環(huán)節(jié). 所謂“欲速則不達(dá)，過猶則不及”，教師在制訂復(fù)習(xí)計(jì)劃時，只注重進(jìn)度，而不管實(shí)際中學(xué)生對知識的掌握情況，那么這樣的復(fù)習(xí)無疑是浪費(fèi)時間，毫無效率可言.

“以問叩學(xué)”復(fù)習(xí)課案例分析

新課程改革倡導(dǎo)“要以學(xué)生發(fā)展為中心，把課堂還給學(xué)生”，同時數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)也認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程. 在這一學(xué)習(xí)過程中，既要有效發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又要使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的真正主人. 把課堂還給學(xué)生，把問題還給學(xué)生，讓學(xué)生自主來發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.

例1：溫州外國語學(xué)校章才岔？搖《由二次函數(shù)向動點(diǎn)問題漫溯》.

環(huán)節(jié)1：

師：你能否求出如圖1所示的二次函數(shù)的圖像？

生：不能.

師：需要添加什么條件？

生1：可以添加圖像與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn).

生2：可以添加頂點(diǎn)坐標(biāo)和圖像上的另一個點(diǎn)的坐標(biāo).

生3：添加圖像與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)以及對稱軸直線.

……

環(huán)節(jié)2：

師：如圖2，點(diǎn)P（m，0）是線段OC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P做x軸的垂線，與直線BC相交于點(diǎn)E，與直線CD相交于點(diǎn)F，與拋物線相交于點(diǎn)Q，你能提出什么問題呢？

生4：若∠BCF=90°，求m的值.

生5：用m的代數(shù)式表示△CBF的面積.

生6：當(dāng)m為何值時，△FCB為等腰三角形？

生7：當(dāng)m為何值時，QF=EF？

生8：當(dāng)FC=FB時，F(xiàn)是否為CD的中點(diǎn)？

生9：m為何值時，△BEF與△CFB相似？

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課是二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課，授課教師通過環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的三種表達(dá)式. 通過開放式的條件添加，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，同時基于學(xué)生的學(xué)情，讓問題從學(xué)生中來，并由學(xué)生加以解決. 其中生3的提法是求不出解析式的，為什么不能求呢？學(xué)生通過思考得出結(jié)論，從而復(fù)習(xí)了拋物線的軸對稱性，因此也關(guān)注到課堂的生成. 環(huán)節(jié)2在環(huán)節(jié)1的基礎(chǔ)上，給出一種情況求出解析式，由鋪墊問題入手給學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，以動點(diǎn)問題的展開作為鋪墊，讓學(xué)生感受到身邊的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲. 以二次函數(shù)為載體，將簡單的動點(diǎn)問題分析轉(zhuǎn)化，提出待解決的問題. 當(dāng)教師把提問題交給學(xué)生的時候，我們看到學(xué)生的能力是很強(qiáng)的，學(xué)生提出的探究線段、面積、形狀等問題，通過解決這些問題，滲透轉(zhuǎn)化、分類、方程等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，于潤物無聲中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 更可貴的是章老師在最后小結(jié)的環(huán)節(jié)提煉出點(diǎn)動引起線動、面動，進(jìn)而使圖形的形狀發(fā)生改變，使學(xué)生對動點(diǎn)問題的思考有了更深刻的理解，對如何來提出問題有了新的思路.

例2：中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校孫紅強(qiáng)《第三章〈實(shí)數(shù)〉小結(jié)與復(fù)習(xí)》.

環(huán)節(jié)1：師：從小學(xué)到現(xiàn)在，我們學(xué)習(xí)了很多數(shù)，請你寫出三個不同類型的數(shù).

環(huán)節(jié)2：師：利用下列數(shù)據(jù)0，4，8，

3.14-π，，，-，，結(jié)合實(shí)數(shù)知識生長圖， 請你提出3個以上不同類型的數(shù)學(xué)問題.

設(shè)計(jì)意圖：環(huán)節(jié)1中一般的教師會寫出一些數(shù)讓學(xué)生進(jìn)行歸類，但是孫老師是讓學(xué)生自己寫出三個不同類型的數(shù)，這樣的開放性設(shè)計(jì)能夠讓學(xué)生從實(shí)數(shù)這樣一個大的范圍對已認(rèn)識的數(shù)進(jìn)行分類和小結(jié). 本節(jié)課通過類比有理數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖和無理數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖，整合形成實(shí)數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖，是本節(jié)課的一大亮點(diǎn). 在環(huán)節(jié)2中，孫老師引導(dǎo)學(xué)生圍繞給定的數(shù)據(jù)，應(yīng)用實(shí)數(shù)知識，提出問題、解決問題，加深理解實(shí)數(shù)以及相關(guān)的概念，理解在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)同樣適用. 孫老師的知識生長樹不僅吸引了大家的眼球，而且使所學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)化，形成系統(tǒng)，是很值得大家學(xué)習(xí)和借鑒的.

例3：金華南苑中學(xué)胡艷《等腰三角形中的分類思想》.

方案1：

熱身訓(xùn)練1：

（1）已知等腰三角形的腰長為4，底邊長為5，則它的周長等于______.

（2）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和5，則它的周長等于______.

（3）已知等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長等于______.

注意：等腰三角形是一類比較特殊的三角形，邊有腰與底之分.

熱身訓(xùn)練2：

（1）已知等腰三角形的一個底角為80°，則它的頂角為______.

（2）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則它的頂角為______.

（3）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，則它的頂角為______.

注意：等腰三角形是一類比較特殊的三角形，角有頂角與底角之分.

方案2：

師：（請了生1）1到10中哪個數(shù)據(jù)是你的幸運(yùn)數(shù)字？

生1：7.

師：（請了生2）1到10中哪個數(shù)據(jù)是你的幸運(yùn)數(shù)字？

生2：5.

師：（請了生3）你能說出一個數(shù)字，使得與前面的2個數(shù)據(jù)成為等腰三角形的三邊嗎？

生3：5或7.

師：為什么會有兩種情況？

生：等腰三角形的邊有腰和底邊之分.

師：非常好，也就是說對三角形的邊要進(jìn)行分類.那么是不是一定有兩種情況呢？

生：不一定.

師：為什么？

生：要考慮能否構(gòu)成三角形.

師：非常好！那誰能來舉個例子？

……

師：你能隨意地說一個0到180°之間的角嗎？

生：100°.

師：如果100°是等腰三角形的一個內(nèi)角，誰能說出其余的兩個角呢？

生：40°，40°.

師：你能隨意地說一個0到180°之間的角嗎？

生：70°.

師：如果70°是等腰三角形的一個內(nèi)角，誰能說出其余的兩個角呢？

生：70°，40°或55°，55°.

師：為什么有的時候是一種情況，有的時候是兩種情況呢？

生：因?yàn)榈妊切蔚慕欠譃轫斀呛偷捉牵?00°只能做頂角.

師：那么等腰三角形的頂角和底角有什么要求呢？

……

設(shè)計(jì)意圖：這是一節(jié)等腰三角形的復(fù)習(xí)課，對于課程的開頭片段，方案1是初稿，方案2是最后的課堂呈現(xiàn)，那么這兩種方案的區(qū)別在哪里呢？方案1是傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課給出形式，教師精心設(shè)計(jì)問題，從給定邊角求解，到有兩解，再到考慮能否構(gòu)成三角形，檢驗(yàn)兩解是否存在，歸納小結(jié)得出等腰三角形按邊、按角分類的思想. 學(xué)生按照教師的指引，按部就班地思考. 在方案2中，教師沒有指定具體的數(shù)據(jù)，而是讓學(xué)生自己來說，教師可以根據(jù)情況多舉幾個例子，學(xué)生在具體數(shù)據(jù)中感受到等腰三角形的邊角的分類，并通過感受進(jìn)一步探索得出邊角分類的條件. 這種開放式的問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，是打造高效復(fù)習(xí)課的重要途徑.

例4：溫州市繡山中學(xué)蔡梅園《圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)》.

問題1：墨子曰“圓，一中同長也”，你能用自己的語言進(jìn)行解釋嗎？

問題2：在一個圓上，你添上什么能夠讓我感受到它的軸對稱性呢？

問題3：你能畫出一些與圓中的角有關(guān)的圖形嗎？

設(shè)計(jì)意圖：蔡老師在這節(jié)課中沒有像傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課一樣把知識點(diǎn)單獨(dú)地羅列出來，也沒有通過設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題進(jìn)行回顧，而是通過三個問題的設(shè)計(jì)，大膽地放手讓學(xué)生自己畫圖. 而這三個問題的設(shè)計(jì)也是非常巧妙的，第一個問題回顧了圓的半徑相等的性質(zhì)，以及點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系；第二個問題復(fù)習(xí)了圓的軸對稱性，主要是垂徑定理，圖5是學(xué)生的部分作品，其中第2、4幅圖給出了垂徑定理的基本圖形，第5幅的汽車標(biāo)志，以及最后的糖葫蘆，體現(xiàn)了學(xué)生的發(fā)散思維，更是讓學(xué)生、老師開懷大笑，活躍了課堂的氣氛；第三個問題回顧與圓有關(guān)的角，圖6是學(xué)生的部分作品，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)：你給學(xué)生創(chuàng)造了一個舞臺，而學(xué)生卻給了你精彩的演出！學(xué)生把圓周角、圓心角、同弧所對的圓周角相等、直徑與直角的關(guān)系……演繹得非常成功，圓當(dāng)中與角有關(guān)的基本圖形得到了回顧和歸納. 這樣的開放題設(shè)計(jì)不僅促進(jìn)了雙基的落實(shí)，走出了“對號入座、機(jī)械模仿”的誤區(qū)，學(xué)生從不同角度進(jìn)行探索，使課堂散發(fā)出生命活力！

例5：義烏繡湖中學(xué)樓春洪《二次函數(shù)背景下的面積問題》.

問題1：如圖7，已知拋物線y=x2-2x-3與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A，B，C，頂點(diǎn)為D，你能求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？能計(jì)算△ABD的面積嗎？

問題2：請你設(shè)計(jì)與點(diǎn)A，B，C，D，O有關(guān)的三角形面積問題并解答.

問題3：如圖8，請用盡可能多的方法來求△BDC的面積.

問題4：如圖9，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限運(yùn)動時，你能設(shè)計(jì)哪些與面積有關(guān)的問題？

學(xué)生設(shè)計(jì)問題如下：

問題（1）：△BCP的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，你能求出S關(guān)于t的函數(shù)解析式嗎？

問題（2）：△BCP的面積是否存在最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

問題（3）：以點(diǎn)B，C，D，P為頂點(diǎn)的四邊形的面積有沒有最大值？

問題（4）：△BCP的面積的取值范圍是多少？

問題（5）：若△BCP的面積為整數(shù)，這樣的點(diǎn)P有幾個？

設(shè)計(jì)意圖：樓老師通過問題1回顧了二次函數(shù)中的基本函數(shù)y=x2-2x-3的重要的四個點(diǎn)，開門見山提出與面積有關(guān)的問題，直入主題. 在問題2中通過5個點(diǎn)中找三個點(diǎn)構(gòu)成三角形，滲透分類組合的思想；并在各種三角形面積的計(jì)算過程中，歸納出什么時候面積比較容易求出，對最難求的△BDC的面積如何求設(shè)計(jì)了問題3，師生共同分析得出六種解答方法，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納如何擇優(yōu)而選，并得出面積的三種求解方法：直接計(jì)算，通過割補(bǔ)法間接計(jì)算，通過添加平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化后計(jì)算. 在問題4中，樓老師讓學(xué)生自己來設(shè)計(jì)與面積有關(guān)的問題. 事實(shí)證明，學(xué)生的出色表現(xiàn)把課堂推向了高潮！

“由學(xué)生提問題”對教師的要求

首先，應(yīng)該轉(zhuǎn)變教育教學(xué)觀念和評價標(biāo)準(zhǔn). “問”與“學(xué)”同等重要，不可偏廢任意一方.

其次，營造寬松、自由的教學(xué)氛圍，建立和諧的師生關(guān)系. 學(xué)生不問問題已成為當(dāng)前一種普遍的現(xiàn)象，這并不代表學(xué)生沒有問題. 教師應(yīng)該反思作為教學(xué)引導(dǎo)者的責(zé)任，要努力營造輕松開放的數(shù)學(xué)課堂氛圍，讓學(xué)生可以自由地呼吸. 在平時的生活中，每一段話語，每一個教學(xué)細(xì)節(jié)，都要能觸及學(xué)生的情感，走進(jìn)學(xué)生的心靈，從點(diǎn)點(diǎn)滴滴做起，消除學(xué)生不敢發(fā)問的心理障礙.

再次，保護(hù)學(xué)生的好奇心，尊重問的權(quán)利. 教師不能再獨(dú)攬“問”的大權(quán)，而應(yīng)尊重學(xué)生，把“問題”還給學(xué)生，把“問”的權(quán)利還給學(xué)生. 問是學(xué)的開始，是學(xué)生主動學(xué)習(xí)的一個信號，教師應(yīng)該感到高興，而不是責(zé)備. 所以學(xué)生問的權(quán)利是萬不可抹殺的，而需要尊重和保護(hù)，對學(xué)生來說提問比回答問題更需要勇氣. 由于學(xué)生的知識有限，提出的問題也往往簡單，對于學(xué)生的問題，我們要表現(xiàn)出重視和贊賞，不能置若罔聞，挫傷學(xué)生的積極性. 不管學(xué)生提出的問題質(zhì)量如何，教師都應(yīng)首先肯定其提問的勇氣和努力，并及時給予引導(dǎo)，使其獲得“提問成功”的體驗(yàn)，逐步養(yǎng)成勇于提問的習(xí)慣.

課堂是學(xué)生學(xué)與問的主陣地，可以利用課堂討論，促使學(xué)生提問. 要求學(xué)生互相提問題，各自的問題往往是不同的，不同的問題就產(chǎn)生了不同的知識體驗(yàn)，因而在課堂教學(xué)中難免會存在各種“意外”的發(fā)生，這就需要考驗(yàn)教師的隨機(jī)應(yīng)變和駕馭課堂的能力. 教師也可以適時改變固有的教學(xué)模式，采用“提出問題—解決問題—產(chǎn)生新問題”的課堂結(jié)構(gòu).

總之，在學(xué)與問的關(guān)系中，我們要認(rèn)識和重視問的作用，讓問題意識回歸我們的數(shù)學(xué)課堂，只有這樣，我們的學(xué)校才會走出不斷提出新問題的學(xué)生，我們的民族才會是充滿生機(jī)和活力的民族.