周培華

[摘 要] 思維是決定學(xué)生能否合理整合知識并將之進(jìn)行準(zhǔn)確應(yīng)用的內(nèi)在因素，也是有效推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)效果深化的核心動力. 作為數(shù)學(xué)知識能力建立形成的基礎(chǔ)性時期，數(shù)學(xué)思維模式的形成自然應(yīng)當(dāng)作為一個重點(diǎn)內(nèi)容在教學(xué)過程當(dāng)中予以強(qiáng)調(diào). 筆者對當(dāng)前初中教學(xué)中對于數(shù)學(xué)思維模式建立的實(shí)施現(xiàn)狀進(jìn)行了廣泛調(diào)查，并結(jié)合相關(guān)教學(xué)理論，對于在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中建立有效思維模式的途徑提出了若干建議，希望對于新時期的初中數(shù)學(xué)教學(xué)完善有所裨益.

[關(guān)鍵詞] 初中；數(shù)學(xué)；思維模式

怎樣才能將數(shù)學(xué)知識學(xué)懂、學(xué)好？歸根結(jié)底，關(guān)鍵在于思維. 表面看來，想要順利解答數(shù)學(xué)問題，需要記憶基本概念，理解公式定理，掌握思想方法，似乎數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動作是十分零碎的. 其實(shí)，究其本質(zhì)，所有有效學(xué)習(xí)行為的做出，都是由科學(xué)合理的學(xué)習(xí)思維所指引的. 同其他學(xué)科的知識內(nèi)容相比，數(shù)學(xué)知識從抽象性、精煉性等方面都具有較為明顯的特殊性，因此，對之進(jìn)行學(xué)習(xí)探究，自然也存在著與眾不同的思維模式. 這也就是我們在強(qiáng)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程當(dāng)中所要特別重視的“有效思維模式”.

建立數(shù)形思維模式，拓展問題解決途徑

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合是適用性最為普遍的一種思想方法，卻也恰恰是因?yàn)檫@種普遍性，被很多學(xué)生所忽略. 在實(shí)際教學(xué)過程中，筆者經(jīng)常會看到這樣的情景：學(xué)生面對一道比較抽象復(fù)雜的問題，毫無頭緒，拿著筆對著題目發(fā)愁，只是一直在草稿紙上盲目地列公式，卻沒有一點(diǎn)圖形的輔助. 這樣的解題方法，只會讓學(xué)生的解題思緒越來越混亂，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來講是極為不利的. 這并不是學(xué)生的知識基礎(chǔ)多么薄弱，而是還沒有形成數(shù)形結(jié)合的思維模式.

例如，在對一次函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，筆者為學(xué)生準(zhǔn)備了這樣一道練習(xí)題：已知一次函數(shù)y=（2-m）x+m的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是什么？面對這個問題，學(xué)生紛紛開始為如何在函數(shù)與象限之間建立聯(lián)系發(fā)愁. 筆者提示大家：“既然已知函數(shù)的圖像經(jīng)過這三個象限，為什么不把圖像畫出來看看呢？”果然，隨著畫出圖像，解答問題的思維方向瞬間清晰了. 學(xué)生也深切感到，圖形才是詮釋數(shù)學(xué)問題的最佳捷徑.

筆者在教學(xué)過程中經(jīng)常會對學(xué)生說：“大家一定要養(yǎng)成這樣的習(xí)慣：看到題，先畫圖！”這雖然不是初中數(shù)學(xué)解題的絕對有效的途徑，卻是在對學(xué)生數(shù)形思維模式的建立提供引導(dǎo). 既然是要將“數(shù)”和“形”的思維結(jié)合起來，就要讓學(xué)生做到，看到數(shù)字，同時想到圖形，使二者互為彼此的條件反射. 這樣一來，圖形繪制的過程便可以在必要的時候給學(xué)生以思維上的啟發(fā)，讓學(xué)生得到更多“意外”收獲.

建立換元思維模式，有效化簡復(fù)雜問題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入到初中階段之后，從數(shù)學(xué)題目到解題過程都呈現(xiàn)出了復(fù)雜化的趨勢. 這個特點(diǎn)在代數(shù)內(nèi)容上體現(xiàn)得尤為明顯. 很多學(xué)生表示，對于考試當(dāng)中出現(xiàn)的很多問題，“光是看看已知條件就暈了”. 冗長復(fù)雜的代數(shù)式，讓不少學(xué)生望而生畏，在這樣的“下馬威”之下，學(xué)生的頭腦已經(jīng)亂了，更不要說找到清晰的思路去處理和求解了. 面對這種問題，最為有效的思維模式就是“換元”，它也是幫助學(xué)生有效化簡復(fù)雜問題之必需.

例如，筆者曾經(jīng)請學(xué)生嘗試解這樣一個方程：3x2-6x-2+4=0. 大多數(shù)學(xué)生的第一反應(yīng)都是移項(xiàng)之后將方程兩邊同時做平方處理，而如此一來，原方程反而成為了一個四次方程，解答起來就更困難了. 大家的思路一度陷入了僵局. 這時，筆者請學(xué)生試著思考：若是將3x2-6x轉(zhuǎn)化為3（x2-2x）的形式，能夠找到什么規(guī)律？有學(xué)生馬上找到了根號內(nèi)外部分的相似之處，由此，設(shè)=y，則原方程變?yōu)?y2-2y-8=0，先解出y，再解x. 換元思維讓解題過程順利了很多.

換元思維對于很多學(xué)生來講并不陌生，可使用起來往往不甚流暢. 筆者通過對學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)以及解題過程中的錯誤類型進(jìn)行總結(jié)、分析后發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對于“換元”的內(nèi)涵并沒有真正透徹地予以理解，往往只是停留在表面，應(yīng)用起來也過于死板. 因此，學(xué)生只有看到完全相同的式子內(nèi)容才會想到換元，題目條件只要稍稍有所變化，思維就卡住了. 對此，教師要著重在課堂教學(xué)中引入一些靈活性強(qiáng)的題目進(jìn)行講解，讓學(xué)生的視野開闊起來，換元的思維模式也才能算是真正建立起來了.

建立化歸思維模式，實(shí)現(xiàn)思路巧妙轉(zhuǎn)化

通過與學(xué)生的溝通交流，筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對于化歸思維的概念了解并不清晰，更不要說靈活應(yīng)用了. 我們在此所強(qiáng)調(diào)的化歸思想，指的是將一些困難、復(fù)雜的問題，根據(jù)其中所包含的條件與關(guān)系，將之轉(zhuǎn)化為比較容易接受和處理的問題來予以解答的思維模式. 化歸思維開展的關(guān)鍵在于對思路的巧妙轉(zhuǎn)化，也就是說，要想辦法以簡單的方式來體現(xiàn)一個復(fù)雜的問題，由此降低疑難問題解答過程的難度.

例如，在學(xué)習(xí)過四邊形知識后，測驗(yàn)當(dāng)中出現(xiàn)了這樣一個問題，把所有學(xué)生都難住了：如圖1，“回”字形的道路寬為1米，整個“回”字形的長為8米，寬為7米. 一個人從入口的A處出發(fā)，沿著道路一直走到中央的B點(diǎn)，那么，這個人一共走了多少米呢？學(xué)生們邊審題邊用筆跟著標(biāo)記行走路線，畫著畫著便把自己的思緒都畫亂了，無論如何去思考路線的長度，都以失敗告終. 于是，筆者啟發(fā)學(xué)生：“試想，若一個工人拿著一把寬1米的拖布沿著小路向前推，那么，當(dāng)他從A走到B時，也就是把整個場地拖完了，每拖1平方米，就對應(yīng)走了1米. ”在這樣的思路下，題目中的長度問題便化歸成了面積問題，場地面積56平方米極易求得，對應(yīng)行走了56米的結(jié)論也自然得出來了.

不難發(fā)現(xiàn)，化歸思維的建立與應(yīng)用并不是獨(dú)立存在的，它需要學(xué)生對當(dāng)前問題所涉及的內(nèi)容以及與之相關(guān)的化歸所指向的目標(biāo)內(nèi)容都有著到位的把握. 只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)整個數(shù)學(xué)思維體系的聯(lián)動，學(xué)生也才可以最大限度地靈活思路，有效完成問題化歸. 在眾多數(shù)學(xué)思維模式當(dāng)中，化歸思維對于學(xué)生知識能力的要求是比較高的. 同樣地，當(dāng)學(xué)生能夠自如運(yùn)用化歸思維解答問題時，對于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也就是比較到位的了.

建立分類思維模式，按部就班邏輯清晰

對于學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)與課后解題當(dāng)中所出現(xiàn)的問題，筆者經(jīng)常會進(jìn)行階段性的匯總和分析. 關(guān)于問題出現(xiàn)的原因，筆者發(fā)現(xiàn)，很多時候并不是由于學(xué)生對于知識內(nèi)容本身的理解有什么偏差或漏洞，而是由于大家在面對復(fù)雜問題時，思維發(fā)生了混亂. 如果沒有一個清晰的邏輯來處理問題，再簡單的問題也會出現(xiàn)遺漏，導(dǎo)致不必要的錯誤. 想要在最短的時間內(nèi)理清思路，按部就班地全面審視問題，就需要建立起分類的思維模式.

例如，在三角形章節(jié)的練習(xí)中，出現(xiàn)過這樣一道習(xí)題：在△ABC中，AB邊長為15 cm，AC邊長為13 cm，BC邊上的高AD長為12 cm，求該三角形的面積. 學(xué)生的第一感覺是做出圖形（如圖2），由勾股定理求得三角形的面積為84 cm2. 可完成之后，心中又有點(diǎn)不踏實(shí)，好像總是漏了些什么. 原來，高AD既可能在三角形之內(nèi)，也有可能在三角形之外. 對于這種問題，就應(yīng)當(dāng)分類進(jìn)行思考，以三角形形狀為分類依據(jù)，分銳角三角形與鈍角三角形（如圖3）兩種情況進(jìn)行思考，就絕不會遺漏任何可能性了.

分類討論的思維模式在初中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中的覆蓋面是非常廣的，它既是很多問題得到準(zhǔn)確解答之必需，也是為學(xué)生降低思維難度的一條捷徑. 無論問題本身多么復(fù)雜，其中具有多少思維岔口，只要學(xué)生能夠?qū)⒎诸惖臉?biāo)準(zhǔn)把握準(zhǔn)確，并有耐心地把這些可能性列舉完全，就不會出現(xiàn)思維混亂的情況. 對于接觸復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時間不長的初中學(xué)生來講，分類討論的思維就更加適合了. 不少學(xué)生甚至將其稱為正確解答數(shù)學(xué)問題的“護(hù)身符”，想來并不夸張.

思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中似乎已經(jīng)是一個習(xí)以為常的詞匯了. 很多師生認(rèn)為，只要在思考，就是在動用思維，就是在訓(xùn)練思維，這樣的想法并不準(zhǔn)確. 思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本動力與核心精髓，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，不能僅僅在思維的層面上點(diǎn)到為止，而是要深入挖掘?qū)W生的思維現(xiàn)狀與水平，追求思維品質(zhì). 只有具有品質(zhì)與厚度的思維，才能真正實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的有效理解與深入體驗(yàn)，進(jìn)而完成高效、理想的課堂學(xué)習(xí). 初中是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)的重要時期，教師更應(yīng)當(dāng)抓住這個關(guān)鍵時間節(jié)點(diǎn)，將對思維的關(guān)注滲透到每個學(xué)生的意識當(dāng)中，從根本上推動數(shù)學(xué)能力穩(wěn)步增長.