傅懋準

[摘要]尋找非線性方程的精確解是近年來非線性科學(xué)研究的一個基本課題，在這篇文章中，我們研究形如 ωu′+kνuu′+k2αu″+k3μu+k4γu″″=0 的一個常微分方程，作為KdVBurgersKuramoto方程的一個特殊形式，我們將在本文精確地求解出這條方程的精確亞純解，最后對這些解進行計算機模擬。

[關(guān)鍵詞]微分方程；精確解；亞純函數(shù)；橢圓函數(shù)

1。引 言

關(guān)于KdVBurgersKuramoto方程是[2，3]ut+νuux+μuxxx+αuxx+γuxxxx=0，（1。1）

這里的u，γ，υ，α都是常數(shù)。這條方程是在許多不同的物理環(huán)境中產(chǎn)生的一個重要的數(shù)學(xué)模型，是用來對許多物理現(xiàn)象的描述，許多方法已經(jīng)應(yīng)用于構(gòu)造KdVBurgersKuramoto方程的精確解。在2010年，Conte R和TuenWai N[5]已經(jīng)對三階非線性微分方程的亞純通解進行的歸納，并且證明了此類方程有亞純解u，u∈W，W={橢圓函數(shù)，有理函數(shù)，增長級為1的單周期函數(shù)}。這條方程是

d0u′′′+d1uu′′+d2u′2+d3u2u′+d4u4+c1u′′+c2uu′+c3u3+c4u′+c5u2+c6u+c7=0。（1。2）

所有的三階方程基本都可以由方程（1。2）變化系數(shù)而得到。下面我們對方程（1。1）進行行波變換u=u（η），η=kx+ωt，那么可變?yōu)?ωu′+kνuu′+k2αu″+k3μu+k4γu″″=0。（1。3）

不失一般性，我們可以假設(shè) kυ=120，k4γ=1，通過變換u→Tu，T=4120γ14υ，積分一次可以得到方程u+k3μu″+k2αu′+ωu′+60u2=c，（1。4）

這里的c∈

瘙 綇 。本文將在第二部分介紹一種方法來表示亞純解以及相關(guān)知識，第三部分將求解方程（1。4）的亞純精確解，最后將對這條方程的解進行計算機模擬。

2。方法應(yīng)用

在2011年，Kudryashov N A[4]引入了一個方法來尋找非線性常微分方程E[u（z）]=0的亞純解，記E[u（z）]是關(guān)于u（z）和它的導(dǎo)數(shù)的一個多項式，對于方程E[u（z）]=0。極點z=0有相對應(yīng)的洛朗展開式為：u（z）=∑Pk=1c-kzk+∑∞k=0ckzk，0<|z|<εi，（2。1）

這里P>0是極點的重數(shù)。方程（2。1）的亞純解可以表示成下面的引理。

引理2。1 方程E[u（z）]=0。的亞純解的形式為

（1）周期為2ω1，2ω2的橢圓函數(shù)為：u（z）=∑Pk=2-1kc-kk-1！dk-2dzk-2 （z，2ω1，2ω2）+h0，（2。2）

橢圓函數(shù)解存在的必要條件為c-1=0。

（2）周期為T的單周期函數(shù)為： u（z）=πT∑Pk=1-1k-1c-kk-1！dk-1dzk-1cotπzT+h0。（2。3）

（3）有理函數(shù)解為： u（z）=∑Pk=1c-kzk+c0，（2。4）

這里的h0，c0是一個常數(shù)。

定義2。2 [1]設(shè)E（z，u）=0是一個n階的代數(shù)微分方程，假設(shè)u（z）=∑+∞n=0un（z-z0）n+p

（u0≠0，p<0，p∈Ζ）是方程的一個亞純解，將u（z）代入方程，我們可以得到形如E=∑+∞j=0Ejχj+q=0，q是最小的整數(shù)，p和q是由方程的某些項來控制，這些項稱為控制項，記為E∧（z，u）。對任意的v，E∧（z，u）關(guān)于u的導(dǎo)數(shù) E′∧（z，u）v=limλ→0E′∧（z，u+λv）-E′∧（z，u）λ，方程P（i）=limχ→0χ-i-qE′∧（x，u0χp）χi+p=0的根我們稱為方程E（z，u）=0的Fuchs指數(shù)。

3。亞純解的表示

設(shè)u是方程（1。4）的亞純解，利用定義2。2的方法我們可以計算出p=-3，u0=1，更計算出它的Fuchs指數(shù)是P（i）=-1，132-12i71，132+12i71，因不存在非負整數(shù)的Fuchs指數(shù)，那么它的洛朗展開式可以唯一確定，首先求出單周期函數(shù)解，根據(jù)根據(jù)引理2。1的單周期函數(shù)解的表達形式以及利用數(shù)學(xué)軟件maple的各個系數(shù)的計算，可以得到方程（1。4）單周期函數(shù)解的洛朗展開式可以寫成

u（z）=-1608πTcotπTz-z0k6μ2+138πTcotπT（z-z0）k2α-18πTcotπTz-z03k3μ+L32cotπT（z-z0）+L32cotπTz-z03-1372960k9μ3+79120k5αμ-1120ω，

T=13-3608k6μ2+338k2α29231040k8αμ2-1186640k4α2-1315544960k12μ4π，（3。1）

現(xiàn)在構(gòu)建方程（1。4）的有理函數(shù)解，根據(jù)引理2。1，由u0=1，有理函數(shù)解最多在復(fù)平面最多有一個極點，由于p=-3，因此可得到 u（z）=u0z3+u1z2+u2z+∑mk=0hkzk。（3。2）

把方程（3。2）代入方程（1。3）可以得到有理函數(shù)解所相應(yīng)的式子為

u（z）=1z-z03+-18k3μz-z02+-1608k6μ2+138k2αz-z0-1372960k9μ3+79120k5αμ-1120ω+h0，z0∈C。（3。3）

由于式子（2。2）不能成立，所以方程（1。3）不存在橢圓函數(shù)解。

4計算機模擬

在這一部分，將給出計算機模擬來說明主要結(jié)果，這里將簡單的用單周期解u（z）來計算機模擬出下面的兩個圖表，對于等式（3。1）的一些解可有：

1。當k=1，μ=1，α=1，z0=0，T=2013915846π，見表（1）。

2。當k=1，μ=1，α=-1，z0=0，T=41531i4945130π，見表（2）。

表1

表2

5。總 結(jié)

在本文中，提出了一種方法構(gòu)建自治非線性微分方程的精確解，通過系數(shù)的計算使得方程能得出表達式，更用計算機把解模擬出來，這種方法考慮了結(jié)構(gòu)精確解的奇異性，最終，我們已經(jīng)獲得了亞純解的一般形式廣泛的自治非線性常微分方程。

[參考文獻]

[1]Wu C F。Exact Meromorphic Stationary Solutions of the CubicQuintic SwiftHohenberg Equation[J]。分析， 理論與應(yīng)用 （英文版， 2014（1））。

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[3]Kawahara T， Tanaka M。Interactions of traveling fronts： an exact solution of a nonlinear diffusion equation[J]。Physics Letters A， 1983， 97（8）： 311-314。

[4]Demina M V， Kudryashov N A。Explicit expressions for meromorphic solutions of autonomous nonlinear ordinary differential equations[J]。Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2011， 16（3）： 1127-1134。

[5]Conte R， TuenWai N。Meromorphic solutions of a third order nonlinear differential equation[J]。arXiv preprint arXiv：1002。1209， 2010。