李家金

[摘要]數(shù)形結(jié)合思想是一種將數(shù)量和圖形結(jié)合分析、研究、解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，有利于將學(xué)生的抽象思維和形象思維有機(jī)統(tǒng)一起來，能夠幫助學(xué)生系統(tǒng)的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建學(xué)生較為完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，研究數(shù)學(xué)的規(guī)律，提高他們分析問題和解決問題的綜合能力。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；意義；應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是一種將數(shù)量和圖形結(jié)合分析、研究、解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，是數(shù)學(xué)研究中最為重要的思想方法，能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得更加簡單有規(guī)律可循，能夠?qū)?shù)學(xué)的問題借助圖形進(jìn)行分析，又能夠?qū)⒎爆嵉膸缀螁栴}變成高度概括的代數(shù)問題，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，有利于將學(xué)生的抽象思維和形象思維有機(jī)統(tǒng)一起來，能夠更好地幫助學(xué)生研究數(shù)學(xué)的規(guī)律，提高他們分析問題和解決問題的綜合能力。數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用非常廣，值得我們深入探究。

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)集合教學(xué)的應(yīng)用

集合知識(shí)是高中教學(xué)的難點(diǎn)，也是高一學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)初高中過渡的關(guān)鍵，很多的學(xué)生一看到集合便被這些知識(shí)難住了，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏懼心理。高一集合教學(xué)過程中，很多教師講解起來也感到較為困難，大費(fèi)周章，苦口婆心地口舌和一節(jié)課，學(xué)生還是不明白集合的概念，不知結(jié)合的意義和價(jià)值，無法體會(huì)到具體的含義和應(yīng)用。初中學(xué)生接觸更多的是簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)，他們更多的形象思維，學(xué)習(xí)到的很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是可以直接觀看感知。此時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過畫圖展現(xiàn)已知條件，讓學(xué)生能夠一目了然。

例如，一班有50名學(xué)生，需要報(bào)名參加學(xué)校組織的甲乙丙三科的興趣學(xué)習(xí)知識(shí)競賽，有38人選擇的了甲學(xué)科，有35人選擇了乙學(xué)科，有31人選擇了丙學(xué)科，同時(shí)選擇了甲乙連個(gè)學(xué)科的有29名學(xué)生，有28名學(xué)生同時(shí)選擇了甲丙學(xué)科，有26人同時(shí)選擇了乙丙學(xué)科，有24人同時(shí)選擇了甲乙丙三門學(xué)科，請問有沒有學(xué)生一個(gè)學(xué)科都沒有選擇，有多少人？這個(gè)問題就是跟集合有關(guān)的看起來非常復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)生活問題，敘述起來就非常復(fù)雜，思考起來更是頭緒繁多，如何選擇韋恩圖法來解決，通過數(shù)形結(jié)合的方式，就會(huì)變得非常簡單。如圖所示，選擇了甲乙而不選丙的有a=29-24=5（人）；選擇甲、丙而沒有選擇乙學(xué)科的學(xué)生有b=28-24=4（人）；選擇了乙、丙沒有選擇甲的有c=26-24=2（人）；僅選擇乙的有d=35-24-a-c=1（人），僅僅選擇了丙學(xué)科的學(xué)生有e=31-24-b-c=1；至少選擇了一門學(xué)科的學(xué)生是38+d+e+c=45（人）。

因此，三門學(xué)科都沒有選擇的學(xué)生有50-45=5（人）。這樣能夠把復(fù)雜的問題簡單化，將抽象問題一目了然，學(xué)生學(xué)習(xí)起來非常直觀，不僅能夠解決這個(gè)問題，更掌握了一種思想方法，以后遇到類似的問題都能借助這個(gè)方法解決。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中教學(xué)的重點(diǎn)，無論是三角函數(shù)、二次函數(shù)等，都具有很強(qiáng)的抽象性，學(xué)生理解較為困難。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生更為直觀地感知和理解函數(shù)圖像。很多的高中函數(shù)試題不是單一考查函數(shù)的知識(shí)，很多時(shí)候會(huì)將函數(shù)與三角形、四邊形、六邊形等知識(shí)融合在一塊，更進(jìn)一步增加了試題的難度。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠通過圖形展示，將各個(gè)條件都標(biāo)到圖像中，更好地理清思路，提高解題效率。

例如，關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，如果該方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)根在（-1，0）這個(gè)區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）區(qū)間內(nèi)，試求m的取值范圍。這是一道特殊一元二次方程，根據(jù)根的數(shù)量和分布情況，判斷位置元素的取值范圍。可以將這個(gè)方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題f（x）=x2+2mx+2m+1，通過函數(shù)分析方程的根的分布問題，能夠做到一目了然。如圖：

f（0）=2m+1<0，

f（-1）=2>0，

f（1）=4m+2<0，

f（2）=6m+5>0，

所以m<-1[]2，

m∈R，

m<-1[]2，

m>-5[]6，

所以-5[]6

三、數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中較為抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生在理解和接受上面臨著一定的困難和挑戰(zhàn)，這就需要中學(xué)數(shù)學(xué)教師運(yùn)用較為合理的方式進(jìn)行講授，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，并有效的滲透到中學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)中，幫助學(xué)生能夠有圖形分析結(jié)論，找到解決的方法，借助數(shù)形結(jié)合思想來完成解題過程。

例如，已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），求證：cos2α-β2=c2a2+b2。

這道試題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將在平面直角坐標(biāo)性中，點(diǎn)A（cosα，sinα）與點(diǎn)B是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1上的兩個(gè)交點(diǎn)，所以，

|AB|2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2cos（α-β）。又因?yàn)閱挝粓A的圓心到直線的距離d=ca2+b2，根據(jù)平面幾何的知識(shí)可知，OA2-12|AB|2。

也就是1-2-2cos（α-β）4=d2=c2a2+b2。

所以cos2α-β2=c2a2+b2。

總之，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)的主要思想，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握一些知識(shí)和解題能力，更應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。通過數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生系統(tǒng)的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，打通知識(shí)間的相互聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生較為完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，促進(jìn)學(xué)生綜合能力發(fā)展。

[參考文獻(xiàn)]

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