朱啟東

數(shù)學(xué)問題是為一個數(shù)學(xué)思維而存在的，要完全解決這個思維必須發(fā)現(xiàn)其規(guī)律和掌握其方法. 在初中的教學(xué)中，要讓學(xué)生通過解題活動去發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律和掌握解題方法. 而提高教學(xué)質(zhì)量就是要把最好的解題方法教給學(xué)生. 在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，解題方法要簡單自然，兼顧學(xué)生的可接受性和可操作性，學(xué)生學(xué)習(xí)之后就能順利“再生產(chǎn)”. 然而，在實際的教學(xué)中，解題教學(xué)有時會處于兩難的境地，即教學(xué)的深度、尺度的把握. 教的簡單，就顯得解法從天而降，缺少了生成性；順著學(xué)生的思維走，可能難把握重心，顯得瑣碎. 最后還是以學(xué)生能接受、可操作的方法才是最適合的方法.

一、例題講解

例1 按下圖的方式，用火柴棒搭三角形.

搭1個三角形需要火柴棒_____根；

搭2個三角形需要火柴棒_____根；

搭3個三角形需要火柴棒_____根；

搭10個三角形需要火柴棒_____根；

搭100個三角形需要火柴棒_____根.

解法一 根據(jù)圖形可知：前三個空應(yīng)填3，5，7，因為搭第1個三角形需要3根火柴棒，每增加1個三角形就增加2根火柴棒，所以搭10個三角形需要火柴棒3 + 9 × 2 = 21根，搭100個三角形需要火柴棒3 + 99 × 2 = 201根.

解法二 可以將搭1個三角形看作1 + 2根火柴棒，像這樣搭2個三角形需要1 + 2 × 2 = 5火柴棒，搭3個三角形需要1 + 3 × 2 = 7火柴棒，搭10個三角形需要火柴棒1 + 10 × 2 = 21根，搭100個三角形需要火柴棒1 + 100 × 2 = 201根.

解法三 可以將搭每1個三角形看作用3根火柴棒，搭2個三角形需要2 × 3 - 1 = 5火柴棒，搭3個三角形需要3 × 3 - 2 = 7火柴棒，搭10個三角形需要火柴棒10 × 3 - 9 = 21根，搭100個三角形需要火柴棒100 × 3 - 99 = 201根.

解法四 根據(jù)圖形：可得一組數(shù)列：3，5，7，9，…

用作差法（從第二個數(shù)開始，將每個數(shù)和它的前一個數(shù)作差），可得差值始終是2，所以可猜想第n個數(shù)為2n + ？，再取一個n的值代入，例如取n = 1代入可得2 × 1 + ？= 3，則？ = 1，所以第n個數(shù)可表示為2n + 1. （再任取幾個n的值代入驗證. ）

變式訓(xùn)練：

求下列各組數(shù)列中的第100個數(shù).

（1）2，4，6，8，…

（2）1，4，7，10，…

（3）1， ， ， ，…

例2 剪繩子：

（1）將一根繩子對折1次后從中間剪一刀（如圖），繩子變成 段；

將一根繩子對折2次后從中間剪一刀，繩子變成 段；將一根繩子對折3次后從中間剪一刀，繩子變成 段.

（2）將一根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成 段.

解 根據(jù)操作可知：

將一根繩子對折1次后從中間剪一刀，繩子變成3段；

將一根繩子對折2次后從中間剪一刀，繩子變成5段；

將一根繩子對折3次后從中間剪一刀，繩子變成9段；

將一根繩子對折4次后從中間剪一刀，繩子變成17段；

按此規(guī)律可得一組數(shù)列：3，5，9，17，…

解法一 作差法. 可得其差值分別為：2，4，8，…，其數(shù)值增長的速度超過之前數(shù)列的數(shù)值增長的速度，所以應(yīng)該比n2的變化更快，而且其差值是以2的乘方在增長，因此，嘗試用2n + ？來描述；再取一個n的值代入，例如取n = 2代入可得22 + ？ = 5，則？= 1. 所以，第n個數(shù)可表示為2n + 1. （再任取幾個n的值代入驗證. ）

解法二 對比序號. 把變數(shù)和序號放在一起進行對比，本題中將3，5，9，17對應(yīng)①②③④可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的數(shù)，都可以表示為2乘方數(shù)多1. 由此可得第n個數(shù)可表示為2n + 1.

變式訓(xùn)練：

求下列各組數(shù)列中的第n個數(shù).

（1）2，4，8，16，32，64，…

（2）5，7，11，19，35，67，…

（3）1，- ， ，- ，…

二、教學(xué)反思

（一）歸納思想的運用

解以上這道規(guī)律題都是先通過圖形的直觀性，得出幾個特殊的例子的數(shù)據(jù)，再由特殊到一般探索這類問題的規(guī)律、提出猜想，這個過程運用了一個重要的數(shù)學(xué)思想——歸納. 歸納思想是數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)的一種重要的思想，學(xué)生的創(chuàng)造力在很大程度上都是依賴于歸納的能力. 沒有歸納就相當于沒有創(chuàng)新的源泉. 推廣到將來的工作、生活中，如果一個人將歸納應(yīng)用于生活中，那么他也將更好的完善自我，更可能實現(xiàn)自己的奮斗目標. 所以，歸納思想不僅僅是重要的數(shù)學(xué)思想，更是使人終身受益的重要思想.

（二）轉(zhuǎn)化思想的運用

就解題的本質(zhì)而言，解題既意味著轉(zhuǎn)化：即把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，等等. 在解這些題目的過程中，先將圖形信息轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)信息，再將數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)化為符號語言，有了符號就又可以對應(yīng)所要求的任意一個具體的問題.

總之，在解一個數(shù)學(xué)問題中，可以通過先發(fā)現(xiàn)它的解題規(guī)律再掌握它的解題方法. 如何發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，是解題的關(guān)鍵所在. 因此，通過仔細觀察，了解其結(jié)構(gòu)特點，通過比較，發(fā)現(xiàn)相互之間的內(nèi)在聯(lián)系，再歸納出一般規(guī)律. 這種由特殊到一般的思維方式，不僅是發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律的重要方法，而且是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要思想基礎(chǔ).