祁國(guó)偉

隨著我國(guó)教育的不斷改革，高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)，教師也更加重視對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生掌握多元化的解題方式，提高學(xué)生的解題效率，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高.

一、變量代換解題法

變量代換就是在解題過程中，遇到難度較大的數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過引入一些新的變量進(jìn)行代換，簡(jiǎn)化題目的結(jié)構(gòu)和形式，從而簡(jiǎn)化解題過程，讓學(xué)生能夠更輕松地解決問題，也就是教學(xué)實(shí)踐中常說的“換元”.高中數(shù)學(xué)的題干和結(jié)論比較復(fù)雜，學(xué)生在獨(dú)立解題的過程中受制于結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜和對(duì)字母的恐懼，很難形成清晰的思路，但通過引入變量代換法，學(xué)生可以更加順利地思考問題的解決方法，認(rèn)清題目的類型，甚至一些常見問題可以形成程序化的解答方法，無疑可以大大減少重復(fù)勞動(dòng).并且變量代換法在數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠解決很多類型的問題，尤其是在處理一些比較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式的問題中，發(fā)揮著很大的作用.通過在解題中進(jìn)行變量的代換，能夠有效簡(jiǎn)化題目信息，讓學(xué)生能夠更加明確題目所給出的條件，從而優(yōu)化解題過程.應(yīng)該在課堂教學(xué)中滲透變量代換的思想，使其成為代數(shù)基本能力.

范例1 求函數(shù)f（x）=x2-3x+1x+1（x>-1）的值域.

分析 這個(gè)函數(shù)類型是高中常見的分式二次函數(shù)，也有很多參考書采用拼湊變形的方法，但不如變量代換即換元法來得簡(jiǎn)捷，規(guī)范.

略解 令t=x+1，則t>0，y=t+5t-5，由基本不等式可得y≥25-5.當(dāng)且僅當(dāng)t=5取等號(hào).所以值域：[25-5，+∞）.

反思 這種類型的分式二次函數(shù)就可以形成對(duì)分母整體代換的程序化解法.

范例2 若a，b>0，a+b=3，求1+a+1+b的最大值.

分析 本題如果不做換元而直接拼湊的話，筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)效果很差，但提醒學(xué)生換元后基本都可以獨(dú)立完成.

略解 令m=1+a，n=1+b，則a=m2-1，b=n2-1，

問題轉(zhuǎn)化為m>1，n>1，m2+n2=5，求m+n的最大值.

由平方平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系可知m2+n22≥m+n2可知m+n≤10.

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=102時(shí)取等號(hào)，所以m+n的最大值為10.

反思 本例的障礙很明顯，就是根號(hào)，換元后會(huì)有豁然開朗、柳暗花明的感覺，在教學(xué)實(shí)踐中提醒學(xué)生當(dāng)遇到復(fù)雜的式子時(shí)應(yīng)該多嘗試換元法.當(dāng)然本例的解法很多，特別是可以用三角換元的方法，更能體現(xiàn)換元的威力，這里就不做展開了.

范例3 （2013年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽第4題）

已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy+1=4x+y，且x>1，則（x+1）（y+2）的最小值是.

分析 本題的標(biāo)準(zhǔn)答案采用消元后轉(zhuǎn)化為x的一元函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最小值.如果注意到目標(biāo)其實(shí)是兩個(gè)對(duì)象乘積的話，可以考慮換元法的應(yīng)用.

略解 令a=x+1，b=y+2，則條件轉(zhuǎn)化為ab=6a+2b-9，a>2.

可求得b>6，由基本不等式可得6a+2b≥43·ab，所以ab≥43·ab-9.再令t=ab，則t2-43t+9≥0，解得t≥33或t≤3，所以ab≥27或ab≤3（不合），當(dāng)且僅當(dāng)a=3，b=9時(shí)取等號(hào)，所以（x+1）（y+2）的最小值是27.

二、分類討論解題法

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，也是高考必考的數(shù)學(xué)思想之一.在數(shù)學(xué)解題中合理應(yīng)用這種數(shù)學(xué)解題思想，能夠有效簡(jiǎn)化題目，同時(shí)能夠全面考慮題目中的多種情況，做到全面準(zhǔn)確地解題，幫助學(xué)生形成更加科學(xué)的數(shù)學(xué)思維.學(xué)生的困惑在于如何確定討論的標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)只要以目標(biāo)為導(dǎo)向，使不確定因素通過討論能確定下來，這就是討論的標(biāo)準(zhǔn).通過分類討論能夠使解題過程變得更加清晰明確，同時(shí)也能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生解題的效率.分類討論在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用得較多，其中包括根據(jù)函數(shù)概念進(jìn)行討論、根據(jù)函數(shù)圖形位置進(jìn)行討論、根據(jù)實(shí)際問題中的動(dòng)態(tài)條件等進(jìn)行討論.

范例4 已知曲線y2=2x，設(shè)定點(diǎn)A（a，0），a∈R，曲線上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離最小值為f（a），求f（a）的函數(shù)表達(dá)式.

略解 設(shè)M（x，y）為曲線y2=2x上的任意一點(diǎn)，則可以得出

|MA|2=（x-a）2+y2=（x-（a-1））2+2a-1，定義域x≥0.

當(dāng)a-1≥0即a≥1時(shí)，|MA|2的最小值為2a-1，f（a）=2a-1；

當(dāng)a-1<0即a<1時(shí)，|MA|2的最小值為a2，f（a）=|a|.

綜上：略

反思 討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是由于圖像對(duì)稱軸與定義域關(guān)系的不確定，所以只要理清其關(guān)系就可以知道討論的標(biāo)準(zhǔn)和情況.本例的知識(shí)點(diǎn)在于二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，可做多種變式，如定軸動(dòng)區(qū)間、動(dòng)軸定區(qū)間、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的二次函數(shù)類型，教學(xué)實(shí)踐中可以通過變式體會(huì)討論標(biāo)準(zhǔn)的確定過程.這類的歸納總結(jié)很多，就不再深入展開了.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不單是讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，還需要培養(yǎng)學(xué)生解題的能力，幫助學(xué)生形成完善的解題思路和方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中能夠深入理解各種題型，掌握多種解題方法，并靈活應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率.

【參考文獻(xiàn)】

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