多元統(tǒng)計(jì)分析中的因子分析法的應(yīng)用

馬明建

摘要：文章運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析中的因子分析，根據(jù)試卷的量化指標(biāo)難度、區(qū)分度、信度以及學(xué)生對(duì)教師的評(píng)價(jià)等數(shù)據(jù)指標(biāo)建立多元統(tǒng)計(jì)模型，利用SAS統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行建模分析。通過因子分析運(yùn)行結(jié)果，進(jìn)一步分析影響教學(xué)效果、教學(xué)評(píng)價(jià)、教學(xué)質(zhì)量的因素，為提高教學(xué)質(zhì)量提供參考。

關(guān)鍵詞：多元統(tǒng)計(jì)分析；因子分析；難度；區(qū)分度；信度；態(tài)度

試卷質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)分析是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)成果、提高教學(xué)效果、改進(jìn)教學(xué)方式的重要途徑。過去很多研究大多就試卷質(zhì)量量化指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算和分析，僅得到了一些關(guān)于試卷質(zhì)量的數(shù)據(jù)。而本文以教育統(tǒng)計(jì)和測(cè)量為理論基礎(chǔ)，計(jì)算出試卷質(zhì)量的量化指標(biāo)，運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析知識(shí)，建立因子模型，根據(jù)因子分析的結(jié)果，簡(jiǎn)要分析教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，對(duì)教學(xué)質(zhì)量得出綜合評(píng)價(jià)。

一、試卷量化的指標(biāo)

試卷分析數(shù)量化是教育測(cè)量科學(xué)化的重要內(nèi)容，衡量試卷質(zhì)量的主要檢驗(yàn)指標(biāo)有難度、區(qū)分度、信度、效度四項(xiàng)指標(biāo)，這些指標(biāo)的概念和計(jì)算方法如下（本文所要分析的試卷中不含有選擇、是非題）。

大量統(tǒng)計(jì)資料表明，考試成績(jī)的分布一般服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。于是我們可以作如下假設(shè)：評(píng)分以100分制，每題滿分為aj（j=1，2，…，n），其中xj、S表示第j題的均值、方差。

（一）可靠性分析

可靠性是指考試結(jié)果的可信程度，用于考察試卷的總體質(zhì)量。從教育測(cè)量學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生的考試成績(jī)應(yīng)來(lái)自正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，否則該次考試的成績(jī)就是不合理的。

（二）難度分析

試卷難度可根據(jù)Pi=計(jì)算出每一題的難度，然后再根據(jù)P=ajPj來(lái)計(jì)算出試卷總體難度。一般大規(guī)模標(biāo)準(zhǔn)化考試難度控制0.4～0.7之間，但學(xué)科結(jié)業(yè)考試一般控制在0.5～0.85之間為宜。

（三）區(qū)分度分析

試題區(qū)分度是考量試題是否能將學(xué)識(shí)不同的學(xué)生區(qū)分開的指標(biāo)。第j道題的區(qū)分度為δj=，Hj，Lj分別表示高低分組第j題的平均分，高低分組各占樣本總量的25%～30%為宜，試卷的總區(qū)分度δ=ajδj，一般試題的區(qū)分度應(yīng)在0.3以上。

（四）信度分析

信度是評(píng)估分?jǐn)?shù)與考生真實(shí)水平一致性的指標(biāo)。通常大規(guī)模標(biāo)準(zhǔn)化考試要求信度在0.9以上，自編試卷的信度應(yīng)大于0.4，計(jì)算公式：rx=（1-）=（1-）。

二、具體試卷指標(biāo)計(jì)算

現(xiàn)有某學(xué)校某專業(yè)學(xué)生（58人）的五門課程，其中，前兩門課程為同一位老師教授，后三門課程的授課教師均為互不相同的教師。另外，根據(jù)問卷調(diào)查，得到了學(xué)生對(duì)五門專業(yè)課授課教師的教學(xué)評(píng)價(jià)的平均值，滿分為100分。在對(duì)學(xué)生的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)教師的評(píng)價(jià)較低，則相應(yīng)的學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)態(tài)度差；而對(duì)評(píng)價(jià)高的課程，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高，學(xué)習(xí)態(tài)度良好。因此，將教學(xué)評(píng)價(jià)可以看作學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度（見表1）。

（一）可靠性檢驗(yàn)

由于樣本容量n≤200，將采用SAS軟件中的Shapiro-Wilks的W統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)正態(tài)性。經(jīng)檢驗(yàn)，此次考察的五門課程均符合正態(tài)分布，數(shù)據(jù)可靠，可以進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析。

（二）試卷量化分析的各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算

按照上述所提供的試卷各項(xiàng)指標(biāo)計(jì)算公式可得到結(jié)果如表1所示。

三、正交因子模型及因子分析

建立因子分析數(shù)學(xué)模型的目的不僅要找出公共因子以及對(duì)變量進(jìn)行分組，更重要的是要知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問題做出科學(xué)的分析。

下面以表1作為數(shù)據(jù)源，編寫程序，輸出結(jié)果如表2、表3。

由表2可看出，前兩個(gè)因子的累計(jì)貢獻(xiàn)率超過90%，故公因子的個(gè)數(shù)為2。由表3可以看到第一公因子中主要載荷為x2（區(qū)分度）、x4（態(tài)度）、x1（難度），這都是影響學(xué)生考試成績(jī)的指標(biāo)，且可看到學(xué)生的對(duì)老師態(tài)度起了很大的作用，可以稱之分?jǐn)?shù)因子；第二個(gè)公因子中，起主要作用的是x3（信度），可稱之為穩(wěn)定性因子。

四、結(jié)果分析

通過上述的試卷質(zhì)量指標(biāo)的計(jì)算，以及因子分析的結(jié)果，可以得到以下分析結(jié)果。

第一，雖然學(xué)生對(duì)前兩門課程的同一位任課教師的評(píng)價(jià)很低，但是該授課教師試卷質(zhì)量符合要求，反映了教師的教學(xué)大綱完成情況正常，說(shuō)明了課程考試從一定意義上有效的檢驗(yàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果及教師課堂教學(xué)效果；其次，學(xué)生對(duì)教師的評(píng)價(jià)的主觀性較強(qiáng)，這些評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)也反映學(xué)生對(duì)待授課教師、該門課程的學(xué)習(xí)態(tài)度情況。接下來(lái)，通過因子分析來(lái)進(jìn)一步判斷學(xué)生的態(tài)度對(duì)考試結(jié)果的影響。

第二，SAS軟件統(tǒng)計(jì)分析課程試卷與時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)分析課程試卷相比較，前者的試卷量化指標(biāo)顯然要比后者質(zhì)量高，以此來(lái)看，前者的教學(xué)效果及教學(xué)質(zhì)量要比后者強(qiáng)，同一位老師教授的同一批學(xué)生的不同課程，存在較為明顯的差異。從SAS軟件中利用成對(duì)組檢驗(yàn)，也可以得出這樣的結(jié)論，即兩次考試存在顯著性差異。另外需要說(shuō)明的是，前者是第六學(xué)期考試科目，后者是第七學(xué)期的必修課，而全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試就是在第七學(xué)期?？梢钥吹?，在出題者和答題者不變的情況下，前后兩次考試存在顯著性差異，除了試卷質(zhì)量本身的差異性，另一個(gè)非常重要的原因應(yīng)該是學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度。

第三，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度是否影響考試結(jié)果，在因子分析中這個(gè)問題得到了解答。按照因子分析的理論，影響考試成績(jī)的因素可以綜合為少數(shù)的幾個(gè)，并且可以根據(jù)因子載荷矩陣來(lái)判斷，哪個(gè)因素的影響較大。經(jīng)因子分析后，影響成績(jī)的指標(biāo)綜合為兩個(gè)：分?jǐn)?shù)因子和穩(wěn)定性因子。其中可以看到學(xué)生態(tài)度的載荷為0.94309，表明態(tài)度是影響成績(jī)非常重要的因素。

通過上面的分析，大多數(shù)學(xué)生都忙于準(zhǔn)備考研，沒有認(rèn)真的準(zhǔn)備考試，因此，在第七學(xué)期的《時(shí)間序列分析》考試與上學(xué)期的考試存在顯著性差異，其中一部分原因是由學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度造成的。