陳祖靈

【摘 要】運(yùn)算能力不能單純理解成計(jì)算能力。對(duì)于“運(yùn)算能力”，《2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》里有明確要求。運(yùn)算求解是解數(shù)學(xué)題的步驟中必不可少的一環(huán)，很多數(shù)學(xué)問題的正確解決都建立在正確的運(yùn)算基礎(chǔ)之上。本文對(duì)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差的學(xué)困生的表現(xiàn)、成困及轉(zhuǎn)化對(duì)策進(jìn)行了研究。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算能力 解題 速度 準(zhǔn)確

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）04B-0153-03

運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要求具備的基本能力之一。當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從單一到多元地增長(zhǎng)，知識(shí)面不斷拓寬，內(nèi)容不斷深化，抽象程度不斷提高時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也應(yīng)當(dāng)隨之得到發(fā)展。如果數(shù)學(xué)運(yùn)算能力低于高中數(shù)學(xué)能力要求，那么學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果就會(huì)大打折扣。

運(yùn)算能力不能單純理解成計(jì)算能力。對(duì)于“運(yùn)算能力”，高考《2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》里是這樣明確要求的：“會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算?！?/p>

運(yùn)算求解是解數(shù)學(xué)題的步驟中必不可少的一環(huán)，很多數(shù)學(xué)問題的正確解決都建立在正確的運(yùn)算基礎(chǔ)之上。以下闡述高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差的學(xué)困生的表現(xiàn)、成困及轉(zhuǎn)化對(duì)策。

一、高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差的各種表現(xiàn)

1.運(yùn)算粗心馬虎。運(yùn)算中加減號(hào)記錯(cuò)寫錯(cuò)，因式分解弄錯(cuò)正負(fù)號(hào)。如，2+3=6，約分等。

2.公式背錯(cuò)。張冠李戴，顛三倒四，基本功不踏實(shí)。例如在寫余弦定理時(shí)，cosA記成sinA，加減號(hào)記亂，乘以2還是記不清。

3.基本算理不清楚。不注明 a≠0；解方程 x2=x 時(shí)直接約去 x 結(jié)果得 x=1；解不等式 a2>a 時(shí)直接兩邊同除以 a，解得 a>1，不知道當(dāng) a<0 時(shí)要變號(hào)。

4.基本概念理解不到位。解三角形時(shí)將角的關(guān)系 sin2A+sin2B=1 錯(cuò)誤地直接轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系 a2+b2=1。

5.運(yùn)算速度慢。有的學(xué)生在化簡(jiǎn)、合并同類項(xiàng)或展開數(shù)學(xué)式子時(shí)反應(yīng)慢，計(jì)算結(jié)果雖然正確但所用時(shí)間過長(zhǎng)，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)不能完成答題任務(wù)。

6.運(yùn)算特別繁瑣。解題時(shí)無整體感，不會(huì)用換元、消元、轉(zhuǎn)化等手段處理較復(fù)雜的運(yùn)算問題等。

二、高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差的原因

1.運(yùn)算速度慢，或者經(jīng)?？村e(cuò)條件，以及經(jīng)常算錯(cuò)數(shù)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總是感到很吃力的學(xué)困生數(shù)學(xué)運(yùn)算的整體感覺都比較差的。他們對(duì)數(shù)字及數(shù)學(xué)符號(hào)不敏感，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算遲鈍。不能主動(dòng)、自覺地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)。有的學(xué)生從小學(xué)到初中，平時(shí)遇到數(shù)學(xué)計(jì)算就靠計(jì)算器代勞，長(zhǎng)此以往弱化了計(jì)算能力，這類學(xué)困生認(rèn)為自己是學(xué)不好數(shù)學(xué)的，要是能取消數(shù)學(xué)科就好了。

2.公式背錯(cuò)，基本功不扎實(shí)?；舅憷聿磺宄靖拍罾斫獠坏轿坏膶W(xué)困生，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上是被動(dòng)的、缺乏鉆研精神的。他們數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得多數(shù)靠數(shù)學(xué)課堂上那40分鐘的看熱鬧式的聽課。少了課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)及鞏固練習(xí)，記在腦海里的公式似是而非，對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理的記憶、理解、表述都?xì)埲辈蝗?/p>

3.部分老師覺得課堂教學(xué)“時(shí)間緊，任務(wù)重”，所以只重視解題思路點(diǎn)撥提煉，弱化對(duì)運(yùn)算算理及技巧的指導(dǎo)，期待學(xué)生在課后自己花時(shí)間練。而學(xué)生覺得自己已經(jīng)聽懂了學(xué)會(huì)了，學(xué)到位了，滿心歡喜地將運(yùn)算輕輕放過了，最終養(yǎng)成了解題上“眼高手低”的毛病。

三、轉(zhuǎn)化高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力差的學(xué)困生可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行努力

1.運(yùn)算是一種能力是可以經(jīng)由培養(yǎng)獲得提高的。老師在例習(xí)題講解過程中，不要怕花時(shí)間，盡可能向?qū)W生展示詳細(xì)的運(yùn)算過程，包括讀題時(shí)圈出關(guān)鍵數(shù)字及符號(hào)，讀懂?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)語言蘊(yùn)含的意思，選擇好公式和運(yùn)算方向，對(duì)運(yùn)算中關(guān)鍵的地方要留意，對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)要反復(fù)檢查那關(guān)鍵的一兩步。

〖分析〗方法一，計(jì)算量較大且容易出錯(cuò)，但它是通法，學(xué)生容易想到用公式f（-x）=±f（x）來判斷函數(shù)的奇偶性。中間分子有理化這一步是如何想到的？對(duì)比表達(dá)式發(fā)現(xiàn)f（-x）與f（x）不相等，因此函數(shù)不是偶函數(shù)；再對(duì)比f（-x）與-f（x）的表達(dá)式從兩頭往中間靠，-f（x）可化成有分式的結(jié)構(gòu)，則f（-x）也化為分式結(jié)構(gòu)湊成同分母，此時(shí)中間分子有理化這一步就順理成章出現(xiàn)了。

方法二，考慮到對(duì)數(shù)的加法公式和平方差公式，用 f（-x）+f（x）=0干脆利落地得出答案。這個(gè)處理方式降低了運(yùn)算量，簡(jiǎn)化了解題過程。

這道典型例題的兩種解題方法最好由學(xué)生在課堂上呈現(xiàn)，學(xué)困生多數(shù)用方法一的思路來解題，接著就卡在分子有理化這一步，通過同伴或教師的點(diǎn)撥突破難點(diǎn)后，對(duì)運(yùn)算印象深刻。當(dāng)方法二出現(xiàn)時(shí)能給人柳暗花明又一村的感覺，欣賞兩種解法能感受到對(duì)數(shù)的各種運(yùn)算的魅力。

2.讓學(xué)生從思想上端正學(xué)習(xí)態(tài)度。對(duì)學(xué)生的運(yùn)算提出“獨(dú)立、準(zhǔn)確、迅速、合理、規(guī)范”要求，培養(yǎng)良好的運(yùn)算習(xí)慣。課堂上盡量能多投影展示學(xué)生的解題過程，對(duì)寫得好的表揚(yáng)，對(duì)犯了典型運(yùn)算錯(cuò)誤的善意提醒，指出不足，多多鼓勵(lì)。這樣課堂上學(xué)生能通過對(duì)比了解同學(xué)的學(xué)習(xí)情況，取長(zhǎng)補(bǔ)短爭(zhēng)學(xué)趕超。堅(jiān)持一段時(shí)間學(xué)生的書寫變得規(guī)范，看錯(cuò)題目的機(jī)率變小，做題的準(zhǔn)確率大大提高。

〖分析〗投影或板書以上兩種解法，解法一著眼于向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由條件寫出差向量的坐標(biāo)，再由模長(zhǎng)公式得兩個(gè)向量橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系滿足垂直的條件。思路自然，但運(yùn)算量較大，很多運(yùn)算細(xì)節(jié)（如加減號(hào)）要注意。解法二把握住整體思想，從大處著眼尋找向量數(shù)量積的結(jié)構(gòu)，由結(jié)論反推得此題只需 a·b=0。兩法比較可知運(yùn)算路徑的選擇直接決定了運(yùn)算量的大小。在課堂上還可以提醒學(xué)生思考，如果自己證不出，問題出在哪一步。

3.設(shè)計(jì)一些基礎(chǔ)的專項(xiàng)運(yùn)算練習(xí)，比如指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角恒等變換、平面向量空間向量的運(yùn)算等，每天進(jìn)行一定時(shí)間的限時(shí)訓(xùn)練，工多手熟，這樣能在背熟公式的同時(shí)提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率。

〖分析〗這樣的題組可以是課本例習(xí)題的集成，也可以是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組負(fù)責(zé)收集整理的鞏固題?？梢杂蓪W(xué)生自己對(duì)答案，也可以是科代表組織全班交叉批改。踏踏實(shí)實(shí)地長(zhǎng)期訓(xùn)練，可以讓學(xué)生保持練習(xí)，最后達(dá)到熟能生巧。

4.每一次考試后讓學(xué)生進(jìn)行解題出錯(cuò)分析，然后確定改進(jìn)方法。是讀題出錯(cuò)的就慢些，圈出重點(diǎn)數(shù)字和符號(hào)；是計(jì)算錯(cuò)誤的就留意運(yùn)算中關(guān)鍵的地方并反復(fù)檢查那一兩步；是抄寫錯(cuò)誤的抄寫時(shí)放慢速度；是筆誤的注意復(fù)查；是做題時(shí)公式回憶不起來，缺乏思路的就要搞清楚它是屬于哪章？哪節(jié)？怎么用？如果還搞不懂，就要請(qǐng)教老師和同學(xué)。

四、個(gè)案案例

1.筆者從高二開始接手 1207 和 1209 班（理科）的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，一直帶到高三參加高考。在 1209 班上課，課堂氣氛輕松活躍，學(xué)生反應(yīng)敏捷。施小兵（化名）是其中的典型代表。他基礎(chǔ)比較扎實(shí)，性格外向。喜歡上數(shù)學(xué)課，積極思考問題，課堂上積極回答問題積極提供解題思路。但幾次周測(cè)月考數(shù)學(xué)成績(jī)都在八九十分之間徘徊。

我們?cè)诳己罂偨Y(jié)反思中看到，他是比較粗心大意的，經(jīng)常因一步失誤而造成整題錯(cuò)誤。比如一道與二項(xiàng)分布有關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題滿分 12 分，他寫得滿滿的，思路分析全對(duì)，但只得了 2 分，因?yàn)樵谧铋_始計(jì)算關(guān)鍵的中的 p 值算錯(cuò)了。又比如立體幾何解答題（12 分）也是寫滿，輔助線作對(duì)，定理也用對(duì)，但開始時(shí)某一條關(guān)鍵棱長(zhǎng)的值求錯(cuò)了，只得了 7 分。令人擔(dān)心的是他自己不以為然，認(rèn)為自己解題有思路，書寫也規(guī)范，只是一點(diǎn)計(jì)算上的小錯(cuò)誤就扣他那么多分，還有點(diǎn)不服氣。

針對(duì)這樣的情況，首先與他一起分析評(píng)分細(xì)則，然后向他指出正確運(yùn)算的重要性——優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想、方法和技巧的體現(xiàn)都建立在正確的運(yùn)算基礎(chǔ)之上，讓他改變不以為然的態(tài)度，治理眼高手低的毛病。另外通過在課堂講評(píng)中展示詳細(xì)的評(píng)分細(xì)則，投影優(yōu)秀答卷，也投影施小兵的答卷，全班在惋惜之余也都認(rèn)識(shí)到正確運(yùn)算的重要性。規(guī)范答題的習(xí)慣也慢慢培養(yǎng)起來了。學(xué)生喜歡這樣的評(píng)講方式，我們的考試講評(píng)經(jīng)常這樣做。經(jīng)過長(zhǎng)期的訓(xùn)練，施小兵同學(xué)高考數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到 127 分，考取了自己心儀的大學(xué)。

2.1207 班班風(fēng)沉穩(wěn)，課堂上學(xué)生喜歡獨(dú)立思考，學(xué)生在班主任的引導(dǎo)下更下苦功學(xué)數(shù)學(xué)，但多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，底子較薄。平時(shí)做練習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算錯(cuò)漏百出，孫小鳳（化名）是其中的典型代表。她勤奮用功，每天早早到教室，遲遲才回宿舍，但學(xué)習(xí)上似乎沒找到方法，幾次考試數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诹呤肿笥摇?/p>

針對(duì)這樣的情況，我們?cè)谠摪噙M(jìn)行每天30分鐘數(shù)學(xué)限時(shí)基礎(chǔ)題專項(xiàng)運(yùn)算訓(xùn)練。在高三一輪復(fù)習(xí)中這種方法對(duì)學(xué)困生尤其有效。經(jīng)過這樣的訓(xùn)練，孫小鳳同學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒那么難了，指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算、因式分解不再出錯(cuò)，解方程解不等式速度提高，三角恒等變換公式轉(zhuǎn)換自如，平面向量、空間向量運(yùn)算輕松，對(duì)兩點(diǎn)間距離公式理解到位。經(jīng)過努力，最后孫小鳳同學(xué)的數(shù)學(xué)高考成績(jī)是 97 分。

運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，也是綜合能力的具體體現(xiàn)。運(yùn)算能力的培養(yǎng)，不僅與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)密切相關(guān)，也與學(xué)生的思維，學(xué)生的非智力因素相互影響，相互制約。我們要鼓勵(lì)學(xué)困生樹立信心，合理訓(xùn)練，逐漸提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

（責(zé)編 盧建龍）