王麗云

[摘 要] 數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，是深化數(shù)學(xué)知識(shí)理解的重要途徑，北師大版的高中數(shù)學(xué)教材的編排注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用. 數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用對(duì)于學(xué)生而言實(shí)際上存在兩個(gè)互逆的過程：一方面教材提供的實(shí)例及其解決，是學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行問題解決的過程，而學(xué)生可以在對(duì)不同實(shí)例的歸納當(dāng)中獲得此類問題解決的一般思路；另一方面，學(xué)生在形成解決思路之后，又可以利用這一思路去尋找新的與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的問題.在這個(gè)互逆的過程中，學(xué)生的解題能力會(huì)得到增強(qiáng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以得到提升. 文章以“解三角形的實(shí)際應(yīng)用”為例，闡述了教學(xué)實(shí)踐中的有關(guān)思考.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)知識(shí)；實(shí)際應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)建模

課程改革以來(lái)，一個(gè)教學(xué)理念得到了普遍的重視，那就是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解. 根據(jù)這一要求，不同版本的教材在編排的時(shí)候也出現(xiàn)了實(shí)際應(yīng)用的相關(guān)章節(jié)，這使得一線教師在教學(xué)的時(shí)候更加有章可循. 但在實(shí)際教學(xué)中我們經(jīng)?？吹竭@樣的現(xiàn)象：教師將這些實(shí)際應(yīng)用類的章節(jié)教學(xué)當(dāng)成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸，只將其作為一種應(yīng)用類的例題來(lái)講解，而忽視了其本該具有的“實(shí)際應(yīng)用”的價(jià)值，這樣的教學(xué)筆者認(rèn)為不符合實(shí)際應(yīng)用教學(xué)理念的初衷，問題的突破關(guān)鍵在于，怎樣才能體現(xiàn)出這種實(shí)際應(yīng)用性呢？對(duì)此問題，筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了持續(xù)的探究. 現(xiàn)以北師大版高三數(shù)學(xué)必修五教材中的“解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例”為例，談?wù)劰P者的看法.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用的理解

實(shí)際應(yīng)用，從字面來(lái)看，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際情形中的應(yīng)用，這樣的理解實(shí)際上也是眾多一線教師的直覺性理解. 但作為教學(xué)理念的運(yùn)用，筆者以為僅僅有此實(shí)際應(yīng)用還是不夠的，還需要做出進(jìn)一步的解讀.

結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求與實(shí)踐，筆者以為數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)當(dāng)有著這樣的幾個(gè)層次的認(rèn)識(shí)：

第一層次：實(shí)際應(yīng)用首先是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的觸角伸向生活

實(shí)際應(yīng)用的本義，是將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，這首先是學(xué)生學(xué)習(xí)視角的變化，通常情況下學(xué)生只關(guān)注抽象條件下自身解題能力的培養(yǎng)，并不關(guān)注具體實(shí)際情境中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用. 但因?yàn)槠湓趥鹘y(tǒng)評(píng)價(jià)方式中并不影響學(xué)生的應(yīng)試能力，因而并不影響應(yīng)試的效果. 但筆者發(fā)現(xiàn)另一種情形，即學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中如果能夠得心應(yīng)手，那在解決陌生的數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，往往能夠表現(xiàn)出更為強(qiáng)大的能力. 這對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)重要的啟發(fā)，即可以突破講了才會(huì)、不講不會(huì)的痼疾. 因此，當(dāng)學(xué)習(xí)的觸角伸向生活，是可以有效提升學(xué)生的問題解決能力的.

第二層次：實(shí)際應(yīng)用強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)

但數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，又不僅僅是數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的簡(jiǎn)單聯(lián)系，而應(yīng)當(dāng)是學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)抽象的能力，畢竟，實(shí)際事物呈現(xiàn)在學(xué)生面前的往往不是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題，而是由實(shí)際應(yīng)用包裹著的數(shù)學(xué)問題，因此學(xué)生需要將實(shí)際情形進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象. 數(shù)學(xué)抽象的過程，是一個(gè)運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)解構(gòu)實(shí)際問題的過程，在此過程中學(xué)生的方向選擇是否正確，所用的數(shù)學(xué)工具是否恰當(dāng)，影響著數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 更重要的是，在此過程中學(xué)生會(huì)不斷地出錯(cuò)，這個(gè)出錯(cuò)過程往往是學(xué)生雜亂思維走向清晰的過程，很有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.

第三層次：實(shí)際應(yīng)用需要學(xué)生的數(shù)學(xué)建模作為支撐

實(shí)際應(yīng)用類的問題有一個(gè)顯著特征，就是需要數(shù)學(xué)模型的參與. 實(shí)際上上述第二點(diǎn)數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果之一，就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，可以這么說，建立數(shù)學(xué)模型并分析數(shù)學(xué)模型，才是數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用最為核心的環(huán)節(jié). 因此，實(shí)際應(yīng)用需要高度關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建立.

結(jié)合上面三個(gè)層次的理解，來(lái)看“解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例”中有引入自動(dòng)卸貨汽車液壓機(jī)構(gòu)的例子：首先，三角形知識(shí)與汽車液壓結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，就是數(shù)學(xué)思維向?qū)嶋H延伸的具體方式之一；其次，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需要將實(shí)際的汽車液壓實(shí)物抽象成三角形圖形（如圖1），并基于已知與未知關(guān)系建立帶有數(shù)量關(guān)系的三角形模型（如圖2），然后利用余弦定理求解（具體略）. 在這個(gè)實(shí)例當(dāng)中，遵循著全部以上三層理解，是一個(gè)典型的三角形知識(shí)在實(shí)際應(yīng)用中的例子.

課堂教學(xué)如何凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用性

實(shí)際上，并不是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都需要強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用性，忽視了這一點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中就會(huì)陷入實(shí)際應(yīng)用的“亂花”，常常容易“迷人眼”，反而容易忽視需要重視實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)意義. 那么，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用性呢？結(jié)合“解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例”的教學(xué)，筆者做了這樣的兩點(diǎn)思考：

第一，實(shí)際應(yīng)用的例子從哪里來(lái)

綜合“解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例”這節(jié)教材的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際應(yīng)用的例子更多地體現(xiàn)出三角形知識(shí)在生活中的原型，比如說汽車液壓裝置，比如說煙囪高度的測(cè)量，比如說后面習(xí)題中的山頂高度的測(cè)定等，這是符合教材編寫的思路的. 根據(jù)三角形知識(shí)中已知與未知的關(guān)系，去倒推生活中可能存在的三角形實(shí)例，并將之改造成符合本部分知識(shí)學(xué)習(xí)需要的實(shí)際應(yīng)用類問題，就可以成為一個(gè)關(guān)于三角形的實(shí)際應(yīng)用專題. 事實(shí)上筆者還對(duì)本課題中的“舉例”一詞進(jìn)行了關(guān)注，通常來(lái)看，舉例一般是幾個(gè)例子的同時(shí)列舉，并不具有關(guān)聯(lián)特征，從這個(gè)角度講，本知識(shí)的教學(xué)還有拓展的余地，當(dāng)然這也是符合當(dāng)下新課程標(biāo)準(zhǔn)所強(qiáng)調(diào)的“用教材教”的理念的.

第二，實(shí)際應(yīng)用可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性應(yīng)用

讓學(xué)生從所學(xué)的知識(shí)出發(fā)，去思考現(xiàn)實(shí)生活中可能與此相關(guān)的例子，那會(huì)出現(xiàn)什么樣的情形？在“解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例”一課的教學(xué)中，筆者曾經(jīng)做過這樣的嘗試，在解決了第一個(gè)例題之后，筆者沒有繼續(xù)教材上的實(shí)例，而是提出“在我們的生活中，還有哪些是可以利用三角形知識(shí)來(lái)解的實(shí)際應(yīng)用類的問題呢？”顯然，這個(gè)問題具有相當(dāng)?shù)拈_放性，學(xué)生此時(shí)的思維過程是怎樣的，是筆者重點(diǎn)研究的內(nèi)容. 研究表明，學(xué)生此時(shí)的思維包括這樣的幾個(gè)過程：首先，重現(xiàn)三角形的相關(guān)知識(shí)，尤其會(huì)回憶此知識(shí)學(xué)習(xí)過程中遇到的一些純粹的數(shù)學(xué)問題；然后學(xué)生會(huì)根據(jù)這些數(shù)學(xué)問題，去思考生活中有沒有基本相同的實(shí)際問題，但此種思考往往沒有多少結(jié)果；再然后，學(xué)生會(huì)回憶三角形中的具體知識(shí)，如正弦定理、余弦定理的證明過程等，這個(gè)時(shí)候往往會(huì)想到一些簡(jiǎn)單的與三角相關(guān)的實(shí)際問題. 如，學(xué)生想到的是測(cè)旗桿的高度（可能與之前的知識(shí)積累有關(guān)），測(cè)河流的寬度等.

那么此時(shí)有沒有可能形成突破呢？筆者幾經(jīng)努力，發(fā)現(xiàn)還是有辦法的，但這需要教師做一些前置性的工作，這就是在一開始的例題教學(xué)過程中，要突出強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的過程，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到實(shí)際應(yīng)用的過程，就是數(shù)學(xué)知識(shí)形象化的過程，也是實(shí)際事物抽象化的過程，只要這個(gè)過程熟練，那學(xué)生在由三角知識(shí)向生活回歸的時(shí)候，就會(huì)順利得多.

實(shí)際應(yīng)用應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的重點(diǎn)

不是每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都要通過實(shí)際應(yīng)用來(lái)加強(qiáng)認(rèn)知的，但一旦選擇了實(shí)際應(yīng)用這一教學(xué)思路，那就需要認(rèn)真對(duì)待，要將實(shí)際應(yīng)用的原汁原味體現(xiàn)出來(lái). 從這個(gè)思路來(lái)講，實(shí)際應(yīng)用應(yīng)當(dāng)成為教師教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的關(guān)注重點(diǎn)，要努力落到實(shí)處.

在“解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例”一課的教學(xué)中，筆者致力于上述強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)：數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模.努力走好實(shí)際應(yīng)用的歸納與演繹兩步：歸納即通過教材或其他資料的實(shí)例，探究實(shí)際應(yīng)用類的問題解決思路，從中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模存在的價(jià)值，這個(gè)過程主要由學(xué)生在解決后的反思來(lái)完成，因?yàn)槲ㄓ蟹此迹拍軐?nèi)隱的解題過程顯性化，才能將相對(duì)雜亂的數(shù)學(xué)思維清晰化. 而演繹則是在學(xué)生反思的基礎(chǔ)之上，通過對(duì)已有的實(shí)際應(yīng)用類的問題進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律之后再到生活中尋找相應(yīng)知識(shí)可能存在的情境. 從歸納到演繹，是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一種提升，是數(shù)學(xué)視野從數(shù)學(xué)視域向生活視域的一種延伸，是數(shù)學(xué)知識(shí)從抽象走向形象，再?gòu)男蜗笞呦虺橄筮^程的經(jīng)歷，對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說，是一種不可多得的學(xué)習(xí)經(jīng)歷.

總之，實(shí)際應(yīng)用類的知識(shí)應(yīng)用，要注重學(xué)生思維過程中歸納與演繹兩個(gè)互逆的思維過程，并在此過程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模，這樣才能真正提升學(xué)生的問題解決能力，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).