丁 維，周 俊

(1．四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610064; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

約化Kukles系統(tǒng)的雙中心問(wèn)題及其全局相圖的分布

丁 維1，周 俊2*

(1．四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610064; 2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

微分方程定性理論的研究起源于常微分方程，由于絕大多數(shù)的方程不能求出其精確解，因而需要直接通過(guò)微分方程的表達(dá)式來(lái)研究其性質(zhì)，其中定性理論在天體力學(xué)、生物、化學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用．研究了約化Kukles系統(tǒng)的雙中心問(wèn)題及其雙中心條件下系統(tǒng)的全局相圖，找到了所有的雙中心條件，并分析了在此情形下無(wú)窮遠(yuǎn)平衡點(diǎn)的性質(zhì)．通過(guò)證明八字環(huán)的存在性和確定雙中心與赤道之間的軌線分布，得到了Poincaré圓盤上的全局相圖．

雙中心;全局相圖;Kukles系統(tǒng);Poincaré變換

平面微分系統(tǒng)的模型常常出現(xiàn)在流行病學(xué)、種群動(dòng)力學(xué)、生化反應(yīng)及其他應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域［1－6］．平面微分系統(tǒng)中，其定性理論的研究已取得豐富的成果，其中一個(gè)有趣的問(wèn)題是尋找系統(tǒng)有多個(gè)中心的條件，即多中心問(wèn)題．尋找一個(gè)平面系統(tǒng)具有2個(gè)中心的充要條件就是所謂的雙中心問(wèn)題．平面微分系統(tǒng)中，具有雙中心的系統(tǒng)有豐富的動(dòng)力學(xué)行為．比如，文獻(xiàn)［7－10］給出了具有2個(gè)中心的平面微分系統(tǒng)在擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)及其分布．文獻(xiàn)［11－12］分別解決了二次系統(tǒng)和三次Z2等變系統(tǒng)的雙中心問(wèn)題．但是對(duì)于一般的三次系統(tǒng)的雙中心問(wèn)題還有待解決．

本文研究了約化Kukles系統(tǒng)［13］

的雙中心問(wèn)題及其全局相圖，其中x，y，ai，bi∈R．注意到，通過(guò)變換x→－x，y→－y，系統(tǒng)(1)化為

因此，在系統(tǒng)(1)中，只需要考慮a1≥0的情形．第2節(jié)中，給出了系統(tǒng)(1)具有雙中心的充要條件．在系統(tǒng)的雙中心條件下，在第3節(jié)中分析了系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處平衡點(diǎn)的性質(zhì)．在第4節(jié)中，給出了b3≤0時(shí)系統(tǒng)(1)的全局相圖分類．

1 雙中心條件

在本節(jié)中，尋找系統(tǒng)(1)的雙中心條件．由文獻(xiàn)［14］的定理3．6，原點(diǎn)O:(0，0)是系統(tǒng)(1)的中心當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件之一成立:

1)b1=0，

2)a1=b2=0，

3)a2=b3=a1+b2=0． (2)

證明 因?yàn)槠胶恻c(diǎn)(x0，y0)滿足y0=0和－x0，把參數(shù)空間分為以下幾種情形:當(dāng)(H1)或(H3)成立時(shí)，系統(tǒng)(1)有唯一的平衡點(diǎn)．當(dāng)(H2)成立時(shí)，系統(tǒng)(1)有2個(gè)平衡點(diǎn)O和(1/a1，0)，其中向量場(chǎng)在(1/a1，0)的雅克比行列式為負(fù)值，所以(1/a1，0)是一個(gè)鞍點(diǎn)．

當(dāng)(H4)成立時(shí)，系統(tǒng)(1)有2個(gè)平衡點(diǎn)O和(2/a1，0)．由文獻(xiàn)［14］的定理3．6，O是中心當(dāng)且僅當(dāng)b1=0．此時(shí)系統(tǒng)(1)化為通過(guò)變換x→x+2/a1，y→y，把(2/a1，0)平移到下面系統(tǒng)的原點(diǎn)

由文獻(xiàn)［15］第2章的定理7．3得，系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)O是尖點(diǎn)，則系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)(2/a1，0)也是尖點(diǎn)．因此，系統(tǒng)(1)至多有一個(gè)中心．

當(dāng)(H5)成立時(shí)，系統(tǒng)(1)有3個(gè)平衡點(diǎn)O，A: (a，0)和B:(b，0)，其中

如果a1=0，向量場(chǎng)在A處的雅克比行列式為負(fù)值，所以A是鞍點(diǎn)．相似地，可以證明B也是鞍點(diǎn)．因此，系統(tǒng)(1)在a1=0時(shí)至多有一個(gè)中心．

定理1．1 系統(tǒng)(1)存在雙中心當(dāng)且僅當(dāng)

雙中心分別在原點(diǎn)和(b，0)且都是非退化的，其中b由(5)式給出．

證明 由引理1．1的證明得，系統(tǒng)(1)有3個(gè)平衡點(diǎn)O，A:(a，0)和B:(b，0)，其中a，b由(5)給出．向量場(chǎng)在A和B的雅克比矩陣分別是:

從而，trace(J(A))=b1a，trace(J(B))=b1b．當(dāng)O不是中心時(shí)，如果A、B是中心，則b1a=b1b=0，即b1=0．另一方面由(2)式知O是中心，這與O不是中心矛盾，所以系統(tǒng)(1)至多有一個(gè)中心．因此，如果系統(tǒng)(1)有雙中心，則O一定是中心．則由(2)式和引理1．1可得，在系統(tǒng)(1)中b1=0．即系統(tǒng)(1)化為

可得J(A)和J(B)的行列式分別是

從而，A和 B都是非退化的．由det(J(A))和det(J(B))的表達(dá)式知，a2＞0時(shí)，A和B都是鞍點(diǎn); a2＜0時(shí)，A是鞍點(diǎn)．下面尋找a2＜0時(shí)系統(tǒng)(7)中平衡點(diǎn)B是中心的充分條件．由變換x→b+x/(a1b，把B平移到下面系統(tǒng)的原點(diǎn)

由文獻(xiàn)［14］的定理3．6，系統(tǒng)(8)的平衡點(diǎn)O是中心．因此系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)B也是中心．因此，系統(tǒng)(1)有雙中心當(dāng)且僅當(dāng)

在定理1．1中，得出系統(tǒng)(1)有雙中心的充要條件，且確定了其坐標(biāo)．注意到在系統(tǒng)(1)中，如果a1＜0，雙中心分別是原點(diǎn)和(a，0)，其中a由(5)式給出．

2 無(wú)窮遠(yuǎn)處的平衡點(diǎn)

本節(jié)討論系統(tǒng)(1)滿足雙中心條件(即定理1．1中(6)式成立時(shí))和b3≤0時(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)處平衡點(diǎn)的性質(zhì)．

定理2．1 當(dāng)(6)式及b3≤0時(shí)系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有2個(gè)平衡點(diǎn)C+和C－，其中C+和C－都是退化的且都在y軸上．而且當(dāng)(b2，b3)∈I∪IV時(shí)，C±的小鄰域由雙曲部分組成，如圖1(a)所示;當(dāng)(b2，b3)∈II∪III時(shí)，C±的小鄰域分別由雙曲部分和拋物部分組成，如圖1(b)～(c)所示，其中

證明 作Poincaré變換x=1/z，y=u/z和dt= z2dτ，系統(tǒng)(1)化為作變換x=v/z，y=1/z和dt=z2dτ，系統(tǒng)(1)化為

顯然，系統(tǒng)(9)在u軸上沒(méi)有平衡點(diǎn)，也就是說(shuō)，如果系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)存在平衡點(diǎn)，則平衡點(diǎn)肯定在y軸上．

為了考慮系統(tǒng)(1)在y軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)處的平衡點(diǎn)，需要考慮系統(tǒng)(10)的平衡點(diǎn)O，其與系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的平衡點(diǎn)C±相對(duì)應(yīng)．對(duì)系統(tǒng)(10)作極坐標(biāo)變換v=r cos θ，z=r sin θ可得

其中，G(θ)=－sin3θ，H(θ)=－b3cos θ－b2sin θ +cos θ sin2θ．顯然，系統(tǒng)(10)的特殊方向是θ=0和θ=π．

當(dāng)(b2，b3)∈I∪II時(shí)，H(θ)=cos θ sin2θ－b2sin θ且H(0)=H(π)=0．作Briot－Bouquet變換v→v，z→u1v和時(shí)間尺度變換ds=vdτ，系統(tǒng)(10)化為

在u1軸上，系統(tǒng)(12)有一個(gè)平衡點(diǎn)(0，0)．把系統(tǒng)(12)化為極坐標(biāo)形式，得到形如(11)的方程．當(dāng)(b2，b3)∈I時(shí)，G(θ)=sin θ cos θ(－2 sin2θ+a2cos θ2)，H(θ)=－sin4θ+cos2θ sin2θ－a2cos4θ;當(dāng)(b2，b3)∈II時(shí)，G(θ)=b2cos θ sin2θ，H(θ)=－b2cos2θ sin θ．(b2，b3)∈I時(shí)，G(θ)有4個(gè)零點(diǎn)0，π/2，π和3π/2．因?yàn)镚'(0)H(0)=G'(π)H(π)=－＜0，G'(π/2)H (π/2)=G'(3π/2)H(3π/2)= －2＜0，由文獻(xiàn)［15］的第2章定理3．7得，系統(tǒng)(12)分別有唯一的軌線沿著θ=0和θ=π離開(kāi)O并分別有唯一的軌線沿著θ=π/2和θ=3π/2進(jìn)入O．因此系統(tǒng)(12)在O附近的的軌線如圖2(a)．由文獻(xiàn)［15］的第2章引理7．1，得到系統(tǒng)(10)在O附近的的軌線如圖2(b)．

當(dāng)(b2，b3)∈II時(shí)，G(θ)有4個(gè)零點(diǎn)0，π/2，π，3π/2且H(0)=H(π/2)=H(π)=H(3π/2)=0．對(duì)系統(tǒng)(12)分別作變換v→v1u1，u1→u1，dσ=u1ds和v→v，u1→u2v，dσ=vds，把系統(tǒng)(12)分別化為

和

系統(tǒng)(13)和(14)在v1軸和u2軸上分別有唯一平衡點(diǎn)(0，0)．由文獻(xiàn)［15］的第2章定理7．1，系統(tǒng)(13)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)．所以系統(tǒng)(13)在平衡點(diǎn)O附近的軌線如圖2(c)所示．把系統(tǒng)(14)化為極坐標(biāo)形式，得到G(θ)=2 cos θ sin θ(b2sin θ +a2cos θ)，H(θ)=b2sin3θ－a2cos3θ+a2cos θ sin2θ－b2cos2θ sin θ．G(θ)=0的根分別是0，π/2，π，3π/2，arctan(－a2/b2)，π +arctan(－a2/b2)，且G'(0)H(0)=G'(π)H(π)=－＜0，G'(π/2)H(π/ 2)=G'(3π/2)H(3π/2)=－＜0．由文獻(xiàn)［15］第2章定理3．7，系統(tǒng)(10)分別有唯一的軌線沿著θ=0和π/2離開(kāi)O并分別有唯一的軌線沿著θ=π和3π/2進(jìn)入O．因?yàn)樽髯儞Qv→v，u2→u3v，dω=vdσ，系統(tǒng)(14)化為

系統(tǒng)(15)在u3軸上有2個(gè)平衡點(diǎn)O和D:(0，－a2/b2)，其中O是鞍點(diǎn)．為了研究平衡點(diǎn)D的性質(zhì)，作變換v→v，u3→u3－a2/b2和ω→－2－1a－12ω，把D平移到下面系統(tǒng)的原點(diǎn)其中

3a2)v2+o(v2)，使得f(v)+Q1(v，f(v))=0．因?yàn)?(d)．因此，系統(tǒng)(14)的相圖如圖2(e)．由系統(tǒng)(13)的相圖(如圖2(c))和系統(tǒng)(14)的相圖(如圖2(e))，得到系統(tǒng)(12)的相圖如圖2(f)．最后，得到系統(tǒng)(10)的相圖如圖2(g)．

與(b2，b3)∈II的情形相似，當(dāng)(b2，b3)∈III時(shí)，系統(tǒng)(10)在平衡點(diǎn)O附近的軌線如圖2(h)．

當(dāng)(b2，b3)∈IV時(shí)，G(3)(0)H(0)=G(3)(π)H(π) =6b3＜0．由文獻(xiàn)［15］的第2章定理3．7，系統(tǒng)(10)分別有唯一的軌線沿著θ=0離開(kāi)O和沿著θ =π進(jìn)入O．因此，系統(tǒng)(10)在O附近的軌線如圖2(b)所示．最后，得到系統(tǒng)(1)滿足(6)時(shí)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的相圖如圖1(a)～(c)，它們分別和圖2(b)、(g)、(h)對(duì)應(yīng)．

3 全局相圖

由第2、3節(jié)得到的平衡點(diǎn)性質(zhì)，在本節(jié)給出系統(tǒng)(1)滿足(6)時(shí)的全局相圖．

證明 顯然，系統(tǒng)(1)有一個(gè)首次積分2

其中，(a，0)是系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn)．因此，沒(méi)有軌線連接(a，0)和C±．即系統(tǒng)存在一個(gè)雙同宿軌(或稱八字形環(huán))．另一方面，所有雙同宿軌外的軌線是周期的．否則，由H的解析性，非周期軌道的存在性意味著H(x，y)是一個(gè)常量．進(jìn)一步，由定理1．1和2．1所給出的平衡點(diǎn)性質(zhì)，得到系統(tǒng)(1)的全局相圖如圖3．

在定理3．1中給出了滿足(6)式和b3≤0時(shí)系統(tǒng)(1)的所有的全局相圖．b3＞0時(shí)，與第3節(jié)相同的方法，也可以得到滿足(6)時(shí)系統(tǒng)(1)在無(wú)窮遠(yuǎn)處平衡點(diǎn)的性質(zhì)．也就是說(shuō)，平衡點(diǎn)附近的軌線是清楚的．但是，在Poincaré圓盤上，很難確定有限遠(yuǎn)處的平衡點(diǎn)和赤道之間區(qū)域上的軌線分布．另一方面，一類具有雙中心的約化Kukles系統(tǒng)的全局相圖在文獻(xiàn)［16］中被給出．具體地，如同在文獻(xiàn)［16］的第3部分開(kāi)始部分指出的一樣，此系統(tǒng)除了滿足雙中心條件，還對(duì)b2(文獻(xiàn)［16］中的a3)有一個(gè)限制．

致謝 四川師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)一般項(xiàng)目(2015KYQD314)對(duì)本文給予了資助，四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院陳興武教授對(duì)本文給予了指導(dǎo)與幫助，謹(jǐn)致謝意．

易得

［1］彭梅，李傳東，何興．基于直接免疫的SEIR計(jì)算機(jī)病毒傳播模型［J］．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，30(1): 78－80．

［2］楊文川，楊志春．一類具有兩斑塊效應(yīng)的SIS傳染病模型的穩(wěn)定性分析［J］．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，37(5):82－84．

［3］苗寶軍，梁慶利．具有Beddington－DeAngelis功能反應(yīng)函數(shù)捕食模型正穩(wěn)態(tài)解存在性［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，32(5):332－337．

［4］邵翠，陳文彥．帶有Sigmoidal型響應(yīng)函數(shù)反應(yīng)擴(kuò)散模型的正解［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，36(4): 535－539．

［5］陳和柏，石勇國(guó)．FitzHugh神經(jīng)系統(tǒng)中無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)及閉軌的存在性［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，20(1): 18－22．

［6］徐昌進(jìn)．一類離散多種群合作與競(jìng)爭(zhēng)的捕食者與食餌模型的周期解［J］．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，32(2): 58－63．

［7］COLL B，LI C，PROHENS R．Quadratic perturbations of a class quadratic reversible systems with two centers［J］．Discrete Contin Dyn Syst，2009，24:699－729．

［8］ILIEV I D，LI C，YU J．Bifurcation of limit cycles from quadratic non－Hamiltonian systems with two centers and two unbounded heteroclinic loops［J］．Nonlinearity，2005，18:305－330．

［9］LIU C．The cyclicity of period annuli of a class of quadratic reversible systems with two centers［J］．J Diff Eqns，2012，252: 5260－5273．

［10］SONG Y．The Poincare bifurcation of a class of quadratic system［J］．Pure Appl Math，2004，42:160－163．

［11］LI C．The quadratic system which has two centers［J］．Acta Math Sin，1985，28:644－648．

［12］LIU Y，LI J．Complete study on a bi－center problem for the Z2－equivariant cubic vector fields［J］．Acta Math Sin，2011，27: 1379－1394．

［13］KUKLES I S．Necessary and sufficient conditions for the existence of a center［J］．Dokl Akad Nauk，1944，42:160－163．

［14］CHRISTOPHER C J，LLOYD N G．On the paper of Jin and Wang concerning the conditions for a center in certain cubic system［J］．Bull London Math Soc，1990，22:5－12．

［15］ZHANG Z，DING T，HUANG W，et al．Qualitative Theory of Differential Equations［C］//Transl Math Monogr．Providence:Am Math Soc，1992．

［16］WU Y，CHEN G，YANG X．Kukles system with two fine foci［J］．Ann Diff Eqns，1999，15:422－437．

Bi-center and Global Phase Portraits of the Reduced Kukles System

DING Wei1，ZHOU Jun2

(1．College of Mathematics，Sichuan University，Chengdu 610064，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

The study of the qualitative theory of differential equations originated ordinary differential equations．Since the accurate solutions for many complex equations can’t be obtained，we need to study the properties of the equations．The qualitative theory is used in the field of celestial mechanics，biology，chemistry and so on．In this paper we study the bi-center problem of the reduced Kukles system and its global phase portraits．We have found all bi-center conditions and analyze the equilibria at infinity．After proving the existence of figure eight-loop and determining all orbits between the bi-center and the equator，we obtain the global phase portraits on the Poincaré disc．

bi-center;global phase;Kukle system;Poincaré transformation

O175．1

A

1001－8395(2016)04－0508－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．008

(編輯 周 俊)

2015－10－30

四川省教育廳自然科學(xué)一般項(xiàng)目(16ZB0063)

*通信作者簡(jiǎn)介:周 俊(1982—)，男，助理研究員，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的研究，E－mail:matzhj@126．com

2010 MSC:34C05;34C07;34C37