向利平

數(shù)學(xué)是一門求簡的學(xué)問

向利平

道家哲學(xué)中有一個大道至簡的大道理。所謂大道至簡，就是大道理是極其簡單的，簡單到一句話、幾個字就能說明白。

數(shù)學(xué)所追求的就是至簡，力求用最簡單的方法研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，力求用最簡潔的方式詮釋數(shù)量關(guān)系和空間形式。

現(xiàn)實世界中有形態(tài)各異、豐富多彩的物體，它們構(gòu)成了我們的生活空間，也給我們帶來了很多值得研究的問題。各種各樣的物體除了具有顏色、質(zhì)量、材質(zhì)等性質(zhì)外，還具有形狀、大小和位置關(guān)系。如何用最簡單的方式簡潔地表示物體的形狀、大小、位置關(guān)系這些本質(zhì)的事情呢？于是，數(shù)學(xué)便拋開顏色、質(zhì)量、材質(zhì)等屬性，用虛擬的點、線、面將具體的物體抽象成幾何體，數(shù)學(xué)也隨之有了一片廣闊的天地。

為了表示數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)引入了字母，用字母表示數(shù)，并輔之相應(yīng)的表示關(guān)系的符號。于是，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系便可用簡單明了的數(shù)學(xué)表達式來描述。于是，簡單的a=b×c具有了普遍性意義，包含了更豐富的實際背景。數(shù)學(xué)就是力求用簡潔的表達式表示一般性規(guī)律。

簡單的一句“兩點之間，線段最短”背后蘊含著大道理?！皟蓴?shù)相乘，同號得正、異號得負(fù)，并把絕對值相乘”，加一個字顯得多余，少一個字便不嚴(yán)謹(jǐn)。數(shù)學(xué)的文字語言講究的就是簡潔，簡潔中又不失嚴(yán)謹(jǐn)，簡潔中描述具有普遍意義的規(guī)律，簡潔中詮釋數(shù)學(xué)中的大道理。

數(shù)學(xué)研究中常常會遇到一類特殊的問題，1× 2×3×…×n、1+2+3+…+n，書寫起來很不方便，于是我們引入了階乘符號！和求和符號∑，用簡潔的符號表達復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子。用Rt△表示直角三角，用//表示平行，用≌表示形狀相同、大小相等的全等。數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生和發(fā)展的歷史就是一部數(shù)學(xué)求簡的歷史。

三個角、三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形當(dāng)然全等，但是這里的條件太多了，顯得有些復(fù)雜，能不能將條件減少一些呢？于是，我們嘗試找最少的條件。為了使找的工作簡單些，既要保證不遺漏，又要不做重復(fù)勞動，我們便對三條邊、三個角這6個條件進行有序分類。先把一邊對應(yīng)相等，兩邊對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)相等，兩邊、一角對應(yīng)相等，一邊、兩角對應(yīng)相等，三角對應(yīng)相等一一列出來，然后逐條否定或肯定，最終得出了全等三角形判定的方法“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”和“角角邊”。

北宋詩人蘇軾的《題西林壁》有一句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”告訴我們，不論是看一件事情還是認(rèn)識一個物體，從一方面看往往是不全面的，很有可能發(fā)生誤判。數(shù)學(xué)中認(rèn)識幾何體也一樣，僅從一個方向看（比如說正面），你往往看不到這個幾何體的全面。當(dāng)然，我們可以從上、下、左、右各個方向去看，甚至可從更多的方向去看。數(shù)學(xué)求簡的特點自然引出了這樣的話題——能否既使所看的方向最少又能準(zhǔn)確地認(rèn)識幾何體呢？順著這一求簡的思路，數(shù)學(xué)中提出了主視圖、左視圖和俯視圖。數(shù)學(xué)就是這樣追求用最少的條件認(rèn)識所研究的對象。

為了求解方程ax2+bx+c=0（a≠0），我們想到了配方法——將方程左邊配成含有未知數(shù)的平方式，常數(shù)項放在方程的右邊，根據(jù)平方根的意義可以得到方程的兩個根但每次都這樣配方顯得麻煩，于是便將這個具有普遍意義的結(jié)論作為一元二次方程的求根公式，使求解變得簡單易行。在進行多項式與多項式相乘時，我們發(fā)現(xiàn)運算結(jié)論簡潔易記。為了減少再次運算時各項都相乘的麻煩，便有了平方差、立方和（差）公式。有了這些公式，將類似的多項式分解成兩個因式的乘積形式便呼之即出了。數(shù)學(xué)中之所以規(guī)定一些公式、定理，用一些公式和定理推導(dǎo)得出新的公式和定理，本質(zhì)上是為了減少推導(dǎo)過程中的機械重復(fù)勞動，也就是求簡。

為了求得兩堆物體的總量有多少個，最原始的辦法是一個一個往下數(shù)，直至全部數(shù)完。是不是可以將數(shù)的過程簡化呢？我們引入了加法運算——求兩個數(shù)的和。

在進行加法運算時，有時我們會遇到一類特殊的問題——已知和，求其中一個加數(shù)。為此，我們必須倒過來思考，反過來尋找要求的加數(shù)，總是這樣做是比較麻煩的，為此我們定義了減法。因為減法是已知和去求加數(shù)的運算，我們也就將減法叫做加法的逆運算。

在進行加法運算時，我們經(jīng)常會遇到一類特殊的問題，如2+2+2+2+2+2+…+2這樣求很多個相同加數(shù)的和。當(dāng)然，我們可以一個一個不斷地相加，但這樣做實在是太麻煩，書寫起來也不方便。能不能簡單一點呢？為此，我們定義了乘法——幾個相同加數(shù)的和的運算，并引入相應(yīng)的運算符號×，隨后經(jīng)過不斷總結(jié)和歸納，得出了既簡潔又讀起來朗朗上口的乘法口訣。

在進行乘法運算時，有時我們會遇到一類特殊的問題——已知積，求其中一個因數(shù)。為此，我們必須倒過來思考，反過來尋找要求的因數(shù)，總是這樣做是比較麻煩的，為此我們定義了除法——已知積，求其中一個因數(shù)。因為除法是已知積求因數(shù)的運算，我們也就將除法叫做乘法的逆運算。

在進行乘法運算時，我們經(jīng)常會遇到一類特殊的問題，如2×2×2×2×2×2×…×2這樣求很多個相同因數(shù)的積。當(dāng)然，我們可以一個一個不斷地相乘，但這樣做太麻煩，書寫起來也不方便。為了求簡，我們定義了乘方運算。

加法、乘法都有相應(yīng)的逆運算，乘方有沒有逆運算呢？已知冪與指數(shù)求底數(shù)，已知冪與底數(shù)求指數(shù)都可以看成是乘方的逆運算。為了解決這兩個逆運算問題，數(shù)學(xué)便引入了開方運算和對數(shù)運算。

方程、函數(shù)、集合模型的建立，微積分、概率論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的形成和發(fā)展，無一不體現(xiàn)求簡的思維方式。

數(shù)學(xué)就是這樣一門不斷求簡的學(xué)問，在不懈地求簡中孕育出一片又一片廣闊而神奇的新領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們是否可以花點時間，讓學(xué)生體會體會數(shù)學(xué)求簡的魅力呢？

（作者單位：長沙市岳麓區(qū)教研室）