拉格朗日中值定理在定積分計算中的妙用

劉燈明

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

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拉格朗日中值定理在定積分計算中的妙用

劉燈明

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

利用定義計算定積分時，若采用常規(guī)方法來分割積分區(qū)間和選取介點(diǎn)集，會使得積分和式的極限過程十分復(fù)雜。通過拉格朗日中值定理巧妙地選取中值點(diǎn)作為介點(diǎn)，可以簡化積分和式的極限過程，從而簡潔地得到計算結(jié)果。同時，利用拉格朗日中值定理，也可從另一角度推導(dǎo)出牛頓-萊布尼茨公式，從而將微分學(xué)中的微分中值定理和積分學(xué)中的微積分基本公式有機(jī)地結(jié)合起來。

拉格朗日中值定理；定積分計算；牛頓-萊布尼茨公式

拉格朗日中值定理是一元函數(shù)微分學(xué)中的一個重要內(nèi)容，它深刻地反映了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。因此，拉格朗日中值定理在《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，比如，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，借助拉格朗日中值定理，我們可以方便快捷地證明一些不等式或恒等式、根的存在性問題、復(fù)雜級數(shù)的斂散性問題及某些復(fù)雜函數(shù)的極限[1-3]。本文通過具體例子來說明拉格朗日中值定理在定積分教學(xué)中的一個巧妙應(yīng)用。

1　利用拉格朗日中值定理計算定積分

定積分是數(shù)學(xué)分析課程中除微分學(xué)外的另一核心內(nèi)容。在整個定積分的教學(xué)過程中，定積分的計算是讓許多初學(xué)者都感到困惑的難點(diǎn)。事實(shí)上，計算定積分的主要工具就是定積分的定義和牛頓-萊布尼茨公式。我們知道，若f為區(qū)間[a,b]上的可積函數(shù)，則對積分區(qū)間的任意分割與介點(diǎn)集{ξi}的自由選取都不會影響到積分值?；诖?，在利用定積分的定義計算定積分時候，我們都是對[a,b]采取特殊的分割T(通常采取等分積分區(qū)間)，并選取特殊的介點(diǎn)集{ξi}(通常取每一小區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn))來構(gòu)造積分和，最后再求積分和的極限。

由不等式

有

從而有

及

另一方面，有

an=b2n-bn+ln2n-lnn=b2n-bn+ln2。

故

選取介點(diǎn)ξi=ηi，則有

(1)

解法二并沒有具體的給出介點(diǎn)集，而是先對F(x)=lnx在每一小區(qū)間[xi-1,xi]上運(yùn)用拉格朗日中值定理，再選取拉格朗日中值點(diǎn)作為介點(diǎn)。較之解法一，解法二容易理解，且避開了復(fù)雜的極限過程，整個計算顯得十分簡潔和方便。

2　結(jié)語

若被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)且其原函數(shù)容易求出時，可以采取解法二中的處理手法來選擇介點(diǎn)集。事實(shí)上，從(1)式可以看出，解法二本質(zhì)上還是將定積分的計算轉(zhuǎn)化為計算原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量。故只需將解法二的表述更一般化，就可作為牛頓-萊布尼茨公式教學(xué)的一個新的引入。換句話說，從用定義計算定積分出發(fā)，利用拉格朗日中值定理，就可以得到一個異于文獻(xiàn)[4-5]的牛頓-萊布尼茨公式的推導(dǎo)?？梢姡跀?shù)學(xué)分析課程教學(xué)過程中，完全可以將拉格朗日中值定理和定積分有機(jī)地結(jié)合起來，加深學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的理解和掌握。

[1] 石業(yè)嬌.談拉格朗日中值定理在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2014(13)：26-28.

[2] 鄭攀，胡學(xué)剛，李玲.關(guān)于拉格朗日中值定理在證明題中的一些應(yīng)用[J].科教文匯，2015(6)：59-60.

[3] 裘兆泰，王承國，章仰文.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[4] 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等.數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5] 湯四平，呂勝祥，趙雨清.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].北京：人民郵電出版社，2015.

(責(zé)任校對朱正余)

10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.07.014

20160105

2015年湖南科技大學(xué)教學(xué)研究與改革一般項目(G31515)

劉燈明(1984-)，男，湖南隆回人，講師，博士，主要從事非線性偏微分方程的研究。

G642.0

A

1674-5884(2016)07-0043-02