湖北省襄陽(yáng)市襄州一中 莊慧勤
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三大利斧突破動(dòng)態(tài)立體幾何
湖北省襄陽(yáng)市襄州一中 莊慧勤
近幾年,高考數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題,這類試題新穎別致,構(gòu)思精妙,使立體幾何“活”了起來(lái),使立體幾何的題意更新穎、題目更靈活、考查更全面、思維更廣闊,給人耳目一新的感覺(jué),加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生空間想象能力的考查。解決立體幾何“動(dòng)態(tài)”型問(wèn)題時(shí),一些學(xué)生思路不暢通。一些學(xué)生不能認(rèn)識(shí)“動(dòng)”的本質(zhì),不會(huì)利用數(shù)學(xué)思想解決立體幾何里的動(dòng)靜矛盾。本文利用數(shù)學(xué)思想探尋“動(dòng)態(tài)”型問(wèn)題的切入點(diǎn)和解決策略。
高考 數(shù)學(xué) 立體幾何
轉(zhuǎn)化與化歸思想是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用的某種手段,是人們將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化劃歸為已有知識(shí)范圍內(nèi)可以解決的一種方法、策略。這種方法可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題、將較難問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解問(wèn)題,將未解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決問(wèn)題。轉(zhuǎn)化與化歸思想也是數(shù)學(xué)思想方法的核心。
例1:如圖,在三棱錐中P—ABC,PA=PB=PC=AC=4,
(1)求證:平面ABC⊥平面APC ;
(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(3)若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上,二面角M—PA—C的余弦值為,求BM的最小值。
解析:(1)略;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由已知得所以設(shè)平面PBC的法向量由得方程組取因?yàn)樗灾本€PA與平面PBC所成角的正弦值為
例2:如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1。
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1—BC—A的大小為φ,試判斷θ與φ的大小關(guān)系,并予以證明。
解析:(1)略 ;(2) 由(1)知,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)則。
設(shè)平面A1BC的法向量為,則由得可取于是與n的夾角β為銳角,則β與θ互為余角。因?yàn)?--→---→,所以。于是由c<b,得,即sinθ<sinφ,又,所以 θ〈φ。
函數(shù)思想是人們用列函數(shù)關(guān)系式的方法或用函數(shù)相關(guān)知識(shí)通過(guò)建模解決實(shí)際問(wèn)題與幾何問(wèn)題,即用函數(shù)解題。動(dòng)態(tài)立體幾何求最值和范圍問(wèn)題時(shí)常常構(gòu)造函數(shù),可以利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決幾何問(wèn)題。
例3:直三棱柱(側(cè)棱垂直底面)ABC—A1B1C1中,AB= AC=1,∠BAC=90°。
(1)若異面直線A1B與B1C1所成的角為60°,求棱柱的高;
(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn),DC1與平面A1BC1所成的角為θ ,當(dāng)棱柱的高變化時(shí),求sinθ的最大值.
解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AA1=h(h >0),則有B(1,0,0)、B1(1,0,h)、C1(0,1,h)、A1(0,0,h),、
(1)當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí),求θ的值;
解析:(1)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸,OB、OA所在的直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則。設(shè)為平面COD的一個(gè)法向量,由得
二面角C—OD—B的余弦值的取值范圍為[-α,0]。
解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),對(duì)一些形式上非方程的問(wèn)題,學(xué)生可以通過(guò)一定的數(shù)學(xué)變換或構(gòu)造,使非方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(組)的形式,運(yùn)用方程(組)的有關(guān)性質(zhì)處理這一問(wèn)題,進(jìn)而使原數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決,這一思想方法稱為“方程的思想”。 動(dòng)態(tài)立體幾何探求存在性問(wèn)題時(shí)常常構(gòu)造方程,利用方程相關(guān)知識(shí)解決幾何問(wèn)題。
例5:如圖,四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA =45°。
(1)求證:平面PAB⊥平面PAD;
(2)設(shè)AB=AP。①若直線PB與平面PCD所成的角為 ,求線段AB的長(zhǎng);②在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等?說(shuō)明理由。
解析:(1)略。(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz在平面ABCD內(nèi),作CE//AB交AD于點(diǎn)E,則CE⊥AD。在Rt△CDE中,DE=CD·cos45°=1,CE= CD ·sin45°=1,設(shè)AB=AP=t,則B(t,0,0)、P(0,0,t)。由AB+AD=4,得AD=4-t,所以E(0,3-t,0)、C(1, 3-t,0)、D(0,4-t,0)、
取x=t,得平面PCD的一個(gè)法向量n=(t,t,4-t),又故直線PB與平面PCD所成的角為-→ 30°,得,即。解得或t=4(舍去,因?yàn)锳D=4-t>0),所以
②假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G,使點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、 D的距離都相等,設(shè)則由消去t,化簡(jiǎn)得此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G使點(diǎn)G到點(diǎn)P、C、D的距離相等。從而,線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等。
例6:已知幾何體A—BCED的三視圖,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形。
(1)求此幾何體的體積V的大小;
(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值;
(3)試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q,使得AQ⊥BQ并說(shuō)明理由。
(3)以C為原點(diǎn),以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。
3.高校思想政治教育推行對(duì)話式教育。當(dāng)前,部分高校思想政治教育的主要模式是“灌輸式”講授,教師和學(xué)生之間處于不平等狀態(tài),學(xué)生沒(méi)有表達(dá)真實(shí)意愿的機(jī)會(huì)?!皩捜荨焙魡緦?duì)話式的教育模式,即學(xué)生和教師以相互尊重、相互信任、相互理解為基礎(chǔ),以尋求真知、創(chuàng)造意義和建構(gòu)完滿的精神世界為目標(biāo),教育主體之間進(jìn)行平等交流、相互溝通的過(guò)程。 對(duì)話式的教育模式可以在思想政治課堂上推行,可以通過(guò)講座、交流會(huì)、見(jiàn)面會(huì)、辯論會(huì)等方式展開(kāi)。例如,筆者所在學(xué)校定期召開(kāi)“寬容”論壇,邀請(qǐng)校內(nèi)外專家學(xué)者與學(xué)生共同探討“寬容”話題;定期召開(kāi)“寬容與構(gòu)建和諧社會(huì)”學(xué)術(shù)研討會(huì),邀請(qǐng)學(xué)術(shù)界知名學(xué)者交流探討,推動(dòng)“寬容”為本的校園精神;在校園網(wǎng)設(shè)立校長(zhǎng)信箱,定期召開(kāi)校長(zhǎng)見(jiàn)面會(huì),校長(zhǎng)與學(xué)生近距離接觸、平等對(duì)話。學(xué)生在對(duì)話式的教學(xué)過(guò)程中,享有話語(yǔ)權(quán),體驗(yàn)思想的碰撞,充分體驗(yàn)自己的觀點(diǎn)和選擇被尊重、被接納,從而增強(qiáng)自我價(jià)值感,提升自信度,從而對(duì)高校培養(yǎng)自主性、創(chuàng)新性人才有重要意義。
4.高校思想政治教育中倡導(dǎo)發(fā)展性學(xué)生評(píng)價(jià)。高校思想政治教育中的“寬容”要求教師以生成性的思維教育學(xué)生,不贊同以表現(xiàn)好壞、成績(jī)高低、品德優(yōu)劣等簡(jiǎn)單模式評(píng)價(jià)學(xué)生。教師要正視和照顧學(xué)生的差異性?!皩捜荨背珜?dǎo)高校思想政治教育運(yùn)用發(fā)展型學(xué)生評(píng)價(jià)方式,即評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)多元化、評(píng)價(jià)主體多元化、評(píng)價(jià)時(shí)間長(zhǎng)期化的學(xué)生評(píng)價(jià)方式。這與傳統(tǒng)思想政治教育以教師為主導(dǎo)、以成績(jī)?yōu)橹饕獦?biāo)準(zhǔn)、短期片面的評(píng)價(jià)相對(duì)立。
當(dāng)前正在推行的大學(xué)生綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)體系是實(shí)現(xiàn)發(fā)展性學(xué)生評(píng)價(jià)的重要方式之一。它取代了以往以成績(jī)作為唯一評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的做法,主張確立德智體等基本素質(zhì)和創(chuàng)新、實(shí)踐能力等拓展素質(zhì)為綜合評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),確立由本人、同學(xué)、班主任、輔導(dǎo)員、社區(qū)、社團(tuán)等多元評(píng)價(jià)主體。通過(guò)長(zhǎng)期多次的評(píng)價(jià),學(xué)生充分發(fā)揮自身潛能,在參與評(píng)價(jià)的過(guò)程中學(xué)會(huì)自我反思、自我認(rèn)識(shí)、自我評(píng)價(jià)、自我激勵(lì),以及自我謀劃個(gè)人發(fā)展方向,使學(xué)生形成內(nèi)在的強(qiáng)有力的發(fā)展動(dòng)力,實(shí)實(shí)在在地促進(jìn)自身發(fā)展,以此使“寬容”教育逐步落實(shí)到實(shí)踐中。
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[2]周元明.從寬恕到寬容:現(xiàn)代高校德育的理念轉(zhuǎn)換[J].湖湘論壇,2007.03
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ISSN2095-6711/Z01-2016-09-0273
吳楠(1984— ),女,河南汝南人,華僑大學(xué)思政教師,講師,從事高校思想政治教育研究
當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究2016年9期