厘清錯(cuò)因，正確解題

陳廣林

解一道題，出錯(cuò)的原因很多，有可能是計(jì)算出錯(cuò)，有可能是因?yàn)橛涘e(cuò)了公式，也有可能沒有注意到題中的隱含條件.本文通過分析同學(xué)們作業(yè)出錯(cuò)原因，幫助大家找出一元二次方程解題需要注意的事項(xiàng).

一、 求一般式不能“一根筋”

例1 將一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0（a>0）后，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是多少？

【學(xué)生錯(cuò)解】∵-3x2-2=-4x，∴-3x2+4x-2=0，

∴一次項(xiàng)為4x，常數(shù)項(xiàng)為-2.

【學(xué)生自述】我沒有注意題中的a>0，直接化成一般式，沒有兩邊同時(shí)除以-1，使a>0，通過這道題，我明白了要認(rèn)真審題，看清題目的條件.

【正確解答】∵-3x2-2=-4x，∴3x2-4x+2=0，

∴一次項(xiàng)為-4x，常數(shù)項(xiàng)為2.

【教師點(diǎn)評(píng)】一元二次方程的一般形式是為后面學(xué)習(xí)一元二次方程求根公式準(zhǔn)備的，它要求形式滿足ax2+bx+c=0，所以它的結(jié)果不是唯一的，比如本題中錯(cuò)解和正解都是這個(gè)方程的一般形式，6x2-8x+4=0也是它的一般形式，而我們?cè)诮忸}時(shí)要看清題目的要求，選擇最簡便的那組數(shù)據(jù).

二、 選錯(cuò)解題方法，導(dǎo)致計(jì)算難度增加

例2 解方程：（2x-1）2=（3-x）2.

【學(xué)生錯(cuò)解】4x2-4x+1=9-6x+x2，

3x2-2x-8=0，

（x-2）（3x+4）=0，

∴x-2=0或3x+4=0，

∴x1=2，x2=-.

【簡潔解法】2x-1=3-x或2x-1=-（3-x），

∴x=或x=-2.

【教師點(diǎn)評(píng)】計(jì)算錯(cuò)誤確實(shí)是本題出錯(cuò)的原因之一，但另一個(gè)原因是該同學(xué)沒有使用直接開平方法，而是試圖把方程化成一般式，并采用了一個(gè)自己根本不熟悉，教材又不作要求的十字相乘法，把原本非常簡單的一道題，做得特別復(fù)雜，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).

例3 當(dāng)k為多少時(shí)，x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式.

【學(xué)生錯(cuò)解】當(dāng)k=-1時(shí)，x2+6是x的完全平方式.

【學(xué)生訂正】∵x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式，

∴k+7=[-（k+1）]2，∴k2+k-6=0.

∴（k+3）（k-2）=0. ∴k1=2，k2=-3.

【簡潔解法】∵x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式，

∴x2-2（k+1）x+k+7=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=[-2（k+1）]2-4（k+7）=0.

∴k1=2，k2=-3.

【教師點(diǎn)評(píng)】該生剛開始，根本不知道本題怎么做.訂正的時(shí)候根據(jù)“二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”來解決的.訂正所采用的方法雖然做出了正確的結(jié)果，但是有其局限性，需要二次項(xiàng)系數(shù)為1.如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.

但如果把這個(gè)問題變成一個(gè)方程問題，讓完全平方的值為0，則這個(gè)方程可以化為（mx+n）2=0的形式，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，就不需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為1.

三、 討論一元二次方程的解之前，先保證方程是一元二次方程

例4 關(guān)于x的方程kx2+（k+2）x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

【學(xué)生錯(cuò)解】b2-4ac=（k+2）2-4k×>0，

∴k2+4k+4-k2>0，

∴4k+4>0， ∴k>-1.

【正確解答】∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac=（k+2）2-4k×>0且k≠0，

∴k>-1且k≠0.

【教師點(diǎn)評(píng)】使用根的判別式的前提是方程是一元二次方程，所以二次項(xiàng)系數(shù)不能等于零.

例5 已知關(guān)于x的方程（k-1）x2+2kx+k=0有實(shí)根，求k的取值范圍.

【學(xué)生錯(cuò)解】由題意，得k-1≠0，

（2k）2-4k（k-1）≥0，解得k≥0且k≠1時(shí)，方程有實(shí)根.

【教師點(diǎn)評(píng)】題設(shè)中交代方程有實(shí)根，并沒有說明這個(gè)方程是一元一次方程還是一元二次方程，因此本題需要分兩種情況討論，一元一次方程有實(shí)根還是一元二次方程有實(shí)根.

【正確解答】當(dāng)k-1=0，即k=1時(shí)，

方程化為2x+1=0，∴x=-.

當(dāng)k-1≠0時(shí)，如前面所解，得k≥0且k≠1.

∴當(dāng)k≥0時(shí)，方程有實(shí)根.

四、 應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系的前提是一元二次方程有解

例6 一元二次方程2x2-2x+1-3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2，且x1、x2滿足不等式x1·x2+2（x1+x2）>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【學(xué)生錯(cuò)解】x1·x2=，x1+x2=1.

∵x1·x2+2（x1+x2）>0，∴+2>0.

∴m<.

【教師點(diǎn)評(píng)】本題一元二次方程的兩根滿足x1·x2+2（x1+x2）>0，但還不能保證這個(gè)方程一定有解，所以這個(gè)解法中還應(yīng)補(bǔ)充Δ≥0，即m≥.所以本題的正確答案為≤m<.

（作者單位：江蘇省海安縣瓦甸初級(jí)中學(xué)）