張 光 云

(重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400067)

?

幾類Lorenz型高維混沌系統(tǒng)的動力學行為研究

張 光 云

(重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400067)

混沌系統(tǒng)在各個領域中都有著廣泛的研究，其中混沌系統(tǒng)的最終有界性在混沌系統(tǒng)的同步和控制等領域中有著重要的應用；采用理論分析和計算機模擬相結合的方法，研究了幾類高維混沌模型的非線性動力學行為，得到了類混沌模型的吸引域，從而展示了混沌系統(tǒng)的豐富的動力學特性并且用matlab給出了相應的計算機模擬。

混沌模型；混沌控制；吸引域；穩(wěn)定性

1　數(shù)學模型

從自然科學的角度來說，混沌的理論可以追溯到大約1900年龐加萊關于三體問題的研究，發(fā)現(xiàn)它的運動軌跡是非周期的，并且永遠不遞增，也不趨于固定點。1963 年,美國氣象學家E.Lorenz在研究大氣對流時，首次給出了著名的Lorenz混沌方程。Lorenz混沌系統(tǒng)作為第一個混沌系統(tǒng)模型有著重要的理論研究意義和工程應用價值。一般認為混沌具有一些主要特征，如確定性、有界性、對初值的極端敏感性、長期的不可預測性、正的最大lyapunov 指數(shù)、遍歷性等。在Lorenz混沌方程基礎上Chen混沌系統(tǒng)，Lü 混沌系統(tǒng)，超混沌Lorenz系統(tǒng)等及其在工程中的應用問題得到了一系列的研究[1-10]?；煦缭谏锕こ獭⒘W工程、電子工程、化學工程、信息工程、計算機工程、應用數(shù)學和實驗物理等領域都有著廣泛的應用。其次，混沌還有很多潛在的應用價值。由于很多混沌系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)不是拓撲等價的，從而它們的混沌動力學特性是未知的，據(jù)作者所知現(xiàn)有文獻對高維混沌系統(tǒng)的動力學研究方面的文章還是比較的少，而且由于高維混沌系統(tǒng)自身結構的復雜性和特殊性因而在保密通信方面有更好的潛在應用，因此有必要對新高維混沌系統(tǒng)的動力學特性進行研究。

一個新混沌模型為[11-12]

(1)

其中參數(shù)R≠0為系統(tǒng)(1)的雷諾參數(shù)。當R=35.6,R=58.64,R=74.44時，系統(tǒng)(1)軌線在x1x5x7空間中的相圖, 分別如圖1—圖3所示。

圖1　R=35.6時,系統(tǒng)(1)的軌線的相圖Fig.1　When R=35.6, phase portraits of trajectory of system (1)

圖2　R=58.64時,系統(tǒng)(1)的軌線的相圖Fig.2　When R=58.64, phase portraits of trajectory of system (1)

圖3　R=74.44時,系統(tǒng)(1)的軌線的相圖Fig.3　When R=74.44, phase portraits of trajectory of system (1)

一個新九模類Lorenz混沌模型為[13]

其中參數(shù)r≠0為系統(tǒng)(3)的雷諾參數(shù)。

一個新七階微分混沌模型為[14]

(3)

其中參數(shù)Re≠0為系統(tǒng)(3)的雷諾參數(shù)。當Re=100,系統(tǒng)軌線的相圖，見圖4。

圖4　系統(tǒng)(3)的軌線相圖Fig.4　When Re=100,phase portraits of trajectory of system (3)

2　主要數(shù)學結果

定理1對任意的R≠0, 令

當V(X(t))≥L0,V(X0)>L0(t≥t0)時，對于系統(tǒng)(1)的正半軌線，有指數(shù)估計式：

兩邊積分有V(X(t))-L0≤[V(X0)-L0]e-2(t-t0).

圖5　系統(tǒng)(1)的軌線最終進入Ω之內(nèi)Fig.5　Trajectory entering into Ω of system (1)

定理2對任意的r≠0, 令

當V(X(t))≥M0,V(X0)>M0(t≥t0)時，對于系統(tǒng)(2)的正半軌線，有指數(shù)估計式：

用ZMD-2型電子密度計，采用排水法測量燒結試樣的燒結密度；用Leica DM4000型顯微鏡，對燒結試樣的橫截面進行孔隙度測試；用DM400M型金相顯微鏡，對燒結試樣進行顯微組織分析；用HR-150A型洛氏硬度計，測量試樣的硬度(HRB)．

兩邊積分有V(X(t))-M0≤[V(X0)-M0]e-2(t-t0)。

定理3對任意的Re≠0, 令

當V(X(t))≥M0,V(X0)>M0(t≥t0)時，對于系統(tǒng)(3)的正半軌線，有指數(shù)估計式：

兩邊積分有V(X(t))-M0≤[V(X0)-M0]e-2(t-t0)

3　結　論

鑒于混沌系統(tǒng)模型的重要理論研究和應用價值，首先給出了幾類混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后從數(shù)學理論上研究了該混沌模型的吸引集，最后給出了相應的數(shù)值仿真。所得結果具有一定的理論和實際意義。

[1] 袁紅,張付臣,李小武.關于Hopf分岔中向量函數(shù)泰勒公式中算子系數(shù)表示的評注[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2012,29(10): 6-10

YUAN H,ZHANG F C,LI X W.Remarks on Operator Coefficient in Taylor Formula for Vector Function of Hopf Bifurcation[J].J Chongqing Technology Business University(Natural Science Edition),2012,29(10): 6-10

[2] 龍健生,舒永錄,楊洪亮.一個多維混沌系統(tǒng)的最終有界集和正向不變集及其在同步之中的應用[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2011,28(6): 551-557

LONG J S,SHU Y L,YANG H L.The Ultimate Bound Set and Positively Invariant Set for a Multi-dimension Chaotic System and its Application in Chaos Synchronization[J].J Chongqing Technol and Business University(Ntural Science Edition),2011,28(6): 551-557

[3] 陳福利.憶阻混沌系統(tǒng)的同步[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2015,32(8): 24-27

CHEN F L.Synchronization of the Memristor-based Chaotic System[J].J Chongqing Technol and Business University(Ntural Science Edition),2015,32(8): 24-27

[4] 王志強,王書玲,吳然超.時滯Lorenz-like系統(tǒng)的Hopf分岔研究[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2015,32(2): 11-15

WANG Z Q,WAGN S L,WU R C.Research on Hopf Bifurcation of Lorenz-like Delay System[J].J Chongqing Technol and Business University(Ntural Science Edition),2015,32(2): 11-15

[5] 胡玉婷,李東,張興鵬.參數(shù)未知的分數(shù)階混沌系統(tǒng)的自適應追蹤控制[J].重慶工商大學學報(自然科學版),2015,32(3): 1-7

HU Y T,LI D,ZHANG X P.Adaptive Tracking Control of Fractional Order Chaotic Systems with Unknown Parameters[J].J Chongqing Technol and Business University(Ntural Science Edition),2015,32(3): 1-7

[6] He X,YU J Z,HUANG T W.Neural Networks for Solving Nash Equilibrium Problem in Application of Multiuser Power Control [J].Neural Networks,2014,57(9): 73-78

[7] 毛北行,孟曉玲,卜春霞.離散非線性系統(tǒng)的混沌同步問題[J].重慶師范大學學報(自然科學版),2014,31(2):40-42

MAO B X,MENG X L,PU C X.Chaos Synchronization Problem of Discrete Nonlinear System[J].Journal of Chongqing Normal University (Natural Science Edition),2014,31(2):40-42

[8] 張學兵.一個新混沌系統(tǒng)的分析與控制[J].重慶師范大學學報(自然科學版),2012,29(2): 55-59

ZHANG X B.Analysis and Control of a New Chaotic System[J].Journal of Chongqing Normal University (Natural Science Edition),2012,29(2): 55-59

[9] 張春濤,劉學飛,應宏,等.空氣質(zhì)量的混沌動力學分析[J].西南大學學報(自然科學版),2012,34(11):47-51

ZHANG C T,LIU X F,XIANG H,et al.Chaotic Dynamic Analysis of Air Quality[J].Journal of Southwest University (Natural Science Edition),2012,34(11):47-51

[10] 楊磊,舒永錄,何興.Qi系統(tǒng)的脈沖控制與同步[J].西南師范大學學報(自然科學版),2012,37(7):37-45

YANG L,SHU Y L,HE X.On Impulsive Control and Synchronization of Qi System[J].Journal of Southwest China Normal University (Natural Science Edition),2012,37(7):37-45

[11] 高焱，王賀元.二維不可壓縮Navier-Stokes 方程的七模類Lorenz 方程組的動力學行為及其數(shù)值模擬[J].遼寧工業(yè)大學學報(自然科學版),2008,28(4):257-262

GAO Y,WANG H Y.Simulation of Dynamic Characteristics and Numerical Value on 2D-lincompressible Navier-Stokes Equation with Their Seven Modes Lorenz Equations[J].Journal of Liaoning University of Technology (Natural Science Edition),2008,28(4):257-262

[12] SHILNIKOV A,NICOLIS G,NICOLIS C.Bifurcation and Predictability Analysis of a Low Order Atmospheric Circulation Model[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,1995(5):1701-1711．

[13] 高焱.九模類Lorenz系統(tǒng)的動力學行為及其數(shù)值模擬[J].應用數(shù)學學報,2014,37(3): 507 -515

GAO Y.The Dynamical Behavior and The Numerical Simulation of a Nine-mode Lorenz Equations[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2014,37(3): 507-515

[14] WANG H Y,CUI Y,HUANG M.A New Seven-modes Truncation of the Plane Incompressible Navier-Stokes Equations[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2012,27(1): 11-17

責任編輯：田靜

Dynamical Analysis of Several Lorenz High-Dimensional Chaotic Models

ZHANG Guang-yun

(School of Mathematics and Stutistics, Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067, China)

Chaotic systems have been widely studied in various engineering fields. The ultimate bound of chaotic system has important applications in chaos synchronization and control field. The dynamics of several kinds of chaotic models are studied in this paper by theoretical analysis and computer simulation. The trapping regions of chaotic models are obtained. It shows that three kinds of chaotic models have rich dynamic characteristics. The corresponding computer simulation is given by Matlab.

chaotic model; chaotic control; trapping region; stability

10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0005.003

2016-03-02；

2016-04-05.

張光云(1983-)，女,山東臨沂人,助教,碩士,從事外國語言學及應用語言學、常微分方程研究.

O241.84

A

1672-058X(2016)05-0011-05