由一道高考試題引發(fā)的思考

李平川++崔成軍

1.問題提出

題目（2009年遼寧高考理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C過點A（1， ），兩個焦點為（-1，0）和（1，0）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）E，F(xiàn)是橢圓上的兩個動點，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

本題第（1）問橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1，第（2）問主要考查直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.立意深刻，有內(nèi)涵.解題過程略，對于第（2）問，注意到點A（1， ）的特殊性，這個點是橢圓的一條通徑（過焦點作長軸所在直線的垂線與橢圓交于A，B兩點，AB是橢圓的一條通徑）的端點，直線的斜率是定值，這個定值恰好是橢圓的離心率.那么本題能否推廣到一般情形呢？下面本文將對其進(jìn)行探究.

2.問題探究

探究1：已知橢圓C： + =1（a>b>0），點A（-c， ）是橢圓的一條通徑的一個端點，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個動點，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，這個定值是橢圓的離心率的相反數(shù).

證明：設(shè)E（x ，y ），F(xiàn)（x ，y ），直線AE的方程為y=k（x+c）+ ，代入橢圓方程，整理得（b +a k ）x +（2kab +2k a c）x+b +2kb ac-a b =0.

根據(jù)韋達(dá)定理x -c=- ，解得x = .

因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，x = .

x +x = ，x -x = .

k = = = =-e證畢.

上述高考題中的A（1， ）是位于第一象限的通徑的一個端點，根據(jù)橢圓的對稱性，屬于探究1的特殊情形.它的逆命題經(jīng)證明也成立，于是得到.

探究2：已知橢圓C： + =1（a>b>0），點A（-c， ）是橢圓的一條通徑的一個端點，E，F(xiàn)是橢圓上的兩個動點，如果直線EF的斜率為定值，這個定值是橢圓的離心率的相反數(shù)，那么直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).

證明：設(shè)E（x ，y ），F(xiàn)（x ，y ），直線EF的方程為y=-ex+m，代入橢圓的方程整理得

（b +a e ）x -2a mex+m a -a b =0.

x +x = ，x x = .則有

（-ex +m）（x +c）+（-ex +m）（x +c）=-2ex x +（m-ec- ）（x +x ）+2mc- c

=2mc（a -b -c ）=0.

k +k = +

= =0.

即直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).證畢.

橢圓有上述性質(zhì)，經(jīng)證明雙曲線，拋物線也有類似的性質(zhì)，于是又得到.

探究3：已知雙曲線C： - =1（a>0，b>0），點A（-c， ）是雙曲線的一條通徑的一個端點，E，F(xiàn)是雙曲線上的兩個動點，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為定值，這個定值是雙曲線的離心率的相反數(shù).

探究4：已知拋物線y =2px（p>0），點A（ ，p），E，F(xiàn)是拋物線上的兩個動點，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為定值，這個定值為-1.

證明：設(shè)E（x ，y ），F(xiàn)（x ，y ），直線AE的方程為y=k（x- ）+p，代入拋物線的方程y =2px，整理得k x -（pk -2kp+2p）x+ p -p k+p =0.

根據(jù)韋達(dá)定理x + =- ，解得x = .

因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，x = .

x +x = ，x -x = .

k = = = =-1證畢.

探究3，4的逆命題也成立，證明略.

由此得到圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質(zhì)：

已知點A是圓錐曲線Γ的一條通徑的一個端點，E，F(xiàn)是圓錐曲線上的兩個動點，且k +k =0則k =|e|.它的逆命題也成立.

3.解后反思

高考試題匯聚了命題專家的智慧與心血，如果我們能最大限度地發(fā)揮試題的探究功能，教師才能近距離與命題專家進(jìn)行心靈交流，同時解題后的反思可使理解進(jìn)入深層次，進(jìn)而誘發(fā)新的想法，展開新的探究，在探究中升華，在升華中讓能力生根.