數(shù)學建模過程中的模型優(yōu)化算法

楚曉媛

【摘要】隨著我國社會主義現(xiàn)代化建設的不斷發(fā)展，我國的科學技術水平實現(xiàn)了前所未有的提升，其對數(shù)學思維的應用也更加廣泛，對于解決實際問題有著重要的意義與價值.本文將引入歷屆數(shù)學建模競賽優(yōu)秀的論文，著重對數(shù)學建模過程中的模型優(yōu)化算法進行深入探討，通過對模型優(yōu)化算法策略的研究，為解決實際問題提供一個參考與借鑒.

【關鍵詞】數(shù)學建模；模型優(yōu)化；算法；轉(zhuǎn)化模型

改革開放以來，我國對教育給予了高度的重視.數(shù)學建模作為高等院校數(shù)學專業(yè)極為重要的組成部分，其不僅能夠促進數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，而且能夠在一定程度上提升學生的邏輯思維能力與解決實際問題的能力，然而在數(shù)學建模過程中也普遍存在著優(yōu)化模型求解的難題，因此，對數(shù)學建模過程中模型優(yōu)化計算的探究有著重要的實用價值與研究意義.

一、數(shù)學建模相關概述

所謂數(shù)學建模，就是通過一系列的科學計算得出相應的結果，進而用來解決現(xiàn)實生活中的實際問題，并能夠接受相關檢驗而建立起來的數(shù)學模型.當對某一個特定問題或?qū)嶋H問題進行分析的過程中，人們需要對與該問題相關的各項信息進行有效的調(diào)查，并在掌握基本信息的基礎上，做出科學假設，對其內(nèi)在規(guī)律進行有效分析，并能夠通過數(shù)學符號語言進行相應的描述，進而建立完整的數(shù)學模型.改革開放以來，我國的計算機信息技術取得了前所未有的發(fā)展，數(shù)學建模在工程技術、自然科學等行業(yè)得到了充分的應用，且正朝著經(jīng)濟、金融、環(huán)境等各個領域滲透，已經(jīng)成為現(xiàn)代社會一種新型的高新技術產(chǎn)品，在社會生產(chǎn)與生活中發(fā)揮著不可替代的作用.數(shù)學模型的建立需要對現(xiàn)實問題進行深入剖析，并強調(diào)對數(shù)學知識的靈活運用，其與計算機技術共同成為知識經(jīng)濟時代的重要工具.

二、數(shù)學建模過程中的模型優(yōu)化算法

（一）對特殊關系式的巧妙處理

通過以往的數(shù)學建模可以發(fā)現(xiàn)，部分數(shù)學優(yōu)化模型不能夠直接通過軟件技術進行結果輸出，這很大程度上是由于模型目標函數(shù)中含有特殊的關系式，如不等式等，這些關系式無法采用軟件直接求解，基于這一現(xiàn)象，可以充分利用0-1變量，并通過合成技術對這類問題進行計算.如原油的采購與加工類問題：

其模型目標函數(shù)出現(xiàn)了多個分段函數(shù)：

c（x）=10x，0≤x≤500，1000+80x，500≤x≤1000，3000+6x，1000≤x≤1500.

對于該模型，可以直接對其各個分段函數(shù)做出相應的處理，可以將x三個區(qū)間設由（0-1變量）進行控制，其函數(shù)值可以通過對三個區(qū)間的有效整合，對函數(shù)值進行合成，可以對函數(shù)圖像進行探究，并結合函數(shù)值，引入變量yk和非負變量zk.基于特殊關系式模型，需要對以下問題進行深度分析：（1）有甲必不能有乙的排斥關系；（2）在m約束中共有k個有實際作用；（3）建模中含有絕對值的式子.

（二）降低可行域

在進行數(shù)學優(yōu)化模型構建時，需要加強身體，能夠充分利用題目中給出的各項信息，做出大膽的猜想與假設，也可以通過直接信息元素得出相關信息，增加約束條件，這不僅能夠在一定程度上降低模型求解的難度系數(shù)，而且能夠?qū)栴}的求解起到?jīng)Q定性作用.以某年生產(chǎn)車輛的安排為例，要想能夠降低運輸成本，必須保障使總運量以及出動卡車的數(shù)量達到最低，需要滿足鏟點與卸點在平均時間內(nèi)完成目標，便可以稱之為無沖突，并以此建立相關的數(shù)學模型.在這個過程中很容易將約束條件局限于電鏟能力、產(chǎn)量任務等方面.因此，可引入變量0-1，并通過fi描述確定i號鏟點的使用情況，實現(xiàn)對電鏟數(shù)量的有效約束∑10i-1fi≤7，fi∈{0，1}，除此之外，還可以適當增加對卡車數(shù)的相關約束：xij≤AijBij，分別采用xij，Aij，Bij代表鏟點i到卸點j的發(fā)車次數(shù)、同行運行卡車數(shù)以及最多可運行次數(shù)等，然后通過卸點運行一周期所用的平均時間可以得出相應的結果.

（三）對模型的有效轉(zhuǎn)化

通常，對于一些計算起來比較困難的數(shù)學模型，可以通過轉(zhuǎn)化的方法，使模型的難度得到大大降低，然后再進行相應的求解計算，常用的轉(zhuǎn)化方法有離散問題連續(xù)化、連續(xù)問題離散化等，以易拉罐下料問題為例，其決策變量采用的是整數(shù)形式，再加上生產(chǎn)數(shù)量的巨大，可以將其看作實數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃.再如飛行管理相關問題，可以進行非線性規(guī)劃，通過已知條件：飛機速度等同，可以將這一距離約束問題轉(zhuǎn)化成角度約束問題，便于計算.這些例子都在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學建模中模型轉(zhuǎn)化的優(yōu)越性.

（四）優(yōu)化計算方法的靈活選用

1.三大非經(jīng)典算法

在數(shù)學建模過程中，通常會遇到對非線性關系復雜數(shù)據(jù)進行擬合的參數(shù)，在這種條件下，可充分引入人工神經(jīng)網(wǎng)絡，這種方法不僅無需對相關函數(shù)關系進行假定，而且能夠?qū)碗s的非線性函數(shù)進行有效的模擬，能夠?qū)︻}目中的各

項數(shù)據(jù)進行充分有效的利用.另外，對于優(yōu)化組合類問題，則可以采用遺傳算法與模擬退火算法，如某年的鋼管訂購與運輸問題，采用的是非線性規(guī)劃模型，傳統(tǒng)的算法很難順利實現(xiàn)求解，而采用遺傳算法則能夠?qū)崿F(xiàn)很快求得最優(yōu)結果.

2.蒙特卡羅算法

數(shù)學建模中難免會遇到隨機規(guī)劃模型問題，對于此類問題可采用蒙特卡羅計算方法，例如：每份報紙價格為0.02元，某報童以該價格買進報紙，并以0.05元/份的價格出售，其每天的銷售量與百分率如下表所示：

從題面上可以得知未銷售的報紙以0.02元/份退還報社，所求的是報童每天買進多少份報紙才能保證其平均收益達到最大.對于這一問題，可采用模擬方法，做出相對合理的預測，然后通過數(shù)學建模對猜想進行驗證，另外還可以對隨機優(yōu)化模型進行求解，這些都能夠應用到實際生活中，實現(xiàn)對現(xiàn)實問題的有效解決.

3.支持向量機算法

支持向量機算法能夠有效彌補神經(jīng)網(wǎng)絡在局部極值問題方面的缺陷，其在預測以及綜合評價領域應用較為廣泛，如1989年數(shù)學建模大賽中蠓的分類問題，已知兩種不同類型蠓蟲的觸角長度與翅膀長度，要求對15只蠓蟲進行分類鑒別，采用支持向量機的計算方法，通過二次規(guī)劃模型的建立，可以求得一個分類函數(shù)，然后將相關數(shù)據(jù)帶入便可求得結果，該計算方法快捷、有效.

結束語

近年來，社會各個行業(yè)對數(shù)學建模的應用日趨廣泛，數(shù)學建模與優(yōu)化方法的聯(lián)系更加密切，在社會生產(chǎn)與生活中得到了前所未有的應用，在數(shù)學建模中，都不同程度地包含了最優(yōu)計算思想，而這些最優(yōu)理論又是通過具體的數(shù)學建模形成的，因此，必須加強對數(shù)學建模的重視，準確把握當前數(shù)學建模過程中存在的各項問題，實施科學的優(yōu)化計算策略，提升其在社會實際問題中的作用與價值.

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