高瑞華

摘要：高等數(shù)學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要課程之一，也是洞曉數(shù)學(xué)抽象性，厘清數(shù)學(xué)思想發(fā)展變遷的重要載體。在大學(xué)階段，如何構(gòu)建數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)，如何從激發(fā)學(xué)生問題意識上，探尋數(shù)學(xué)認(rèn)知的有效路徑，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果。本文將從數(shù)學(xué)辯證思維入手，就高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式建構(gòu)展開探討，突出數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯性的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);問題意識;教學(xué)目標(biāo);路徑建構(gòu)

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）027-000-02

在高等數(shù)學(xué)教育中，首先是將數(shù)學(xué)作為一種思維體操，提升學(xué)生的思維力、抽象力，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知。如果將數(shù)學(xué)作為純粹的知識體系，那么，當(dāng)學(xué)生看到“拓?fù)鋵W(xué)”、“實(shí)變函數(shù)”、“泛函分析”等抽象知識時，其實(shí)數(shù)學(xué)已經(jīng)變成了一把思維的篩子，讓更多的學(xué)生被所謂的數(shù)學(xué)知識“過濾”掉了。在這種情形下，數(shù)學(xué)興趣談何說起？學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極性如何激發(fā)？現(xiàn)代教育理論與教育實(shí)踐的發(fā)展，對于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該逐步走出傳統(tǒng)抽象性、邏輯性思維的窠臼，將數(shù)學(xué)進(jìn)行逐級分化，兼顧不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知需求，更多的提升廣大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和認(rèn)知力，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)課程的應(yīng)用。如在學(xué)習(xí)偏微分方程時，如果僅僅依據(jù)其數(shù)學(xué)理論來講解，勢必會帶來學(xué)習(xí)障礙，而如果能夠與具體的學(xué)科實(shí)例問題相結(jié)合，從實(shí)例教學(xué)中來展示偏微分方程的求解與應(yīng)用，則更能夠增強(qiáng)廣大學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性。為此，以問題意識為導(dǎo)向，立足高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)實(shí)際，從探索數(shù)學(xué)認(rèn)知、構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)上提出優(yōu)化路徑，增進(jìn)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用。

一、問題是啟發(fā)認(rèn)知方式、搭建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要目標(biāo)

大學(xué)不是純粹傳授知識的，更在于對學(xué)生認(rèn)知方式、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的塑造。美國學(xué)者奧蘇伯爾提出“智”是構(gòu)成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的單元，而智育是塑造學(xué)生認(rèn)知方式的重要途徑。在對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的分析上，知識是認(rèn)知內(nèi)化的基礎(chǔ)，也是構(gòu)成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的條件。對于大學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，以純數(shù)學(xué)為分支的課程主要有代數(shù)類、分析類、幾何類等內(nèi)容，相同類型的課程，其培養(yǎng)思維的方式也類似。如在數(shù)學(xué)分析類課程中的復(fù)變函數(shù)，多建立在“數(shù)學(xué)分析”基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)數(shù)域推廣。同時，實(shí)變函數(shù)作為病態(tài)函數(shù)的精致化表現(xiàn)，也是提煉數(shù)學(xué)分析思想的重要內(nèi)容。再如泛函分析，將幾何、代數(shù)及古典分析融為一體，探討無窮維空間上的函數(shù)變化理論。可見，弄清楚不同數(shù)學(xué)課程的知識結(jié)構(gòu)特征，對于優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知具有重要意義。通常情況下，問題是知識啟發(fā)的工具。對于數(shù)學(xué)問題多指向未知領(lǐng)域的認(rèn)識。當(dāng)然，教學(xué)目標(biāo)作為知識與經(jīng)驗(yàn)的集合，決定了采用何種教學(xué)方式，來引導(dǎo)學(xué)生從已知到未知，漸進(jìn)獲得數(shù)學(xué)能力。我們可以將學(xué)生頭腦比作一個箱子，對于問題就好比有待填充的空間。教學(xué)的過程，就是將前人的知識與經(jīng)驗(yàn)，通過問題解決的過程來轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的認(rèn)知，塑造學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。也就是說，數(shù)學(xué)知識在進(jìn)行教學(xué)中，要盡量擬合活的經(jīng)驗(yàn)和知識，引導(dǎo)學(xué)生從一般思維活動中來內(nèi)化為自我知識，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法。如果在構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)上，提出的要求過高，超越學(xué)生的現(xiàn)有思維認(rèn)知水平。如希望每個學(xué)生都能成為數(shù)學(xué)家，將數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)研究，則難以拉近學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知距離，更不利于學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該有一個合理的目標(biāo)，正如高爾基所言，目標(biāo)具有激勵、導(dǎo)向作用，目標(biāo)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)斗志，推動學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，從而革新認(rèn)知方式。

二、問題導(dǎo)向下高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)路徑選擇與建構(gòu)

針對數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題導(dǎo)向，在把握數(shù)學(xué)認(rèn)知點(diǎn)過程中，需要從理論講解、學(xué)科特性以及不同教學(xué)方法的運(yùn)用中來獲得認(rèn)知效果。

1.對于淺層數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為逐級抽象認(rèn)知理解方式

數(shù)學(xué)學(xué)科知識具有系統(tǒng)性、抽象性，對于淺層數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，在講授方法上要注重數(shù)學(xué)技能修養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是對學(xué)科本質(zhì)性知識的講解，要能夠結(jié)合學(xué)科本性特征來延伸。數(shù)學(xué)知識中的結(jié)構(gòu)模型通常是搭建教學(xué)體系的重要手段，其重點(diǎn)在于教師能夠根據(jù)學(xué)生對象的認(rèn)知需求和實(shí)際，靈活處理教學(xué)內(nèi)容，并對教學(xué)知識進(jìn)行合理化組織，強(qiáng)調(diào)師生間的相互交流與互動。在淺層知識內(nèi)容學(xué)習(xí)上，由于涉及的知識點(diǎn)不深，以常規(guī)教學(xué)模式為主，也需要導(dǎo)入研究性教學(xué)，面向?qū)W生以吃透學(xué)科知識為根本。當(dāng)然，對于數(shù)學(xué)知識本身的抽象性特征，在選擇教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上，還要考慮到學(xué)生認(rèn)知的廣泛性、易受性要求。由于抽象性學(xué)科在思維認(rèn)知上具有高度凝煉特征，特別是對于數(shù)學(xué)來說，其高度抽象性很容易抑制學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。不過，數(shù)學(xué)本身的抽象性也具有層級特性，遵循逐級發(fā)展特點(diǎn)。在數(shù)學(xué)知識講解上，可以以一些具體的抽象概念為基礎(chǔ)，來滲透其他抽象概念，以順應(yīng)廣大學(xué)生的心理運(yùn)算實(shí)際。如在學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)時，先導(dǎo)入上極限、下極限概念，從這些淺層概念理解上，形成認(rèn)知意識，接著再引申出實(shí)變函數(shù)概念，由此來把握抽象概念的認(rèn)知點(diǎn)，增進(jìn)學(xué)生對實(shí)變函數(shù)的理解。當(dāng)然，在抽象概念講解上，對于數(shù)列的上、下極限，要從概念、定義、表示方式等方面進(jìn)行呈現(xiàn)，讓學(xué)生從逐級抽象過程中來形成對復(fù)雜抽象概念的漸進(jìn)理解。

2.在數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中融入文化內(nèi)涵

從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，其數(shù)學(xué)認(rèn)知過程并非漸進(jìn)提升，而是迂回曲折的。對于數(shù)學(xué)概念中的奇聞軼事，往往能夠激發(fā)學(xué)生的求知熱情，提升對數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，三次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，將數(shù)學(xué)史變得跌宕起伏而又趣味橫生。一種認(rèn)知觀念的形成總是與其研究視角的變化有關(guān)。如非歐氏幾何提出的反駁歐氏幾何的論斷就是明證。歐幾里得提出，過直線外一點(diǎn)只能作一條平行線。而羅巴切夫斯基卻提出反駁意見：過直線外一點(diǎn)能作多條平行線。兩種幾何理論的對立，首先碰撞的是研究事物的視角迥異。在面對質(zhì)疑與不解聲中，羅巴切夫斯基并未獲得其數(shù)學(xué)史上的贊譽(yù)，而是接連不斷的學(xué)術(shù)打擊，甚至連數(shù)學(xué)家高斯都未給予支持。從幾何學(xué)的發(fā)展歷程來看，認(rèn)識視角的變化所帶來的學(xué)術(shù)革新是巨大的尤其是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，其實(shí)例比比皆是。如數(shù)學(xué)中的局部微分幾何與整體微分幾何學(xué)的對立，其認(rèn)識視角由局部到整體的轉(zhuǎn)變，也將數(shù)學(xué)概念拓深至更廣闊的認(rèn)識領(lǐng)域。還有極限概念的提出，極限作為數(shù)學(xué)研究中的重要概念，可以說，沒有極限就沒有微積分，更沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。然而，基于極限概念的上、下極限數(shù)列的提出，將代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)實(shí)現(xiàn)了連接，將距離逼近的角度定義為一列變動的數(shù)來刻畫未知的常數(shù)。由此可見，對于上、下極限的認(rèn)識視角，將集合論作為研究距離逼近視角的研究范疇，不僅涵蓋了實(shí)數(shù)直線幾何結(jié)構(gòu)，還推進(jìn)了極限概念的廣泛應(yīng)用。

3.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來表征數(shù)學(xué)理論的實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科并非純粹的數(shù)學(xué)知識累積，也滲透了鮮明的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想不同于一般數(shù)學(xué)理論，而是基于科學(xué)思維的抽象表達(dá)方式。當(dāng)然，對于同一數(shù)學(xué)思想，可以用不同的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，也可以滲透不同的數(shù)學(xué)理論，便于學(xué)生從中來理解和應(yīng)用。多元表征理論作為對信息論的多視角解釋方法，有助于學(xué)生從舊知識上升至對新知識的理解，有助于實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的遷移和轉(zhuǎn)換。從數(shù)學(xué)中子列收斂性來看，數(shù)列的上極限是涵蓋所有收斂子列中最大值，而對于聚點(diǎn)來說，上極限卻是數(shù)列的最大聚點(diǎn);從確界的視角來看，上極限是基于上確界的遞減數(shù)列的下確界。由此來看，同一數(shù)學(xué)知識及理論，在不同的視角及數(shù)學(xué)語言表征上可以不同，盡管數(shù)學(xué)的符號化、形式化是數(shù)學(xué)表征的采用方法，但對數(shù)學(xué)思想來說，其活潑的科學(xué)思維更具美學(xué)特征。所以說，通過對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)上，讓學(xué)生近距離感受數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，增進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

4.立足問題來驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的開展

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯提出“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來看，問題是驅(qū)動學(xué)生認(rèn)知養(yǎng)成的重要動力，特別是在構(gòu)建問題認(rèn)知情境中，利用問題來建構(gòu)師生之間的交互狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生從中探究知識，了解和把握數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法。因此，在數(shù)學(xué)知識傳遞過程中，要將問題置于其中，借助于問題情境來展現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯脈絡(luò)，讓學(xué)生從不同視角來探究問題，啟發(fā)學(xué)生掌握知識。

三、結(jié)語

研究數(shù)學(xué)的本性，探討數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與規(guī)律，從激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與趣味上，拓寬數(shù)學(xué)課程建構(gòu)模式。總之，對于人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來說不是封閉的，而是開放的，不斷發(fā)展的系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)上，要善于從合理教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定上，從問題的啟發(fā)與導(dǎo)向上，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知方式，推動學(xué)生去了解、去探究、去掌握數(shù)學(xué)知識，完善自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能夠真正實(shí)現(xiàn)“授人以漁”的目標(biāo)。

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