憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤
——讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)2300年都無(wú)人能識(shí)的直線段

黃小寧●

廣東省廣州市天河區(qū)(510631)

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憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤
——讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)2300年都無(wú)人能識(shí)的直線段

黃小寧●

廣東省廣州市天河區(qū)(510631)

區(qū)間[0，x]∪(x，x+1]的子區(qū)間[0，x]之外還有正數(shù)；…；…；…這一系列中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)使中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)：①5千年都無(wú)人能識(shí)的自然數(shù)；②幾千年都無(wú)人能識(shí)的R外正數(shù)；③2300年都無(wú)人能識(shí)的等長(zhǎng)卻不“等勢(shì)”從而不合同的直線段(光滑曲線可看成由直線段組成)——推翻2300多年“幾何起碼常識(shí)”：形狀、大小相同的圖形必合同.不識(shí)這類“更無(wú)理”的數(shù)和直線段使2300多年初等幾何和中學(xué)幾百年解析幾何一直將各異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出病態(tài)的“直線段部分點(diǎn)可與全部點(diǎn)一樣多”.兩沒(méi)空隙的等長(zhǎng)直線段分別包含不一樣多的點(diǎn)從一側(cè)面顯示2300年“點(diǎn)無(wú)大小”公理并非“不容置疑”，因長(zhǎng)度不變且沒(méi)空隙的直線段能包含多少個(gè)點(diǎn)是與點(diǎn)的長(zhǎng)有關(guān)的.保距變換概念揭示同樣是無(wú)窮長(zhǎng)的射線，此線的長(zhǎng)可大于彼線的長(zhǎng).

N外標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)；貌似重合的偽二重直線(段)(只有重疊關(guān)系而無(wú)重合關(guān)系)；推翻平行公理；推翻百年自然數(shù)公理和百年“R完備、封閉”論；區(qū)間族；合同圖形以及合同點(diǎn)；伸縮變換

人類認(rèn)識(shí)自然數(shù)已有5千多年，認(rèn)識(shí)直線(段)已有2300多年，中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)間[0，2]等等均是無(wú)窮集.“科學(xué)”共識(shí)：數(shù)學(xué)，尤其是關(guān)于自然數(shù)和最簡(jiǎn)單、基本的圖形：直線段方面的中學(xué)知識(shí)絕不可能有重大錯(cuò)誤更不可能有一系列….“反科學(xué)”的神話般發(fā)現(xiàn)來(lái)自于太淺顯的：①幾何起碼常識(shí)c：相等的圖形必合同.②集合起碼常識(shí)d：所謂數(shù)集A=B是說(shuō)A的元與B的元可一一對(duì)應(yīng)相等即有x?y=x(表A各元x均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)y∈B且B各元y均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)x∈A)，故A=B的必要條件是有x?y即A、B分別包含一樣多個(gè)元.③區(qū)間概念.④下述不等式起碼常識(shí)s.

質(zhì)點(diǎn)x移動(dòng)到新位置成點(diǎn)x′還是移動(dòng)前的點(diǎn)即移動(dòng)前后的點(diǎn)只有位置差別而無(wú)別的差別.圖形A各點(diǎn)保距偏離原位生成的B≌A.A≌B≠A是說(shuō)A與B只有錯(cuò)位的差別而無(wú)別的差別.用各不同材料(金、鐵、銅、鋁、…)制成許多形狀、大小相同的實(shí)心球，用木、紙、塑料、面粉、煤粉、…做成的球，…；各球并非只有位置差別而無(wú)別的差別.同樣，本文發(fā)現(xiàn)有無(wú)窮多沒(méi)空隙的等長(zhǎng)直線段(構(gòu)造直線段的材料是“點(diǎn)”)彼此均無(wú)合同關(guān)系——從一側(cè)面顯示其分別由各不同的材料點(diǎn)組成——說(shuō)明同樣是“點(diǎn)”，此線段A的元點(diǎn)與彼線段B(與A等長(zhǎng)且不≌A)的元點(diǎn)并非只有位置差別那么簡(jiǎn)單；人類由認(rèn)識(shí)直線段到發(fā)現(xiàn)這類用而不知的直線段竟須歷時(shí)2300多年！但若擔(dān)心廣大高中生(應(yīng)熟悉非常簡(jiǎn)單易懂的保距變換概念)看此科普文后還不能認(rèn)識(shí)這類直線段那就是污蔑其是弱智群體了.當(dāng)然錯(cuò)誤的應(yīng)試教育會(huì)將正常人育成….關(guān)鍵是要求真務(wù)實(shí)而不要“求分務(wù)(文)憑”.

1.憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn)：①5千年都無(wú)人能識(shí)的自然數(shù)；②中學(xué)幾百年重大錯(cuò)誤：搞錯(cuò)y=n+1的值域而將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列

關(guān)鍵不在學(xué)習(xí)了前人多少知識(shí)而在能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)見(jiàn)前人所未能見(jiàn)從而創(chuàng)造出前所未有的知識(shí).與x相異或相等的數(shù)均可表為y=x+△x(△x可=0也可≠0).設(shè)本文所說(shuō)變數(shù)都可形象化為沿一維空間“管道”G運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)(可固定一下)，n個(gè)變數(shù)可形象化為同在G內(nèi)的n個(gè)動(dòng)點(diǎn).G內(nèi)x軸各點(diǎn)變換為還在G內(nèi)的點(diǎn)x+△x=y形成元為點(diǎn)y的點(diǎn)集還在G內(nèi).

只有兩個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集{點(diǎn)a，點(diǎn)b}，設(shè)想a、b是閉直線段B的兩端點(diǎn)，這兩點(diǎn)繞B中任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)是保距運(yùn)動(dòng).至少有兩元的點(diǎn)(數(shù))集A保距變?yōu)辄c(diǎn)(數(shù))集B就稱A≌B——表示A與B可通過(guò)保距變換而重合.

設(shè)A={x}表A各元均由x代表，變數(shù)x的變域是A；A任兩異元x與x+△x之間的距離是變量|△x|>0.a∈x軸變號(hào)為-a的幾何意義是點(diǎn)a繞點(diǎn)x=0旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)辄c(diǎn)-a∈x軸.直線段A={x}=[-1，3]?x軸繞點(diǎn)x=0旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)榫€段B={-x}=[-3，1]?x軸，B沿x軸正向保距前移距離2變成C={y}(y=x+△x=-x+2)=[-1，3](?x軸)=A，這A通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變?yōu)镃=A是保距變換：x?y=-x+2.因相等的圖形(點(diǎn)集)必合同，故有

h定理1 至少有兩元的點(diǎn)(數(shù))集A={x}=B={y}的必要條件是A≌B，這等價(jià)于|△x|=|△y|即△y=±△x，以及y=y(x)=±x+c——表明y=±x+c以外的一切y=y(x)的定義域必≠值域.

證1A=B≌B時(shí)A與B的元x與y必可有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：x?y=y(x)，在此關(guān)系下y+△y中的△y=y(x+△x)-y(x)，A=B≌B說(shuō)明A各元x變?yōu)閥(x)(x?y(x))組成B={y(x)}=A不一定是沒(méi)變換的恒等變換但一定是保距變換;由A≌B的定義，|△x|=|x+△x-x|=|y(x+△x)-y(x)|=|△y|；而當(dāng)且僅當(dāng)y=y(x)=±x+c時(shí)才有△y=y(x+△x)-y(x)=±(x+△x)+c-(±x+c)=±△x.

證2A={1，2，3}各元x=1，2，3.x=1時(shí)異于x=1的元x+△x=1+△x可=2與3，△x可=1與2；x=2時(shí)與其相異的x+△x=2+△x可=1與3∈A，△x可=-1與1；x=3時(shí)x+△x=3+△x可=1與2∈A，△x可=-2與-1.所以△x的變域是{3，±2，±1}，|△x|的變域是{1，2，3}.至少有兩元的B={y}任兩異元y與y+△y間的距離是|△y|，顯然若A=B則|△y|必=|△x|；同樣，A可是別的至少有兩元的點(diǎn)集，…….證畢.

若A≌B則A與B可通過(guò)保距變換而重合，A的任何一部分C(至少有2元)?A都不可通過(guò)保距變換而與A重合(注：直線段的一部分線段可彈性伸長(zhǎng)，但這不是保距變換.).據(jù)此應(yīng)有

h幾何常識(shí)：至少有4元的點(diǎn)集A的任何一部分C(至少有兩元)?A都不可≌A.

A={1，2，3，4}各元x有相應(yīng)的△x,B={1，2}各元x也有相應(yīng)△x；這兩△x是不同的變量，因此△x中x的變域是A而彼△x中x的變域是B?A.

R所有正數(shù)x組成A，定義域?yàn)锳的y=1/x>0、y=x2>0和y=1/x2等等的值域B=A嗎？因各y(x)都是y=±x+c以外的函數(shù)，故據(jù)h定理1各y的值域均≠A,這里的A各元x>0變?yōu)閥=y(x)組成元為y的B不≌A均不是保距變換；同理，定義域?yàn)镽+=A∪{0}的y=x2≥0的值域≠R+，….本文表明本文作者以往論文中的相應(yīng)結(jié)論是正確的，但論據(jù)中的“A={x}=B={y}的必要條件是y=±x+0”應(yīng)改為：A=B的必要條件是y=±x+c；相應(yīng)“|y|=|x|”應(yīng)改為：A任兩異元間的距離|△x|=B任兩異元間的距離|△y|>0.

定義：若點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合或雖不重合但只有位置差別而無(wú)別的差別，就稱P合同于P′記為P≌P′.相互合同的點(diǎn)可通過(guò)移動(dòng)而重合，不合同的點(diǎn)不可重合而只可重疊.

將直線段A的一端點(diǎn)涂成紅點(diǎn)，保距運(yùn)動(dòng)將A的紅點(diǎn)(或中點(diǎn))變?yōu)樾戮€段B≌A的紅端點(diǎn)(或中點(diǎn))，…；將相片(像素點(diǎn)的集合)中人的左眼變?yōu)樾孪嗥腥说淖笱郏粚⒆鴺?biāo)系j變?yōu)樾伦鴺?biāo)系j′≌j.復(fù)平面z=x+iy的x軸z1=x+i0各點(diǎn)z1=x到x軸的對(duì)稱中心點(diǎn)z1=x=0的距離|z1|=|x|(x的變域是x軸)不隨直線z1=x的保距變換而變換，例直線z1=x繞點(diǎn)z1=0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角成直線z2=x(cosθ+isinθ)=xcosθ+ixsinθ=X+iY≌x軸，此線z2各點(diǎn)z2=xcosθ+ixsinθ到此線的中心z2=0的距離|z2|還=|x|.同樣……

證1 坐在汽車?yán)锔魅藊與司機(jī)(或車內(nèi)任一位置)的距離ρ(x)分別是ρ(x1)=a，ρ(x2)=b，ρ(x3)=c，…，所有ρ組成M={a，b，c，…}，ρ(x)是變域?yàn)镸的距離函數(shù)；因各人x相對(duì)于車是不動(dòng)而沒(méi)相對(duì)位移的，故ρ(x)不可隨車的勻速直線運(yùn)動(dòng)而變?yōu)閯e的變量；若急剎車ρ就可變?yōu)棣选洹佴?同樣A變?yōu)锽≌A只是A作改變空間位置的剛體運(yùn)動(dòng)，各元點(diǎn)相對(duì)于圖形是沒(méi)相對(duì)位移的，這就使ρ與ρ′必是同一距離變量.

證2：設(shè)A={x}≌B={y(x)}，A各元點(diǎn)x到A任一點(diǎn)x0的距離ρ=|x-x0|，B各元點(diǎn)y(x)到點(diǎn)y0(x0)∈B的距離ρ′=|y(x)-y0(x0)|，由A≌B的定義ρ′=ρ；同樣，A與B可是n≥2維空間圖形，…….證畢.

人類5千年來(lái)一直認(rèn)定各已知自然數(shù)n∈N與1(或2,3，...)的和n+1(或n+2,n+3，...)均是已知自然數(shù)∈N.一切已知自然數(shù)n組成N?R各元n均有后繼標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)n+1.挖去R軸一點(diǎn)x就空出一位置“洞”x說(shuō)明R軸由點(diǎn)與容納點(diǎn)的位置洞兩部分組成.將x軸的射線x≥0(各x∈R)中的非自然數(shù)點(diǎn)x都挖去就得有許多空位漏洞的有洞射線n≥0(n的變域是N)，設(shè)想在各空位內(nèi)灌入粘結(jié)劑從而將各點(diǎn)連接起來(lái).有洞射線(點(diǎn)集)N={n}各點(diǎn)n≥0沿N正向保距平移距離1成為點(diǎn)n的后繼點(diǎn)y=n+1>n生成由一切后繼點(diǎn)y組成的有洞射線(點(diǎn)集)H={1，2，…，n+1，…}(n≥0的變域是N)≌N,即H是射線y=n+1≥1.挖去有洞射線N的起點(diǎn)n=0就得N的子部射線N+={1，2，…，n+1,…}?N.保距變換將射線的起點(diǎn)變?yōu)樾律渚€的起點(diǎn).射線N+各點(diǎn)n≥1到該線的起點(diǎn)n=1的距離是n-1≥0(n≥1的變域是N+)而射線H各點(diǎn)n+1≥1到該線起點(diǎn)n+1=1的距離是n+1-1=n≥0(n的變域是N)，據(jù)h定理2,N+不≌H從而更≠H.因N+各n≥1都是其左鄰n-1∈N的后繼n∈后繼集H,故H包含N+，包含N+的H≠N+說(shuō)明H中必至少有一N+外自然數(shù)n+1(>n)=t>N+一切自然數(shù)n.對(duì)N任何(一切)元n均有區(qū)間[0，n]，….變域?yàn)镹的n被限制只能代表區(qū)間Q=[0，n]∪(n，n+1]∪(n+1，n+2]∪…∪…的各子區(qū)間[0，n](n的變域?yàn)镹)內(nèi)的自然數(shù)，當(dāng)n由小到大遍取N一切數(shù)n時(shí)[0，n]的長(zhǎng)度n-0=n由0→∞而變至能長(zhǎng)到包含N一切數(shù)n；據(jù)區(qū)間概念在各[0，n](n的變域?yàn)镹)之外還有用而不知的自然數(shù)n+1=t>n以及t+1>t等等>N一切數(shù)n∈[0，n]，因Q中區(qū)間族{[0，n]|n的變域?yàn)镹}遠(yuǎn)不可包含一切標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù).詳論見(jiàn)[1].人類由認(rèn)識(shí)自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)t竟須歷時(shí)5千多年！但若擔(dān)心熟悉區(qū)間概念和幾何常識(shí)c的億萬(wàn)學(xué)生看此文后還不能立刻認(rèn)識(shí)這“特異”的t那就是污蔑其是弱智群體了.誤以為“N對(duì)加法封閉”使自有函數(shù)概念幾百年來(lái)數(shù)學(xué)一直認(rèn)定N+=H從而使康脫推出病態(tài)的：N～N+?N.

2.人類由發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)到發(fā)現(xiàn)“更無(wú)理”數(shù)竟須歷時(shí)2500年

R各數(shù)x均有對(duì)應(yīng)數(shù)x/2.不等式起碼常識(shí)s：說(shuō)00可遍比A一切數(shù)x都小而取A外數(shù)(同樣x可>y的變域內(nèi)的一切數(shù)y)，說(shuō)A=(1，2]?R就是說(shuō)式中y可0可0且≤1由大到小取值而由1處出發(fā)→0遍取A=(0，1]?R一切數(shù)x時(shí)[x，1]的長(zhǎng)|1-x|(x由1→0)由0→1地逐漸變長(zhǎng)而長(zhǎng)到包含A一切元x∈[x，1]，據(jù)區(qū)間概念在各[x，1](x的變域是A=(0，1]?R，將各[x，1]中的x都提取出來(lái)組成的集是A)之外至少有一正數(shù)x/20被限制只能在[x，1]?(0，1]內(nèi)取值.可見(jiàn)常識(shí)s和區(qū)間概念表明定義域?yàn)锳的y=x/2>0的值域中有用而不知的R外正數(shù)y0=x0/2

L={x}=(0，2]?R的子部A=(0，1]?L各數(shù)元x變?yōu)閥=2x(△y=2△x)∈L組成L′={y=2x}(0<2x≤2)～A.L任兩異元的距離是|△x|，而L′任兩異元的距離是|△y|=|2△x|，據(jù)h定理1，L≠L′.包含L′的L≠L′——說(shuō)明L內(nèi)還有數(shù)學(xué)一直未能察覺(jué)的L′外數(shù)——說(shuō)明L′?L.L各元也均可由y>0代表，L內(nèi)滿足h式y(tǒng)=2x>x=y/2∈A的元y的全體組成了L′，L′?L外的數(shù)y∈L是不滿足h式的“更無(wú)理”數(shù)y(>y/2>0)，即此y的對(duì)應(yīng)數(shù)y/2不可∈A從而是A和R外的正數(shù)

圓周x2+y2=1有一半徑B與線段[0，1]?x軸重合.B繞圓心反時(shí)針旋轉(zhuǎn)使B由∥x軸變到⊥x軸，B在x軸的正投影T就相應(yīng)不斷縮短使T兩端點(diǎn)的距離ρ由=1逐漸變小到=0致兩端點(diǎn)重合.自由落體的高h(yuǎn)≥0也是由大到小取值的.稍有一點(diǎn)頭腦的人都知由大到小取值的ρ≥0必取盡其變域J所有正數(shù)后才能取0即ρ必取到無(wú)正數(shù)可取了才取0.但有“定理”斷定ρ→0每取一正數(shù)ρ后總還有后續(xù)正數(shù)如ρ/2∈J要取而總不能取到無(wú)正數(shù)可取從而更談不上能取0——尖銳自相矛盾！所以如所述J必有最小正數(shù)元ρ1(文[2]嚴(yán)格證明了R有最小正數(shù)元⊕)使ρ1/2是J外正數(shù)，ρ→0取ρ1后就無(wú)正數(shù)可取了.產(chǎn)生邏輯悖論是因主觀認(rèn)識(shí)與客觀實(shí)際不符.由大到小取值且變域?yàn)閇0，1]?R的x→0有最后一次的取值：取0，即其取數(shù)過(guò)程是有完有了的.真正的無(wú)窮集必是“無(wú)窮無(wú)盡”與“有窮有盡”的對(duì)立統(tǒng)一體，不能只識(shí)其“無(wú)窮”的一面而不識(shí)其“有窮”的另一面.詳論見(jiàn)[1].

3.區(qū)間概念讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)幾百年都無(wú)數(shù)學(xué)家能察覺(jué)的中學(xué)數(shù)學(xué)重大錯(cuò)誤：定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2]中學(xué)幾百年函數(shù)“常識(shí)”：“定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2]”其實(shí)是違反區(qū)間概念和集合常識(shí)d的肉眼直觀錯(cuò)覺(jué).U={x}=[0，2]的子部V=[0，1]?U各元x變?yōu)閥=2x∈U組成U′={y}～V.U′≠U即0≤x≤2中x的變域是U=[0，2]，但0≤2x≤2(x的變域是V)中y=2x(△y=2△x)的變域≠U.理由：

①|(zhì)△y|=|2△x|>|△x|，據(jù)h定理1U′={y=2x}不≌U={x}，從而更≠U.幾百年“U=U′～V”使康脫誤以為V～U?V.

②因U′一個(gè)不漏的一切正數(shù)元均由y=2x>x>0中的y代表,故據(jù)常識(shí)s該式表示至少有一正數(shù)x∈V?U小于U′一切正數(shù)y.U=[0，2]=[0，x]∪(x，2x)∪[2x，2]中的[2x，2]中的2x>0且≤2,由2處出發(fā)→0遍取U′一切正數(shù)y=2x∈U時(shí),[2x，2]的長(zhǎng)|2-2x|(2x由2→0)由0→2地逐漸變長(zhǎng)而長(zhǎng)到包含U′一切正數(shù)2x∈[2x，2]，據(jù)區(qū)間概念在各[2x，2](2x遍取U′一切正數(shù)2x)之外至少有一正數(shù)x∈V?U小于U′一切正數(shù)2x∈[2x，2]，關(guān)鍵是2x>0被限制只能在[2x，2]內(nèi)取值即2x>0,不可遍取U=[0，2]一切正數(shù).

③U′各元y=2x的對(duì)應(yīng)數(shù)x∈V的全體組成的集是V?U而非U，沒(méi)人能證U′各元2x∈U與U各元x可一一對(duì)應(yīng)(配對(duì))，即如[3]所述沒(méi)一配對(duì)法能使U=[0，2]各元x都有“配偶”y=2x∈U′——說(shuō)明U′～V?U不可～U即U與U′不“等勢(shì)”.U=[0，2]各數(shù)都由x代表，其中有一類數(shù)可表為y=2x(x∈V?U)，而也可由y=2x代表，所有y組成的集記為B(=U′).B=U′各元2x?x∈V能與V各元x一一對(duì)應(yīng)只說(shuō)明B=U′～V?U而不能說(shuō)明U～V?U.“U各數(shù)x都有對(duì)應(yīng)數(shù)α=x/2”時(shí)，U中有一類數(shù)可表為y=2α(α=x/2)=x(不限制α必∈U)而也可由y=2α代表，所有y組成I.因有x?y=2(x/2)=x故I=U.U各數(shù)都由x代表的同時(shí)也都可由y=2α代表，但卻不可也都可由y=2x(x∈V)代表，因x?y=2x=x不能成立，故無(wú)人能證B=U.

4.以上知識(shí)讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)2300多年都無(wú)人能識(shí)的直線段一下子認(rèn)識(shí)R外正數(shù)——存在沒(méi)合同關(guān)系的點(diǎn)

對(duì)R(包含一切已知正數(shù))各正數(shù)元x>0均有對(duì)應(yīng)數(shù)y=x+3、y=3x、等等，均有區(qū)間[0，x]等.人類自識(shí)正有理數(shù)和加法幾千年來(lái)一直認(rèn)定各已知正數(shù)x∈R的對(duì)應(yīng)x+3均是已知正數(shù)∈R，然而區(qū)間概念和常識(shí)s推翻此認(rèn)定.區(qū)間[0，x]∪[x，y=x+3]中的x>0由小到大遍取R一切正數(shù)x時(shí)[0，x]就長(zhǎng)到包含R一切正數(shù)x，極顯然：據(jù)區(qū)間概念在各[0，x](x>0遍取R一切正數(shù))之外還有正數(shù)y=y1=x1+3大于R一切正數(shù)x∈[0，x]；而y1的對(duì)應(yīng)數(shù)y1+3和3y1等等均>y1.同樣…，所以已知正數(shù)∈R全體僅是正數(shù)全體的滄海一粟.可見(jiàn)“R各元x均有對(duì)應(yīng)數(shù)x+3且R對(duì)加法封閉”中的R是自相矛盾的非集.

點(diǎn)集A：各點(diǎn)x沿x軸正(負(fù))向保距前(后)移變成點(diǎn)x+常數(shù)c≠x形成點(diǎn)集B就不可還=A了，因B各點(diǎn)x+c都在點(diǎn)x的前(后)面，從而使各x+c與各x不可一一對(duì)應(yīng)重合相等,各x只可與各x+c≠x中的x一一對(duì)應(yīng)相等而不可與各x+c本身一一對(duì)應(yīng)相等.初中生就須正確認(rèn)識(shí)：一次函數(shù)y=x/2的定義域即函數(shù)x=2y的值域；y=x-3的定義域即函數(shù)x=y+3的值域；…運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸可沿軸保距平移.說(shuō)R軸即x軸各元點(diǎn)x可沿軸保距前移變?yōu)辄c(diǎn)x+△x=x+3=y就是說(shuō)R軸可沿軸正向保距平移距離3變?yōu)樵獮辄c(diǎn)y=x+3的y=x+3軸≌x軸.其余類推.y=x+3軸=x軸嗎即定義域?yàn)閤軸的y=x+3的值域y=x+3軸=x軸嗎？據(jù)常識(shí)s說(shuō)y=x+3>x中x遍取R一切數(shù)就是說(shuō)y可遍比R一切數(shù)x都大而取R外數(shù)y；上述也已證有數(shù)y1>R一切數(shù)；x軸各元x只可與各x+3∈y=x+3軸中的x一一對(duì)應(yīng)相等而不可與各x+3本身一一對(duì)應(yīng)相等.不識(shí)這類用而不知的y1使中學(xué)一直搞錯(cuò)y=x+3的值域.在保距平移變換:x?x+常數(shù)△x中，顯然當(dāng)且僅當(dāng)△x=0時(shí)才可有x?x+△x=x;可見(jiàn)集合起碼常識(shí)d表明直線A沿本身保距平移非0距離后就≠A了，世人在初中階段就搞錯(cuò)了y的值域而將兩異直線誤為同一線.x軸沿本身保距平移距離|c|≠0變成X=x+c軸(≌x軸)=x軸嗎？在x?x+c中當(dāng)且僅當(dāng)c=0時(shí)才可有x?x+c=x;x軸的子部射線x≥0各點(diǎn)x≥0到該線起點(diǎn)x=0的距離是x≥0，而X=x+c軸的子部射線X=x+c≥0各點(diǎn)X≥0到該線起點(diǎn)X=0的距離是X=x+c≥0(c≠0)，據(jù)h定理2射線X≥0不≌射線x≥0從而更≠射線x≥0——由此知X軸≠x軸.

半直線是直線的一半.據(jù)第一節(jié)的h幾何常識(shí)x軸的半直線：射線x≥0不≌它的子部射線x≥3.顯然若射線x≥0與射線x≥3(各x∈R)均為x軸的半直線則其必等長(zhǎng)從而必有≌關(guān)系.射線x≥0各點(diǎn)x≥0到該線起點(diǎn)x=0的距離是x≥0，而射線x≥3各點(diǎn)x≥3到該線起點(diǎn)x=3的距離是x-3(x≥3)≥0，據(jù)h定理2兩射線不合同——反映兩線不等長(zhǎng)使射線x≥3并非x軸的半直線——說(shuō)明點(diǎn)x=3不可是x軸的中心，同樣…——說(shuō)明同樣是無(wú)窮長(zhǎng)的射線，此線的長(zhǎng)可>彼線的長(zhǎng).文[2]嚴(yán)格證明了R軸有最大元x=?，這更有力說(shuō)明點(diǎn)x≠0不可是x軸中心.x軸各點(diǎn)x到x軸的對(duì)稱中心x=0的距離是|x|，y=x+3軸(≌x軸)各點(diǎn)y到y(tǒng)=x+3軸的“中心”y=0的距離是|y=x+3|≠|(zhì)x|，據(jù)保距變換概念點(diǎn)y=0不是y=x+3軸的中心，點(diǎn)y=x+3=3(x=0)才是y軸中心；可見(jiàn)保距變換概念說(shuō)明“直線(點(diǎn)集)A上任一點(diǎn)x0都將A分成以x0為分界點(diǎn)的兩半部分，x0是A的對(duì)稱中心.”是對(duì)直線的重大錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

據(jù)“橡皮幾何”和仿射幾何，平面和直、射線等也有伸縮變換.射線x≥0可伸縮為射線kx(正常數(shù)k≠1)≥0.李惠玲等教授：“一維空間里的坐標(biāo)變換無(wú)非是平移和反射[4].”其實(shí)這是極片面認(rèn)識(shí)，因直線(段)還有一類非常重要的伸縮變換.例⊥x軸的y軸有向著x軸的正壓縮變換：變?yōu)閅=y/2軸.伸縮變換是仿射變換中的最簡(jiǎn)單變換.一維空間管道G內(nèi)R軸各元點(diǎn)x變?yōu)檫€在G內(nèi)的點(diǎn)x+△x=kx=y(正常數(shù)k≠1)生成元為點(diǎn)y=kx的y=kx軸(疊壓在R軸上)是伸縮變換，可將y軸記為kR軸(高等幾何一直認(rèn)定R軸伸縮變換成kR軸還=R軸)；伸縮變換是非保距變換，故kR軸不≌R軸；R軸各元點(diǎn)x到R軸的對(duì)稱中心x=0的距離是|x|，而kR軸各元點(diǎn)y=kx(△y=k△x)到kR軸的中心y=kx=0的距離是|kx|≠|(zhì)x|(k≠1)，據(jù)h定理2kR軸不≌R軸——推翻舉世公認(rèn)2300年的公理：凡直線必合同(“等長(zhǎng)的直線段必合同”的理論依據(jù)是此理).所以中學(xué)幾百年“定義域?yàn)镽的y=kx的值域=R”其實(shí)是被偽二重直線迷惑的肉眼直觀錯(cuò)覺(jué).將各異直線誤為同一線自然就會(huì)將各異直線段誤為同一線段.

直線段Z={x}=[0，2]?R軸的子部D=[0，1]?Z各元點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)y=x+△x=2x∈2R軸生成元為點(diǎn)y=2x(△y=2△x)的Z′(～D)={y=2x}=[0，2]?2R軸覆蓋在Z上.“Z′=Z”其實(shí)是被偽二重線段迷惑.理由：

①Z=[0，2]?R各點(diǎn)x到Z的中心x=1的距離ρ=|x-1|而Z′=[0，2]?2R各點(diǎn)y=2x到Z′的中心y=2x=1的距離ρ′=|2x-1|≠ρ;|△y|=|2△x|>|△x|.據(jù)h定理2或h定理1,Z′={y=2x}不≌Z(yǔ)={x}從而更≠Z——說(shuō)明中學(xué)幾百年解析幾何一直將用而不知的直線段Z′誤為Z.②Z′各元y=2x的對(duì)應(yīng)數(shù)x∈D?Z的全體組成的集是D?Z而非Z，類似第3節(jié)所述沒(méi)人能證Z′各元2x與Z各元x可一一對(duì)應(yīng)(配對(duì))，即Z′～D?Z而不可～Z——說(shuō)明Z′的元點(diǎn)少于Z的元點(diǎn).兩沒(méi)空隙的等長(zhǎng)線段Z與Z′分別包含不一樣多的點(diǎn)從一側(cè)面顯示2300年“點(diǎn)無(wú)大小”公理并非“不容置疑”，因長(zhǎng)度不變的直線段能包含多少個(gè)點(diǎn)是隨著點(diǎn)的變大(小)而變少(多)的.有人以“Z′=Z”為據(jù)斷定Z′～Z，然而以上一系列論據(jù)證明Z′≠Z.由Z與Z′分別包含不一樣多的點(diǎn)也知Z′不≌Z(yǔ).

用h定理1、2檢驗(yàn)知課本上類似這樣將兩不“等勢(shì)”從而不合同的線段Z′～D和Z?D誤為同一線段的幾百年錯(cuò)誤比比皆是——使康脫誤以為“直線段的部分點(diǎn)可與全部點(diǎn)一樣多”；詳論見(jiàn)[5].真正建立在此重大錯(cuò)誤之上的理論必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤，但限于篇幅本文無(wú)法詳談.顯然有偽二重線段相應(yīng)就有偽合同線段.元點(diǎn)間的距離由|△x|>0變大近千倍而變?yōu)閨△y|=1000|△x|，這一來(lái)元點(diǎn)之間還能“親密無(wú)間”嗎？極顯然：沒(méi)空隙的直線段D=[0，1]?R軸各元點(diǎn)x沿R軸平移變?yōu)辄c(diǎn)y=x+△x=1000x≌點(diǎn)x生成元為點(diǎn)y=1000x的線段K=[0，1000]?1000R軸；如[6]所述這類不改變?cè)c(diǎn)個(gè)數(shù)的增距變換使元點(diǎn)與元點(diǎn)之間拉開(kāi)了一段距離從而使其所占據(jù)的空間變長(zhǎng)了約千倍，這一來(lái)K就不能和D一樣沒(méi)空隙了即K的元點(diǎn)y之間不能有“親密無(wú)間”的關(guān)系了，除非各元點(diǎn)y都相應(yīng)膨脹變大從而使點(diǎn)y=1000x不≌點(diǎn)x∈D，否則就不合邏輯了.“直線段被拉長(zhǎng)了，但作為圖形的一部分的元點(diǎn)卻沒(méi)增加也沒(méi)被‘拉扯’大”——這顯然是不合科學(xué)常理的自相矛盾.所以2300年“點(diǎn)無(wú)大小”使幾何學(xué)自相矛盾.詳論見(jiàn)[2].

z=x+iy平面上的直線z=x+ikx(y=kx中的k是常數(shù))可伸縮成元是點(diǎn)cz的直線cz(正實(shí)常數(shù)c≠1是伸縮因子)疊壓在直線z上，直線z≠直線cz的理由：①伸縮變換是非保距變換即直線z不≌直線cz.②w=z與w=cz不是同一關(guān)于z的函數(shù)使其圖象不相等.③說(shuō)直線z與直線cz重合就是說(shuō)兩線的差別為0：cz-z=z(c-1)=0即說(shuō)z=0——與z是直線矛盾.所以xy面上直線i：ax+by=0伸縮成直線j：c(ax+by)=0是≠直線i的.例直線i：

x-y=0(x與y=x的變域均為R)…(1)

伸展成元是點(diǎn)(X=2x，Y=2y)的直線j：

2x-2y=0(X=2x與Y=2y的變域均為2R)…(2)

疊壓在直線i上但≠直線i.滿足方程(2)與(1)的點(diǎn)(x，y)的全體組成的集均是直線i，但滿足方程(2)的點(diǎn)(X=2x，Y=2y)的全體組成的集是直線j≠i.(2)中：x的變域是R而X=2x的變域是2R≠R，….——這使關(guān)于X=2x、Y=2y的方程(2)與關(guān)于x、y的方程(2)有根本區(qū)別，而不同的方程，其圖象也是不同的.同樣，方程(1)：2(x/2)-2(y/2)=0若是關(guān)于x/2=X(x的變域是R)、y/2=Y的方程則其圖象不是直線i(因Y=X=x/2的定義域是(1/2)R≠R)；…；若(1)中x與y的變域均為cR(正常數(shù)c≠1)則其圖象不是直線i；….注：對(duì)于常數(shù)項(xiàng)≠0的直線方程可選擇適當(dāng)?shù)男伦鴺?biāo)原點(diǎn)使常數(shù)項(xiàng)=0.(x/3)2+(y/2)2=1的圖象是什么？若其是關(guān)于x、y的方程則圖象是橢圓，若是關(guān)于x/3=X、y/2=Y的方程則圖象是單位圓——反映不同的方程(不同的函數(shù)關(guān)系)有不同的函數(shù)關(guān)系圖象.搞錯(cuò)自變量就會(huì)搞錯(cuò)函數(shù)關(guān)系從而畫(huà)錯(cuò)函數(shù)關(guān)系圖.可見(jiàn)中學(xué)幾百年解析幾何和幾百年一次函數(shù)理論對(duì)直線的認(rèn)識(shí)一直存在極重大缺陷和錯(cuò)誤.

不明上述真相就有：凡直線必合同；從而有2300多年“幾何起碼常識(shí)”：有一交點(diǎn)的兩直線中一線繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)使兩線夾角=0，兩線就重合了.

x軸伸縮變換為y=kx軸(正常數(shù)k≠1)，有等長(zhǎng)線段：A=[0，b]?x軸和A′=[0，b]?y=kx軸，A各點(diǎn)x到A的中心x=b/2的距離ρ=|x-b/2|而A′各點(diǎn)y=kx(△y=k△x)到A′的中心y=b/2的距離ρ′=|kx-b/2|≠ρ；|△y|=|k△x|≠|(zhì)△x|.據(jù)h定理2或h定理1A不≌A′.

y=kx軸中的k≠1可取無(wú)窮多正數(shù)說(shuō)明有無(wú)窮多長(zhǎng)度均=b的直線段互不合同.可見(jiàn)2300多年“等長(zhǎng)的直線段必合同”其實(shí)是被偽合同線段迷惑的肉眼直觀錯(cuò)覺(jué).線段D=[0，1]?x軸各點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)X=x+△x=xk(正常數(shù)k≠1)≥0組成元為點(diǎn)X=xk(0≤xk≤1)的D′覆蓋在D上(非保距變換)；中學(xué)幾百年函數(shù)“常識(shí)”：“D′=D”其實(shí)是被偽二重集迷惑.理由：D不≌D′；X=xk是y=±x+c以外的函數(shù)，據(jù)h定理1X的定義域D≠值域D′——說(shuō)明D′是用而不知的點(diǎn)集！

R軸可伸縮變換成kR軸使R2平面可伸縮成(kR)2平面；….z=x+iy平面可伸展成2z平面疊壓z面上(非保距變換).z面有圓盤(pán)A?z面：|z|≤1，2z面也有圓盤(pán)B?2z面：|2z|≤1，數(shù)學(xué)一直認(rèn)定A=B≌B.其實(shí)這是肉眼直觀錯(cuò)覺(jué).A?z面各點(diǎn)z到A的圓心z=0的距離是|z|≤1，而B(niǎo)?2z面各點(diǎn)2z到B的圓心2z=0的距離是|2z|≤1，據(jù)h定理2A不≌B.

同理可證空間中有無(wú)窮多大小相同的圓球體(橢球體)不合同.例設(shè)正常數(shù)k≠1，有半徑均=1的圓球體A：x2+y2+z2≤1和B:X2+Y2+Z2≤1，其中X=kx、Y=ky、Z=kz，相應(yīng)有X=kx軸、Y=ky軸、Z=kz軸以及相應(yīng)空間(kR)3；A各點(diǎn)(x,y,z)到A的球心x=y=z=0的距離是(x2+y2+z2)1/2≤1,而B(niǎo)各點(diǎn)(X，Y，Z)到B的球心的距離是((kx)2+(ky)2+(kz)2)1/2≤1，據(jù)h定理2,A不≌B，兩者是偽合同球體；相應(yīng)有偽合同球面.對(duì)球體的認(rèn)識(shí)存在重大缺陷與錯(cuò)誤自然就使人推出“分球怪論”等怪論.

據(jù)h定理2可證在二維和三維空間中分別都有無(wú)窮多形狀、大小相同的各種各類的圖形均不合同.

希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》有平行公理：平面A上：有直線a及a外一點(diǎn)D，過(guò)D有且只有一條直線b∥a.其實(shí)直線b沿本身保距平移或伸縮成直線c還∥a但c≠b——說(shuō)明有無(wú)窮多各異直線均過(guò)點(diǎn)D且∥a，但其均≠b.這說(shuō)明c不是A的子集，盡管c在A上.詳論見(jiàn)[7].

5.人的思想須與實(shí)際相符——“點(diǎn)無(wú)大小”使幾何學(xué)一直不能自圓其說(shuō)——試提出符合實(shí)際的“點(diǎn)”概念

“元點(diǎn)是組成直線A的部分”，顯然若A各部分都=0則A的長(zhǎng)就只能=0.人的思想須與實(shí)際相符.與實(shí)際相符的理論才能用于指導(dǎo)科學(xué)實(shí)踐.以上表明人類2300多年一直將偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形，堅(jiān)持2300年的“點(diǎn)無(wú)大小”就無(wú)法糾正此重大錯(cuò)誤從而化解數(shù)學(xué)危機(jī).否定客觀存在的“更無(wú)理”的數(shù)和圖形猶如醫(yī)學(xué)否定前所未見(jiàn)的非典病毒，是致命錯(cuò)誤.錢學(xué)森非常重視逆向思維，“點(diǎn)無(wú)大小”的逆向思維是：點(diǎn)有大小.文[2]證明R軸可由大小都一樣的“分子”點(diǎn)：長(zhǎng)為⊕(⊕是無(wú)窮小正數(shù)，⊕/2是R外正數(shù)，…)的正方形點(diǎn)：⊙(放大到肉眼可見(jiàn)的圖象)組成，各點(diǎn)如原子有原子核那樣有中心，這中心稱為點(diǎn)的核心(設(shè)是圓形)，其直徑D是比⊕>>>D高級(jí)的無(wú)窮小正數(shù)；規(guī)定：兩點(diǎn)間的距離是它們的核心的連線的長(zhǎng)，閉直線段的長(zhǎng)度是兩端點(diǎn)間的距離.若無(wú)有刻度線的量尺就不能量出線段的長(zhǎng)，須有度量?jī)稍c(diǎn)間距離的思維量尺，其刻度線的寬度=點(diǎn)的核心的直徑D，在此量尺下量出：D=0，兩相鄰元點(diǎn)間的距離是點(diǎn)的長(zhǎng)度.同樣在相應(yīng)思維量尺下量出元點(diǎn)的長(zhǎng)度=0即點(diǎn)的長(zhǎng)只是相對(duì)的0而非絕對(duì)的0.R軸可伸縮為kR軸(正常數(shù)k≠1)(可由長(zhǎng)、寬都是k⊕的正方形點(diǎn)組成).

R軸可是一元點(diǎn)□· 作相應(yīng)直線運(yùn)動(dòng)劃出的寬為⊕的無(wú)窮長(zhǎng)長(zhǎng)方形.有大小和核心的質(zhì)點(diǎn)p(可與□· 的形狀、大小相同也可不同)從R軸的位置x=0處出發(fā)沿R軸“軌道”正向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與出發(fā)處相距1+⊕/2時(shí)其位置坐標(biāo)x=1+⊕/2是R外正數(shù)，…；這說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)p很多時(shí)候所處位置都不可用R內(nèi)數(shù)表示，但這又有什么關(guān)系呢？其運(yùn)動(dòng)劃出的直線段完全可不是R軸的子集.上文說(shuō)明R2面的R軸伸縮成kR軸不能還是R2面的子集了，雖其還在R2面上；…文[2]證明點(diǎn)集與數(shù)集有根本區(qū)別，數(shù)形結(jié)合須躍出根本誤區(qū).用積分法來(lái)求直線段A=[2，3]?R軸的長(zhǎng)需將其看成由無(wú)窮多部分組成，各部分的長(zhǎng)|dx|不必限制一定∈R而完全可是比⊕小的正數(shù)即各部分可比R軸的元點(diǎn)還短小從而不是R軸的子集；同樣求定義域?yàn)锳的曲線段y=y(x)的長(zhǎng)時(shí)須將曲線段看成由無(wú)窮多子部組成，不必限制各子部均；….其余類推.射影幾何有點(diǎn)列定義：“動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上平移所產(chǎn)生的圖形稱為點(diǎn)列.那條直線稱為點(diǎn)列的底[8].”顯然這動(dòng)點(diǎn)沿點(diǎn)列的底連續(xù)平移所產(chǎn)生的圖形(點(diǎn)列)是直線段F，F(xiàn)可以不是其底的子部.在R2平面內(nèi)放置一對(duì)相交的坐標(biāo)軸就能表示平面各元點(diǎn)的位置，但坐標(biāo)軸無(wú)須一定是平面的子集.

物理學(xué)要知自由落體z在各時(shí)刻的速度就須研究z的非0位移，而這位移的長(zhǎng)ρ須可<“任意給定”的正數(shù)ε，當(dāng)ε=普朗克長(zhǎng)度數(shù)P時(shí)非0的ρ<ε就是

設(shè)數(shù)學(xué)內(nèi)的所有正數(shù)組成S+，上文說(shuō)明若S+各元x均有對(duì)應(yīng)正數(shù)kx(k是非1正數(shù))、x2等等，則并非所有kx都還在S+內(nèi).其實(shí)不必害怕使用S+外正數(shù)進(jìn)行推理，借用S+外正數(shù)同樣能得正確結(jié)論，可將S+內(nèi)正數(shù)稱為目標(biāo)正數(shù)，將S+外正數(shù)稱為輔助正數(shù)；借助輔助數(shù)可求出目標(biāo)數(shù)，這好比借助房子以外的腳手架可造出房子一樣.但限于篇幅本文無(wú)法詳談.

6.結(jié)語(yǔ)

不明上述真相的老師們一直都在以訛傳訛誤人子弟從而使受教育者打歪成才的基礎(chǔ)(“基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖”)，是否及時(shí)糾正與每一人的切身利益息息相關(guān).h定理讓億萬(wàn)中、大學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)5千多年都無(wú)人能識(shí)的自然數(shù)，一下子認(rèn)識(shí)2300多年都無(wú)人能識(shí)的無(wú)窮多各種各類的偽合同、偽重合圖形；不識(shí)這類比虛數(shù)更“虛”的自然數(shù)和圖形使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態(tài)理論.破除迷信、解放思想、實(shí)事求是才能創(chuàng)造幾千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學(xué)發(fā)生革命飛躍：一下子躍進(jìn)到認(rèn)識(shí)“更無(wú)理”的數(shù)和圖形的時(shí)代.備注：已對(duì)本文采取法律公證等法律保護(hù)措施.

[1]黃小寧.數(shù)列、集合、邏輯學(xué)起碼常識(shí)暴露課本一系列重大錯(cuò)誤——數(shù)列起碼常識(shí)否定5千年“常識(shí)”：無(wú)最大自然數(shù)[J]，科技視界，2015(32)：5.

[2]黃小寧.著名數(shù)學(xué)家朱梧槚的發(fā)現(xiàn)揭示課本有一系列重大錯(cuò)誤——發(fā)現(xiàn)最小、大正數(shù)推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題[J]，科技視界，2014(10)：70.

[3]黃小寧.兩集相等概念推翻百年集論和幾百年函數(shù)“常識(shí)”——課本重大錯(cuò)誤：定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015(3):117.

[4]李惠玲等.集合與面積[M]，南寧：廣西教育出版社，1999：79.

[5]黃小寧.不等式、集合、幾何起碼常識(shí)凸顯課本一系列重大錯(cuò)誤——讓2300年都無(wú)人能識(shí)的直線段一下子暴露出來(lái)[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016(5):151.

[6]黃小寧.“時(shí)空量子化”的關(guān)鍵：糾正數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤——證明實(shí)數(shù)軸有最小、大正數(shù)點(diǎn)推翻百年集論[J]，科技信息，2011(17)：38.

[7]黃小寧.幾何、集合起碼常識(shí)暴露中學(xué)數(shù)學(xué)一系列重大錯(cuò)誤——幾何起碼常識(shí)讓5千年都無(wú)人能識(shí)的自然數(shù)一下子暴露出來(lái)[J]，科技視界，2016(3)：92.

[8]孫澤瀛.近世幾何學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1959：55.

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