黃小寧●
廣東省廣州市天河區(qū)(510631)
?
憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課本一系列重大錯(cuò)誤
——讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí)2300年都無(wú)人能識(shí)的直線段
黃小寧●
廣東省廣州市天河區(qū)(510631)
區(qū)間[0,x]∪(x,x+1]的子區(qū)間[0,x]之外還有正數(shù);…;…;…這一系列中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)使中學(xué)生也能一下子認(rèn)識(shí):①5千年都無(wú)人能識(shí)的自然數(shù);②幾千年都無(wú)人能識(shí)的R外正數(shù);③2300年都無(wú)人能識(shí)的等長(zhǎng)卻不“等勢(shì)”從而不合同的直線段(光滑曲線可看成由直線段組成)——推翻2300多年“幾何起碼常識(shí)”:形狀、大小相同的圖形必合同.不識(shí)這類“更無(wú)理”的數(shù)和直線段使2300多年初等幾何和中學(xué)幾百年解析幾何一直將各異直線段誤為同一線段,從而使康脫推出病態(tài)的“直線段部分點(diǎn)可與全部點(diǎn)一樣多”.兩沒(méi)空隙的等長(zhǎng)直線段分別包含不一樣多的點(diǎn)從一側(cè)面顯示2300年“點(diǎn)無(wú)大小”公理并非“不容置疑”,因長(zhǎng)度不變且沒(méi)空隙的直線段能包含多少個(gè)點(diǎn)是與點(diǎn)的長(zhǎng)有關(guān)的.保距變換概念揭示同樣是無(wú)窮長(zhǎng)的射線,此線的長(zhǎng)可大于彼線的長(zhǎng).
N外標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù);貌似重合的偽二重直線(段)(只有重疊關(guān)系而無(wú)重合關(guān)系);推翻平行公理;推翻百年自然數(shù)公理和百年“R完備、封閉”論;區(qū)間族;合同圖形以及合同點(diǎn);伸縮變換
人類認(rèn)識(shí)自然數(shù)已有5千多年,認(rèn)識(shí)直線(段)已有2300多年,中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)間[0,2]等等均是無(wú)窮集.“科學(xué)”共識(shí):數(shù)學(xué),尤其是關(guān)于自然數(shù)和最簡(jiǎn)單、基本的圖形:直線段方面的中學(xué)知識(shí)絕不可能有重大錯(cuò)誤更不可能有一系列….“反科學(xué)”的神話般發(fā)現(xiàn)來(lái)自于太淺顯的:①幾何起碼常識(shí)c:相等的圖形必合同.②集合起碼常識(shí)d:所謂數(shù)集A=B是說(shuō)A的元與B的元可一一對(duì)應(yīng)相等即有x?y=x(表A各元x均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)y∈B且B各元y均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)x∈A),故A=B的必要條件是有x?y即A、B分別包含一樣多個(gè)元.③區(qū)間概念.④下述不等式起碼常識(shí)s.
質(zhì)點(diǎn)x移動(dòng)到新位置成點(diǎn)x′還是移動(dòng)前的點(diǎn)即移動(dòng)前后的點(diǎn)只有位置差別而無(wú)別的差別.圖形A各點(diǎn)保距偏離原位生成的B≌A.A≌B≠A是說(shuō)A與B只有錯(cuò)位的差別而無(wú)別的差別.用各不同材料(金、鐵、銅、鋁、…)制成許多形狀、大小相同的實(shí)心球,用木、紙、塑料、面粉、煤粉、…做成的球,…;各球并非只有位置差別而無(wú)別的差別.同樣,本文發(fā)現(xiàn)有無(wú)窮多沒(méi)空隙的等長(zhǎng)直線段(構(gòu)造直線段的材料是“點(diǎn)”)彼此均無(wú)合同關(guān)系——從一側(cè)面顯示其分別由各不同的材料點(diǎn)組成——說(shuō)明同樣是“點(diǎn)”,此線段A的元點(diǎn)與彼線段B(與A等長(zhǎng)且不≌A)的元點(diǎn)并非只有位置差別那么簡(jiǎn)單;人類由認(rèn)識(shí)直線段到發(fā)現(xiàn)這類用而不知的直線段竟須歷時(shí)2300多年!但若擔(dān)心廣大高中生(應(yīng)熟悉非常簡(jiǎn)單易懂的保距變換概念)看此科普文后還不能認(rèn)識(shí)這類直線段那就是污蔑其是弱智群體了.當(dāng)然錯(cuò)誤的應(yīng)試教育會(huì)將正常人育成….關(guān)鍵是要求真務(wù)實(shí)而不要“求分務(wù)(文)憑”.
1.憑中學(xué)數(shù)學(xué)常識(shí)發(fā)現(xiàn):①5千年都無(wú)人能識(shí)的自然數(shù);②中學(xué)幾百年重大錯(cuò)誤:搞錯(cuò)y=n+1的值域而將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列
關(guān)鍵不在學(xué)習(xí)了前人多少知識(shí)而在能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)見(jiàn)前人所未能見(jiàn)從而創(chuàng)造出前所未有的知識(shí).與x相異或相等的數(shù)均可表為y=x+△x(△x可=0也可≠0).設(shè)本文所說(shuō)變數(shù)都可形象化為沿一維空間“管道”G運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)(可固定一下),n個(gè)變數(shù)可形象化為同在G內(nèi)的n個(gè)動(dòng)點(diǎn).G內(nèi)x軸各點(diǎn)變換為還在G內(nèi)的點(diǎn)x+△x=y形成元為點(diǎn)y的點(diǎn)集還在G內(nèi).
只有兩個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集{點(diǎn)a,點(diǎn)b},設(shè)想a、b是閉直線段B的兩端點(diǎn),這兩點(diǎn)繞B中任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)是保距運(yùn)動(dòng).至少有兩元的點(diǎn)(數(shù))集A保距變?yōu)辄c(diǎn)(數(shù))集B就稱A≌B——表示A與B可通過(guò)保距變換而重合.
設(shè)A={x}表A各元均由x代表,變數(shù)x的變域是A;A任兩異元x與x+△x之間的距離是變量|△x|>0.a∈x軸變號(hào)為-a的幾何意義是點(diǎn)a繞點(diǎn)x=0旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)辄c(diǎn)-a∈x軸.直線段A={x}=[-1,3]?x軸繞點(diǎn)x=0旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)榫€段B={-x}=[-3,1]?x軸,B沿x軸正向保距前移距離2變成C={y}(y=x+△x=-x+2)=[-1,3](?x軸)=A,這A通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變?yōu)镃=A是保距變換:x?y=-x+2.因相等的圖形(點(diǎn)集)必合同,故有
h定理1 至少有兩元的點(diǎn)(數(shù))集A={x}=B={y}的必要條件是A≌B,這等價(jià)于|△x|=|△y|即△y=±△x,以及y=y(x)=±x+c——表明y=±x+c以外的一切y=y(x)的定義域必≠值域.
證1A=B≌B時(shí)A與B的元x與y必可有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:x?y=y(x),在此關(guān)系下y+△y中的△y=y(x+△x)-y(x),A=B≌B說(shuō)明A各元x變?yōu)閥(x)(x?y(x))組成B={y(x)}=A不一定是沒(méi)變換的恒等變換但一定是保距變換;由A≌B的定義,|△x|=|x+△x-x|=|y(x+△x)-y(x)|=|△y|;而當(dāng)且僅當(dāng)y=y(x)=±x+c時(shí)才有△y=y(x+△x)-y(x)=±(x+△x)+c-(±x+c)=±△x.
證2A={1,2,3}各元x=1,2,3.x=1時(shí)異于x=1的元x+△x=1+△x可=2與3,△x可=1與2;x=2時(shí)與其相異的x+△x=2+△x可=1與3∈A,△x可=-1與1;x=3時(shí)x+△x=3+△x可=1與2∈A,△x可=-2與-1.所以△x的變域是{3,±2,±1},|△x|的變域是{1,2,3}.至少有兩元的B={y}任兩異元y與y+△y間的距離是|△y|,顯然若A=B則|△y|必=|△x|;同樣,A可是別的至少有兩元的點(diǎn)集,…….證畢.
若A≌B則A與B可通過(guò)保距變換而重合,A的任何一部分C(至少有2元)?A都不可通過(guò)保距變換而與A重合(注:直線段的一部分線段可彈性伸長(zhǎng),但這不是保距變換.).據(jù)此應(yīng)有
h幾何常識(shí):至少有4元的點(diǎn)集A的任何一部分C(至少有兩元)?A都不可≌A.
A={1,2,3,4}各元x有相應(yīng)的△x,B={1,2}各元x也有相應(yīng)△x;這兩△x是不同的變量,因此△x中x的變域是A而彼△x中x的變域是B?A.
R所有正數(shù)x組成A,定義域?yàn)锳的y=1/x>0、y=x2>0和y=1/x2等等的值域B=A嗎?因各y(x)都是y=±x+c以外的函數(shù),故據(jù)h定理1各y的值域均≠A,這里的A各元x>0變?yōu)閥=y(x)組成元為y的B不≌A均不是保距變換;同理,定義域?yàn)镽+=A∪{0}的y=x2≥0的值域≠R+,….本文表明本文作者以往論文中的相應(yīng)結(jié)論是正確的,但論據(jù)中的“A={x}=B={y}的必要條件是y=±x+0”應(yīng)改為:A=B的必要條件是y=±x+c;相應(yīng)“|y|=|x|”應(yīng)改為:A任兩異元間的距離|△x|=B任兩異元間的距離|△y|>0.
定義:若點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合或雖不重合但只有位置差別而無(wú)別的差別,就稱P合同于P′記為P≌P′.相互合同的點(diǎn)可通過(guò)移動(dòng)而重合,不合同的點(diǎn)不可重合而只可重疊.
將直線段A的一端點(diǎn)涂成紅點(diǎn),保距運(yùn)動(dòng)將A的紅點(diǎn)(或中點(diǎn))變?yōu)樾戮€段B≌A的紅端點(diǎn)(或中點(diǎn)),…;將相片(像素點(diǎn)的集合)中人的左眼變?yōu)樾孪嗥腥说淖笱郏粚⒆鴺?biāo)系j變?yōu)樾伦鴺?biāo)系j′≌j.復(fù)平面z=x+iy的x軸z1=x+i0各點(diǎn)z1=x到x軸的對(duì)稱中心點(diǎn)z1=x=0的距離|z1|=|x|(x的變域是x軸)不隨直線z1=x的保距變換而變換,例直線z1=x繞點(diǎn)z1=0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角成直線z2=x(cosθ+isinθ)=xcosθ+ixsinθ=X+iY≌x軸,此線z2各點(diǎn)z2=xcosθ+ixsinθ到此線的中心z2=0的距離|z2|還=|x|.同樣……
證1 坐在汽車?yán)锔魅藊與司機(jī)(或車內(nèi)任一位置)的距離ρ(x)分別是ρ(x1)=a,ρ(x2)=b,ρ(x3)=c,…,所有ρ組成M={a,b,c,…},ρ(x)是變域?yàn)镸的距離函數(shù);因各人x相對(duì)于車是不動(dòng)而沒(méi)相對(duì)位移的,故ρ(x)不可隨車的勻速直線運(yùn)動(dòng)而變?yōu)閯e的變量;若急剎車ρ就可變?yōu)棣选洹佴?同樣A變?yōu)锽≌A只是A作改變空間位置的剛體運(yùn)動(dòng),各元點(diǎn)相對(duì)于圖形是沒(méi)相對(duì)位移的,這就使ρ與ρ′必是同一距離變量.
證2:設(shè)A={x}≌B={y(x)},A各元點(diǎn)x到A任一點(diǎn)x0的距離ρ=|x-x0|,B各元點(diǎn)y(x)到點(diǎn)y0(x0)∈B的距離ρ′=|y(x)-y0(x0)|,由A≌B的定義ρ′=ρ;同樣,A與B可是n≥2維空間圖形,…….證畢.
人類5千年來(lái)一直認(rèn)定各已知自然數(shù)n∈N與1(或2,3,...)的和n+1(或n+2,n+3,...)均是已知自然數(shù)∈N.一切已知自然數(shù)n組成N?R各元n均有后繼標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)n+1.挖去R軸一點(diǎn)x就空出一位置“洞”x說(shuō)明R軸由點(diǎn)與容納點(diǎn)的位置洞兩部分組成.將x軸的射線x≥0(各x∈R)中的非自然數(shù)點(diǎn)x都挖去就得有許多空位漏洞的有洞射線n≥0(n的變域是N),設(shè)想在各空位內(nèi)灌入粘結(jié)劑從而將各點(diǎn)連接起來(lái).有洞射線(點(diǎn)集)N={n}各點(diǎn)n≥0沿N正向保距平移距離1成為點(diǎn)n的后繼點(diǎn)y=n+1>n生成由一切后繼點(diǎn)y組成的有洞射線(點(diǎn)集)H={1,2,…,n+1,…}(n≥0的變域是N)≌N,即H是射線y=n+1≥1.挖去有洞射線N的起點(diǎn)n=0就得N的子部射線N+={1,2,…,n+1,…}?N.保距變換將射線的起點(diǎn)變?yōu)樾律渚€的起點(diǎn).射線N+各點(diǎn)n≥1到該線的起點(diǎn)n=1的距離是n-1≥0(n≥1的變域是N+)而射線H各點(diǎn)n+1≥1到該線起點(diǎn)n+1=1的距離是n+1-1=n≥0(n的變域是N),據(jù)h定理2,N+不≌H從而更≠H.因N+各n≥1都是其左鄰n-1∈N的后繼n∈后繼集H,故H包含N+,包含N+的H≠N+說(shuō)明H中必至少有一N+外自然數(shù)n+1(>n)=t>N+一切自然數(shù)n.對(duì)N任何(一切)元n均有區(qū)間[0,n],….變域?yàn)镹的n被限制只能代表區(qū)間Q=[0,n]∪(n,n+1]∪(n+1,n+2]∪…∪…的各子區(qū)間[0,n](n的變域?yàn)镹)內(nèi)的自然數(shù),當(dāng)n由小到大遍取N一切數(shù)n時(shí)[0,n]的長(zhǎng)度n-0=n由0→∞而變至能長(zhǎng)到包含N一切數(shù)n;據(jù)區(qū)間概念在各[0,n](n的變域?yàn)镹)之外還有用而不知的自然數(shù)n+1=t>n以及t+1>t等等>N一切數(shù)n∈[0,n],因Q中區(qū)間族{[0,n]|n的變域?yàn)镹}遠(yuǎn)不可包含一切標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù).詳論見(jiàn)[1].人類由認(rèn)識(shí)自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)t竟須歷時(shí)5千多年!但若擔(dān)心熟悉區(qū)間概念和幾何常識(shí)c的億萬(wàn)學(xué)生看此文后還不能立刻認(rèn)識(shí)這“特異”的t那就是污蔑其是弱智群體了.誤以為“N對(duì)加法封閉”使自有函數(shù)概念幾百年來(lái)數(shù)學(xué)一直認(rèn)定N+=H從而使康脫推出病態(tài)的:N~N+?N.
2.人類由發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)到發(fā)現(xiàn)“更無(wú)理”數(shù)竟須歷時(shí)2500年
R各數(shù)x均有對(duì)應(yīng)數(shù)x/2.不等式起碼常識(shí)s:說(shuō)0