廣東廣雅中學(xué)(510160) 梁輝

高三復(fù)習(xí)課實施變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的案例分析

廣東廣雅中學(xué)(510160) 梁輝

一、利用變式教學(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力的意義

當前的數(shù)學(xué)課堂,教師的主導(dǎo)地位依然強勢,課堂上教師講得多、灌得多,往往忽視了學(xué)生個體在學(xué)習(xí)過程中的重要性許多高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中缺乏反思的機會或反思的過程,未能實現(xiàn)自主探索、獨立思考、自己解決問題.因?qū)W生缺乏獨立思考和創(chuàng)新能力.新課程改革和新課程標準的制定,核心理念是教師應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí),學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當明確自己學(xué)習(xí)的目標和任務(wù),了解應(yīng)當怎樣獨立學(xué)習(xí)?教師在教學(xué)中不僅僅要思考教學(xué)方法,更要研究引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和途徑,使學(xué)生學(xué)會反思學(xué)習(xí).反思學(xué)習(xí)不僅僅是回顧過去已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識點,同時也是為了提高自身,為未來的深度學(xué)習(xí)做好準備,所謂“溫故而知新”就是這個道理.高中教師應(yīng)該認識到數(shù)學(xué)反思能力的培養(yǎng)不僅僅是讓學(xué)生好好學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)效率,更是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng),全面提升綜合能力.

顧泠沅對變式教學(xué)進行了系統(tǒng)而深入的實驗研究與理論分析.提出變式教學(xué)能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,促進學(xué)生的全面發(fā)展,同時在數(shù)學(xué)變式教學(xué)過程中學(xué)生的反思能力獲得提高.

此外,美國心理學(xué)家奧蘇貝爾(Ausubel)認為,有意義學(xué)習(xí)的本質(zhì)要素是新知識與學(xué)習(xí)者原有知識建立合理和本質(zhì)聯(lián)系.這種合理和本質(zhì)聯(lián)系指的就是新知識和學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中的某些特殊相關(guān)的方面相關(guān)聯(lián).對于高三的學(xué)生來說,已經(jīng)初步掌握了基本內(nèi)容,即原有知識已初步了解,在教授新的內(nèi)容和方法時,如何提高和鞏固原有知識與新知識之間的聯(lián)系,使新知識更易于被學(xué)生內(nèi)化?高三的學(xué)生不僅僅依靠課堂,課后的總結(jié)反思更為重要,教師需要提供數(shù)學(xué)反思的方法,潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思的習(xí)慣,學(xué)生的反思習(xí)慣養(yǎng)成了,反思能力也就提高了.

二、變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的案例分析

高三復(fù)習(xí)課中解三角形中的最值問題是高考重點內(nèi)容之一,它不僅與解三角形常見基礎(chǔ)知識密切相關(guān),而且與代數(shù)及幾何中的一些性質(zhì)密切聯(lián)系,這類問題綜合性較強,解法靈活,對能力要求較高,下面我們以此內(nèi)容為案例,來闡述如何以變式教學(xué)來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力.

1.多角度分析問題,形成問題的變式

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力,就是要培養(yǎng)學(xué)生多角度看問題、解決問題的能力.我們可以通過對問題的多維分析,與學(xué)生一起探究出圍繞相關(guān)問題的變式.

例如: 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=2,C=60°.

(2)若a+b=ab,求△ABC的面積S△ABC.

思考:如果(2)邊的關(guān)系不確定,問題可以如何設(shè)置?變式1:已知c=2,C=60°,求△ABC面積的最大值.

變式2:已知c=2,C=60°,求△ABC周長l的最大值.

變式3:已知a+b=4,C=60°,求△ABC周長的最小值.

2.多角度解決問題,呈現(xiàn)一題多解

一題多解,就是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路,用不同的方法和不同的運算過程去分析、解答同一數(shù)學(xué)問題的練習(xí)活動,從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)反思的能力.一題多解不僅能充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性,提高綜合運用知識解答數(shù)學(xué)問題的能力,還可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性,促進學(xué)生長知識、長智慧、開闊思路,引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識的脈絡(luò),激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力.下面以上面問題的變式解法為例談一題多解.

變式1:已知c=2,C=60°,則△ABC面積的最大值為.

思路1是從余弦定理入手,再利用均值不等式求最大值:

思路2是正弦定理入手,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值:

思路3:從幾何意義上(動點軌跡)入手.

變式2:已知c=2,C=60°,求△ABC周長l的最大值.

思路1仍然是從余弦定理入手,再利用均值不等式求最大值:

思路2仍然是從正弦定理入手,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最大值:

思路3是先猜想當a=b時周長l最大再證明.

變式3和變式4的思路可以類比變式1、2的思路1和思路2.

3.實施變式教學(xué),揭示問題本質(zhì)

關(guān)于三角形的最值問題,可以思考的角度很多,解決問題的方法也多種多樣,我們可以總結(jié)反思這些變式的通性通法、最優(yōu)解法等,提升學(xué)生的觀察、辨析、反思的能力.

由變式1和變式2我們可以得到三角形中一類典型的問題:

已知△ABC的一邊及其對角,求另兩邊之積或者和的最大值.

解法歸納:

方法1:先余弦定理,再均值不等式:

方法2:利用正弦定理轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù):

方法3:借助外接圓(動點軌跡的幾何意義).

其中方法1運算簡便,方法2運算繁瑣,方法3做小題非常簡便.

由變式3和變式4我們可以得三角形中另一類典型問題:

已知△ABC的一角及其夾邊的和或積,求已知角的對邊長的最小值.

解法歸納:

方法1:先余弦定理,再均值不等式或轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù):

方法2:利用正弦定理轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù).

其中方法1運算明顯比方法2簡便.

綜上,求解三角形最值問題,可以從兩個定理入手,結(jié)合均值不等式、合一變換、三角形面積公式、參數(shù)方程等,將最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域或者均值不等式取等號.此外還可以從幾何意義考慮,例如動點的軌跡,有時可以起到四兩撥千斤的效果.

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力,就是要培養(yǎng)學(xué)生化繁為簡、揭示本質(zhì)規(guī)律的能力.教師在課堂應(yīng)和學(xué)生一起總結(jié)變式共性的東西,找出解決問題的最優(yōu)方法,養(yǎng)成總結(jié)反思的習(xí)慣.我們要從眾多的角度中總結(jié)出一般性的規(guī)律,即共性的東西,所謂“多題一法”就是這個道理,同時也要廣開思路,多角度解決同一問題,即所謂的“一題多法”.

4.變式問題被廣泛應(yīng)用

研究近幾年相關(guān)的高考題,發(fā)現(xiàn)大量問題相關(guān)度高.與本節(jié)課三角形中的最值問題相關(guān)聯(lián)的高考真題,確實很多,筆者做了一些整理:

【2011全國課標卷理16】在△ABC中,B=60°,則AB+2BC的最大值為____.

【2013全國課標卷II理17】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(I)求B:

(II)若b=2,求△ABC面積的最大值.

【2013年江西卷理16】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(1)求角B的大小:

(2)若a+c=1,求b的取值范圍.

【2014全國課標卷I理16】已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為____.

【2014·陜西卷】△ABC內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c.

(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C):

(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.

【2015高考山東理 16】設(shè)f(x)= sinxcosx-

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間:

由此可見,實施變式教學(xué)意義重大.在課堂上教師應(yīng)留時間給學(xué)生反思,并鼓勵學(xué)生在課后提出更多的變式,課后反思是非常關(guān)鍵的,這對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力非常重要,教師應(yīng)鼓勵學(xué)生課后多思考和嘗試,在反思的方向上,教師可以從以下八個方面給予學(xué)生指導(dǎo):一是反思解題過程中思維的關(guān)鍵點和切入點,促使思維精確化、概括化:二是反思解題過程中所用的知識點、數(shù)學(xué)思想方法,進一步理解知識的應(yīng)用和熏陶數(shù)學(xué)思想方法:三是反思解題過程中所用的數(shù)學(xué)技能和技巧,強化學(xué)生的基本技能:四是反思解題的探究過程,著重反思“為什么這樣想”及“思維瓶頸如何突破”,使學(xué)生的解題思維進入理性階段:五是反思解題方法,從而掌握一個類型問題的解題規(guī)律:六是反思問題的本質(zhì),在知識聯(lián)系中使問題逐漸深化:七是反思解題過程中的易錯點,更加深刻地理解知識,破解思維定勢:八是反思問題的變式拓展延伸,培養(yǎng)學(xué)生的變式拓展意識與探究能力.

三、實施變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的思考

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力就是要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.當學(xué)生將所學(xué)新知識內(nèi)化為已有的知識后,特別是學(xué)生經(jīng)歷過變式教學(xué),逐步養(yǎng)成反思舊知識,引發(fā)學(xué)生深入地思考,建構(gòu)主義(Radical constructivism)認為,知識是不可能由老師傳送給學(xué)生的,只可能是學(xué)習(xí)者通過自己的親身體驗來構(gòu)建.社會建構(gòu)主義(Social-constructivism)也認為,學(xué)習(xí)是學(xué)生在老師的幫助下,在最近發(fā)展區(qū)(Zone of proximal development,簡稱ZPD)內(nèi),通過親身體驗和與同伴的交流來獲取的.這兩種學(xué)習(xí)理論都認為學(xué)習(xí)者只有親身體驗過,才能獲取和構(gòu)建自己的知識網(wǎng)絡(luò),所以學(xué)習(xí)僅僅依靠課堂是遠遠不夠的,學(xué)生在課后的自我反思顯得十分重要,這也是學(xué)生之間產(chǎn)生差異的重要因素.不僅在課堂,學(xué)生在課后仍對數(shù)學(xué)問題反復(fù)思索,甚至創(chuàng)造性地提出新問題、解決新問題,學(xué)生的親身體驗反思,使其達到自我創(chuàng)新的能力,從而提升數(shù)學(xué)反思的能力.

只要相信學(xué)生,給學(xué)生一個自由反思的空間,他們會給你意想不到的驚喜!以下是課后學(xué)生陸續(xù)給出的變式探索:

變式5:已知c=2,a+b=則角C的最大值為___,求三角形面積的最大值.

變式6:已知c=2,b=則△ABC的面積的最大值是___.探究角C的最值情況?

變式7:已知c=2,C=30°,求2a+3b的最大值.

變式8:已知a2+b2=4,C=60°,求c的最小值和周長最大值.

變式9:已知a2+b2=12,c=2,求三角形面積的最大值.

變式10:若2a2+3b2=4,C=60°,求c的最小值和面積最大值.

變式11:已知2a+b=4,C=45°,求c的最小值.變式12:已知a-b=4,C=則c∈____,△ABC周長l∈___.

我始終相信,學(xué)生的潛能是無限的,數(shù)學(xué)課堂志在激發(fā)學(xué)生的潛力、挖掘?qū)W生的創(chuàng)造力.作為教師,我們應(yīng)該給予學(xué)生發(fā)揮的時間和空間,而變式教學(xué)是一種非常好的手段,教師要利用好這一有利方式,適時地引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)反思的習(xí)慣,有了數(shù)學(xué)反思的肥沃土壤,學(xué)生的創(chuàng)造力就會顯現(xiàn)出來.

另一方面,回想起近年來我進行變式教學(xué)的過程,在課堂質(zhì)量上得到了很大提高,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績提升明顯,學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂的熱情甚至對數(shù)學(xué)老師的熱情也越來越高,變式教學(xué)使我受益良多,也使學(xué)生受益匪淺,變式教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識,更重要的是教會學(xué)生多角度看問題、解決問題的方式,教會學(xué)生反思總結(jié)的方法,我相信學(xué)生養(yǎng)成的反思習(xí)慣會讓他們終身受益.再一方面,這項實踐研究的課堂具有師生雙向交流、相互影響的雙向性,學(xué)生課后的數(shù)學(xué)反思也會創(chuàng)造出更多的問題,這就要求教師必須具備豐富的專業(yè)知識、良好的教學(xué)藝術(shù)和完善的人格魅力,與學(xué)生建立平等、和諧的師生關(guān)系,才能讓變式教學(xué)發(fā)揮更大的效果.教師應(yīng)學(xué)無止境,奮斗不息.