廣東省東莞市第七高級中學(xué)(523500) 藍(lán)小軍

精心設(shè)計(jì)教學(xué)例題 全面提升學(xué)生素養(yǎng)*

廣東省東莞市第七高級中學(xué)(523500) 藍(lán)小軍

例題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,好的例題既可以讓學(xué)生能夠在較短的時間內(nèi)掌握知識、突破難點(diǎn)、發(fā)展思維起著非常重要的作用,高效的例題教學(xué)對教學(xué)質(zhì)量的提高起著關(guān)鍵作用.但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,不少教師思想上不重視,對例題的選擇具有隨意性,要么是照搬書本上的例題,要么是缺乏必要的設(shè)計(jì),本文將就數(shù)學(xué)例題的設(shè)計(jì)類型進(jìn)行分析,希望起到拋磚引玉的效果.

一、設(shè)計(jì)一題多問型例題

如果例題只要求解答單方面的問題,對知識和能力的考察比較片面,學(xué)生的思維也得不到充分的訓(xùn)練,如果能對題目作適當(dāng)?shù)臄U(kuò)充和演變,采用“一題多問”的形式,將多個知識點(diǎn)用同一道題有機(jī)地結(jié)合起來,溝通多個知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系,既能充分挖掘例題本身潛在功能,高效地對相關(guān)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固,又能訓(xùn)練學(xué)生多角度、多層次地認(rèn)識事物,提高了學(xué)生的綜合思維能力和解題能力.一題多問不是知識點(diǎn)的簡單疊加,而是知識點(diǎn)之間有機(jī)結(jié)合,相互滲透并融合,把學(xué)生從題海中解放出來,使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的主動權(quán),有效地訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力,提升課堂效益.

（3）設(shè)z=x2+y2,求z的取值范圍;

（4）設(shè)z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范圍.

二、設(shè)計(jì)一題多解型例題

在平時的學(xué)習(xí)過程中,特別是高考復(fù)習(xí)中,要把所學(xué)知識有機(jī)地串聯(lián)起來、使各部分知識融會貫通,

可以要針對典型例題進(jìn)行深入探討,通過不同的數(shù)學(xué)規(guī)律或數(shù)學(xué)方法尋求同一例題的多種解法,以一當(dāng)十,它不僅可以加強(qiáng)知識點(diǎn)之間的橫向聯(lián)系,使學(xué)生在解題時開闊思路,鞏固所學(xué)知識,又可以發(fā)展學(xué)生的思維能力,達(dá)到提高學(xué)生分析能力和綜合運(yùn)用知識的目的.

例2 已知x,y≥0且x+y=1,求x2+y2的取值范圍.

圖1

圖2

三、設(shè)計(jì)“貌合神離”的辨析型例題

在教學(xué)中,我們還會經(jīng)常遇到一些“貌合神離”的題,學(xué)生卻往往被這種“形似而神不似”的題目混淆了視角,受思維習(xí)慣的影響而引起對知識方面的負(fù)遷移,過度關(guān)注“形似”,卻對“神不似”視若無睹.教師可以采用改變命題條件或條件等手段讓學(xué)生詳加比較、辨析,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)原有知識可能存在的漏洞,并主動采取行動補(bǔ)救,這樣可以更有效地防止思維負(fù)遷移的出現(xiàn).

例3 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2,g(x)=3x2-6x,求M的最小值,使對?x∈[-2,2],有f(x)-g(x)≤M成立.

變式1 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2,g(x)=3x2-6x,求M的最小值,使對?x∈[-2,2],有|f(x)-g(x)|≤M成立.

變式2已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2,求M的最小值,使對?x1,x2∈[-2,2],有|f(x1)-f(x2)|≤M成立.

變式3已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2,g(x)=3x2-6x,求M的最小值,使對?x1,x2∈[-2,2],有|f(x1)-g(x2)|≤M成立.

變式4已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2,g(x)=3x2-6x,求M的最小值,使對?x∈[-2,2],有|f(x)-g(x)|≤M成立.

四、設(shè)計(jì)“歸一型”例題

在實(shí)際教學(xué)中,不僅要關(guān)注解題技巧,我們還有必要對某一類型的題目有一個整體性的認(rèn)識,最終引導(dǎo)學(xué)生概括并固化為某一類問題一般性的、常用的、特有的解題方法（或解題步驟）.比如,我們可以把圓錐曲線壓軸題的解答步驟歸納為以下常用六步,具體為:

第一步:設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2)（特別地當(dāng)直線過原點(diǎn)時,可利用對稱性來設(shè)點(diǎn)）;

圖3

第三步:聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,消去y（或x）得到一個關(guān)于x（或y）的一元二次方程,Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0）;

第四步:計(jì)算判別式,Δ=B2-4AC.通常情況下可不算,但特別地,涉及到范圍時,基本上都要求判別式的范圍;

所以7t2+4k2+16kt=0,即(7t+2k)(t+2k)=0,解得

五、設(shè)計(jì)示錯型例題

在實(shí)際教學(xué)中,經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一種情況,由于學(xué)生理解知識存在誤差,導(dǎo)致在做題時出現(xiàn)偏差或失誤,而這類同學(xué)往往還沉浸在這種錯題中不能自拔,他（她）一直認(rèn)為這樣做是對的,所以兩樣的錯誤會不斷地重復(fù)犯.所謂示錯型例題就是指教師把學(xué)生的錯題當(dāng)成一種資源加以研究、開發(fā)和利用,在上課時向?qū)W生展示精心挑選的典型錯例,讓做題學(xué)生說出當(dāng)時解題時的思路、想法,還原學(xué)生解題時的真實(shí)情景和失誤過程,讓其他學(xué)生以旁觀者的角度去體驗(yàn)錯誤的成因,探索改錯的方法并提出應(yīng)對的策略.往往這類題的解決既可以糾正知識錯誤,又可以提高其反思能力,既可以培養(yǎng)學(xué)生正確的思維習(xí)慣,又能起到較好的糾錯效果.

面對這種傳統(tǒng)題目,很多學(xué)生會采用第一種方法,還有一部分想求出P點(diǎn)坐標(biāo)的學(xué)生會選擇第二種方法,卻發(fā)現(xiàn)沒有實(shí)數(shù)解,也就意味著這樣的P是不存在的.在這種認(rèn)知沖突下,可以引導(dǎo)學(xué)生對∠F1PF2進(jìn)行研究:由余弦定理整理得到同時由于t1+t2=2a,借助基本不等式可以得到可以看到題目本身并不能滿足這個條件,也就是說題目是錯誤的.這樣通過示錯、識錯的過程,讓學(xué)生更加深刻地記住了焦點(diǎn)三角形常用的性質(zhì).

綜上所述,應(yīng)用錯題教學(xué)是提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果的有效手段.通過這種教學(xué)模式,學(xué)生能夠找到自己對概念、定義理解的不當(dāng)之處,找到自己在答題策略、解題思路上疏忽的地方,只有學(xué)生自己真正認(rèn)識到錯誤,才可以及時糾正,從而把數(shù)學(xué)知識夯實(shí),鍛煉自身的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力.所以,教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生自身的實(shí)際情況和其所犯的錯誤進(jìn)行教學(xué),只有巧用錯題法寶,才能有效地提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

*廣東省教育規(guī)劃課題:基于課堂教學(xué)的高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)模式的研究.