廣東省佛山市第一中學(xué)(528300) 楊哲

從一道習(xí)題探究橢圓、雙曲線新的統(tǒng)一

廣東省佛山市第一中學(xué)(528300) 楊哲

《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》(中等教育)2013年4期、12期分別發(fā)表郭新祝老師、周金蘭的論文《在極坐標(biāo)系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的統(tǒng)一》、《也談在極坐標(biāo)系中橢圓、雙曲線、拋物線方程的統(tǒng)一》,探究教材(蘇教版選修4-4)中《圓錐曲線的極坐標(biāo)方程》知識(shí)點(diǎn),給出了在橢圓的左、右、上、下焦點(diǎn)情況下的圓錐曲線極坐標(biāo)方程.受此啟發(fā),筆者從另外角度進(jìn)一步探究.

例題:(人教版高中數(shù)學(xué)課本選修2-1第50頁(yè),B組第2題)一動(dòng)圓與圓F:x2+y2+6x+5=0外切,同時(shí)與圓F′:x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說(shuō)明它是什么曲線.

解: 先回顧文中需要用到的以下定義:

橢圓第一定義:到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

雙曲線第一定義:到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.

設(shè)動(dòng)圓圓心為P,半徑為R:動(dòng)圓與圓F的圓心距為d1,動(dòng)圓與圓F′的圓心距為d2,由已知條件,將兩定圓方程標(biāo)準(zhǔn)化得:

(x+3)2+y2=4:(x-3)2+y2=100,從而知道定圓圓心坐標(biāo)分別為F(-3,0)與F′(3,0):圓F的半徑R1=2,圓F′的半徑R2=10:所以,由動(dòng)圓P與圓F外切,有d1=R+R1=R+2:由動(dòng)圓P與圓F′內(nèi)切,有d2=R2-R=10-R.故d1+d2=12,為定值,由橢圓的第一定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,知a=6,c=3從而b2=a2-c2=27,故軌跡是橢圓,圖1是用幾何畫(huà)板畫(huà)出的示意圖,動(dòng)圓圓心P的軌跡是一橢圓.

圖1 動(dòng)圓圓心P的軌跡

這類(lèi)習(xí)題通常給定了兩個(gè)定圓的方程,以及動(dòng)圓和定圓相切的方法,再來(lái)求動(dòng)圓圓心的軌跡,最后結(jié)果通常是橢圓,或是雙曲線的一支.那么,如果把特殊性的條件去掉,只關(guān)注動(dòng)圓和定圓相切,是否會(huì)為尋找橢圓、雙曲線新的統(tǒng)一提供可能?根據(jù)以上猜想,提出以下問(wèn)題:

若動(dòng)圓P分別與定圓F、F′相切,求點(diǎn)P的軌跡C.

(一)問(wèn)題分析

設(shè)動(dòng)圓的半徑為R,定圓F的半徑為R1,定圓F′的半徑為R2,且R1＞R2.(下文稱圓F為“大圓”,圓F′為“小圓”,假設(shè)大圓在小圓左邊)分別用d1與d2表示動(dòng)圓圓心P與F、F′的距離.

由于問(wèn)題未給出足夠的限制條件,必須分類(lèi)討論,不難發(fā)現(xiàn),問(wèn)題的變量有兩個(gè),分別是:

①動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓怎么相切?

②兩個(gè)定圓的位置關(guān)系是什么?

此外,由于我們是在圓錐曲線的范疇內(nèi)討論這個(gè)問(wèn)題,故點(diǎn)P的軌跡不是圓錐曲線的情況應(yīng)當(dāng)舍去.且以兩定圓圓心中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),兩圓心所在直線為X軸,建立坐標(biāo)系.

(二)問(wèn)題的分類(lèi)討論

動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓相切的情況有內(nèi)切與外切兩種,而內(nèi)切又分動(dòng)圓在外、大(小)圓在外兩類(lèi).考慮到這第一個(gè)變量類(lèi)別較少,故先考慮問(wèn)題的第一個(gè)變量.以動(dòng)圓與定圓如何相切作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),列出所有可能的情況:

(1)d1=R+R1,d2=R+R2,與兩圓均外切

(2)d1=R-R1,d2=R-R2,與兩圓均內(nèi)切且動(dòng)圓在外

(3)d1=R+R1,d2=R-R2,與大圓外切,與小圓內(nèi)切且動(dòng)圓在外

(4)d1=R+R1,d2=R2-R,,與大圓外切,與小圓內(nèi)切且小圓在外

(5)d1=R-R1,d2=R+R2,與大圓內(nèi)切且動(dòng)圓在外,與小圓外切

(6)d1=R-R1,d2=R2-R,與大圓內(nèi)切且動(dòng)圓在外,與小圓內(nèi)切且小圓在外

(7)d1=R1-R,d2=R+R2,與大圓內(nèi)切且大圓在外,與小圓外切

(8)d1=R1-R,d2=R-R2,與大圓內(nèi)切且大圓在外,與小圓內(nèi)切且動(dòng)圓在外

(9)d1=R1-R,d2=R2+R,與大圓內(nèi)切且大圓在外,與小圓內(nèi)切且小圓在外

從代數(shù)角度看,第(6)種情況由于(d1+d2)=(R2-R1)＜0,故動(dòng)圓圓心軌跡不存在.(事實(shí)上,也無(wú)法通過(guò)作圖作出第(6)種情況)

此時(shí)根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義,我們可以知道在上述九種情況里,若d1+d2為大于零的定值,則P點(diǎn)軌跡是橢圓:若d1-d2或d2-d1為大于零的定值,則P點(diǎn)軌跡是雙曲線(的一支).

再考慮問(wèn)題的第二個(gè)變量:兩個(gè)定圓位置關(guān)系.兩個(gè)定圓位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種.

兩個(gè)定圓的位置關(guān)系可以通過(guò)線段FF′的長(zhǎng)度與(R1+R2)確定.另一方面,通過(guò)例題的解答我們意識(shí)到,在此類(lèi)問(wèn)題中,橢圓或雙曲線(標(biāo)準(zhǔn)方程中)的a與c值可通過(guò)2a=(d1±d2):2c=(FF′)確定.然而,橢圓與雙曲線方程的a與c值大小有規(guī)定,在橢圓中a＞c,在雙曲線中a＜c.而同時(shí)2a=(d1±d2)又與R1、R2有關(guān),(例如(1)中d1-d2=R1-R2)從而通過(guò)a與c的大小關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.

對(duì)于動(dòng)圓圓心軌跡為橢圓的情況:(即d1+d2為大于零的定值)

先看情況(4):第一步,先有2a=(d1+d2)=(R1+R2):而在這個(gè)橢圓中,(FF′)=2c＜2a=R1+R2,即兩定圓圓心距小于半徑之和,故此時(shí)兩定圓相交、內(nèi)切或內(nèi)含.第二步,再結(jié)合情況(4)的文字描述:“與大圓外切,與小圓內(nèi)切且小圓在外”,通過(guò)畫(huà)圖可知,兩個(gè)定圓不可能內(nèi)切、內(nèi)含.故對(duì)于情況(4),兩定圓只能相交.通過(guò)類(lèi)似的“兩步走”,我們可以得出:

情況(7),兩定圓可以相交、內(nèi)切、內(nèi)含(2a=d1+d2=R1+R2)

情況(8),兩定圓只能內(nèi)含(2a=d1+d2=R1-R2)

對(duì)于動(dòng)圓圓心軌跡為雙曲線的情況:(即d1-d2或d2-d1為大于零的定值)

情況(1),兩定圓可以外離、外切、相交(2a=d1-d2=R1-R2) (雙曲線右支)

情況(2),兩定圓可以外離、外切、相交(2a=d2-d1=R1-R2) (雙曲線左支)

情況(3),兩定圓只能外離(2a=d1-d2=R1+R2) (雙曲線右支)

情況(5),兩定圓只能外離(2a=d2-d1=R1+R2) (雙曲線左支)

情況(9),兩定圓只能相交(2a=d1-d2=R1-R2) (雙曲線右支)

事實(shí)上,動(dòng)圓與兩定圓相切,若動(dòng)圓圓心軌跡是雙曲線,那么雙曲線必然只能是一支,這是因?yàn)閐1與d2相減時(shí),被減數(shù)與減數(shù)是固定的,沒(méi)有像雙曲線第一定義中加上距離差的絕對(duì)值.但是在上面的討論中,我們發(fā)現(xiàn)在不同的情況里,有時(shí)兩個(gè)定圓的位置關(guān)系是可以相同的,如第(1)與第(2)種:第(3)與第(5)種,恰巧這兩對(duì)情況的a值相等,左右支對(duì)應(yīng).這暗示在這個(gè)問(wèn)題中,用求動(dòng)圓圓心軌跡的方法也可以描出完整的雙曲線,只需將兩種情況合并即可.我們先放下這個(gè)發(fā)現(xiàn),來(lái)看看還有什么有趣的現(xiàn)象發(fā)生.我們驚訝地發(fā)現(xiàn),對(duì)于定義出雙曲線的第(9)種與第(1)種情況均可在兩定圓相交時(shí)成立,并且a值相等,但是它們卻都是雙曲線的右支,這是為什么呢?難道不同種情況會(huì)有重復(fù)嗎?不妨作出圖2一目了然.

圖2 動(dòng)圓與定圓相切示意1

圖2 是利用幾何畫(huà)板作出的,F、F′是兩定圓的圓心,且這兩個(gè)定圓相交,圓P是動(dòng)圓(包含第(1)、(9)種情況的動(dòng)圓).藍(lán)色的圓系是第(1)種情況,紅色的圓系是第(9)種情況.青色線代表第(1)種情況的P點(diǎn)軌跡,紅色線則代表第(9)種情況的P點(diǎn)軌跡.

我們注意到,兩定圓相交時(shí),第(1)和(9)種情況共同構(gòu)成了一條完整的雙曲線右支.實(shí)際上,兩定圓相交時(shí),這種軌跡互補(bǔ)的情況也會(huì)出現(xiàn)在橢圓中.把軌跡互補(bǔ)的情況同時(shí)在一個(gè)圖中展現(xiàn),即為圖3.

圖3 動(dòng)圓與定圓相切示意2

(說(shuō)明:判斷軌跡是否互補(bǔ)只需看兩定圓相交時(shí)不同情況的a值是否相等.之所以選擇兩定圓相交,是因?yàn)閮啥▓A相交時(shí)P點(diǎn)的軌跡種類(lèi)全)

圖3中,F、F′是兩定圓的圓心,且這兩個(gè)定圓相交.圓P是包含第(1)、(9)種情況的動(dòng)圓:圓P′是包含第(4)、(7)種情況的動(dòng)圓.圖中黑色的圓系是第(7)種情況:粉色的圓系是第(4)種情況:藍(lán)色的圓系是第(1)種情況:紅色的圓系是第(9)種情況.

圖4 動(dòng)圓與定圓相切示意3

可以看到,兩定圓相交時(shí),動(dòng)圓圓心軌跡互補(bǔ)的情況有橢圓(第(4)與第(7)種),雙曲線(第(1)與第(9)種).

在圖3中,雙曲線只有右支.實(shí)際上,通過(guò)前面的論述發(fā)現(xiàn),在圖3中左支雙曲線其實(shí)可以由兩定圓相交時(shí)的第(2)種相切方法定義出,我們把左支雙曲線在圖3中補(bǔ)全,見(jiàn)圖4.

圖4中,圓P′′是第(2)種情況的動(dòng)圓,橙色圓系是第(2)種情況的動(dòng)圓圓系.

可以發(fā)現(xiàn),這時(shí),在兩定圓相交的前提下,用動(dòng)圓與兩定圓相切,在有意義的不同相切方法組合中,我們定義出了完整的橢圓與雙曲線.實(shí)際上,通過(guò)上面的討論不難發(fā)現(xiàn),只有在兩定圓相交時(shí)才能完整地同時(shí)地定義出橢圓與雙曲線.

至此,我們可以得出如下結(jié)論:

當(dāng)兩個(gè)大小定圓相交時(shí),動(dòng)圓的第(4)、(7)種相切方法,其圓心軌跡為橢圓:動(dòng)圓的第(1)、(9)種相切方法,其圓心軌跡為雙曲線右支,動(dòng)圓的第(2)種相切方法,其圓心軌跡為雙曲線左支.

這從另外一個(gè)角度揭示了橢圓與雙曲線新的統(tǒng)一美.

(三)回顧與補(bǔ)充

①以上討論,有R1＞R2的預(yù)設(shè)條件.其實(shí),當(dāng)R1=R2時(shí),2a=R1-R2的第(1)、(2)、(8)、(9)種無(wú)法求得圓錐曲線軌跡(事實(shí)上,此時(shí)P點(diǎn)軌跡是直線),其余可行的情況中,兩定圓位置關(guān)系也只能外離、外切、相交.

②本文最終只在最完美的情況—兩定圓相交時(shí)下了結(jié)論,其實(shí),兩定圓不相交也能夠定義出完整的橢圓或雙曲線,只不過(guò)不能完整地同時(shí)地定義出罷了.