四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 劉婷

一道競(jìng)賽題的推廣及其引發(fā)的解題教學(xué)思考

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 劉婷

某天有幸讀到一篇文章,發(fā)現(xiàn)馬小為先生和此文作者先后對(duì)同一道競(jìng)賽填空題進(jìn)行了研究.馬小為先生的解答下稱(chēng)解法1,此文作者在該基礎(chǔ)上改進(jìn),提出了另一種解法(下稱(chēng)解法2).解法2確實(shí)較巧妙、簡(jiǎn)潔,讓人看后很是欣賞.

筆者對(duì)此題也較感興趣,此題的三角形是給定的,又涉及內(nèi)心,考慮到三角形不僅有銳角、鈍角、直角三角形之分,而且除了內(nèi)心,還有旁心、外心、垂心、重心,便覺(jué)得推廣的可能性較大,但筆者翻閱過(guò)許多文獻(xiàn),并未發(fā)現(xiàn)有人對(duì)此題做過(guò)推廣,因此更加好奇,便自己嘗試著推廣及解答.在解答時(shí),筆者深深體會(huì)到了解法1和解法2的利弊,解法2的思路雖巧妙,但不能用于某些推論的解答:而解法1的思路卻可以解答所有推論.由此,我對(duì)解法1、解法2有了不同的看法,并對(duì)解題教學(xué)進(jìn)行了一番思考.

眾所周知,數(shù)學(xué)與解題是緊密相連的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要過(guò)程就是解題,學(xué)生通過(guò)解題可以加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的理解與掌握.毫無(wú)疑問(wèn),解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要部分,但現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,許多老師因不注重教學(xué)方法而形成題海戰(zhàn)術(shù),致使學(xué)生身心疲憊,甚至厭惡數(shù)學(xué),極不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.因此,如何提高解題教學(xué)的效率是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可避免的問(wèn)題,是每位數(shù)學(xué)教師必須思考的問(wèn)題.

通過(guò)對(duì)此競(jìng)賽題進(jìn)行的一系列推廣及解答,我對(duì)解題教學(xué)有了一些思考,希望能與讀者分享.下面展示該競(jìng)賽題的不同解法和一系列推廣(其中,推廣1、2、5適合初中:但推廣3、4的解答因涉及余弦定理,故適合高中)以及自己對(duì)教學(xué)的思考.

一、賽題再現(xiàn)

如圖1,△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE//BC,分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)___.(“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

圖1

二、賽題解答

解法2:如圖2,連接IB、IC,因?yàn)椤袸為△ABC的內(nèi)切圓,所以∠DBI=∠IBC.因?yàn)镈E//BC,所以∠DIB=∠IBC,∠DBI=∠DIB,所以DI=DB.同理IE=EC,所以DE=DI+IE=DB+EC,所以△ADE的周長(zhǎng)為=AD+DE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=16.因?yàn)镈E//BC,所以△ADE∽△ABC,所

圖2

三、解法分析

此題是求DE的長(zhǎng)度,而題中已知BC的長(zhǎng)度和DE//BC,便很容易想到通過(guò)求得△ADE與△ABC的相似比來(lái)求DE的長(zhǎng)度,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求△ADE與△ABC的相似比.解法1與解法2都是這樣做的,它們只是在求相似比的方法上有所不同.

解法1的思路是通過(guò)求兩個(gè)三角形高之比來(lái)求相似比的.因?yàn)轭}中已知了△ABC三邊各長(zhǎng),并且I是△ABC的內(nèi)心,所以可以直接運(yùn)用△ABC面積的兩種表達(dá)式來(lái)求得兩個(gè)三角形高之比.

解法2的思路是通過(guò)求兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之比來(lái)求相似比的.因?yàn)轭}中已知了△ABC三邊各長(zhǎng),故△ABC周長(zhǎng)極易求得,那么就只需求△ADE的周長(zhǎng)了,又已知I是△ABC的內(nèi)心,由切線長(zhǎng)定理推論和DE//BC,可以將DE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為DB+EC,從而△ADE周長(zhǎng)可通過(guò)AD+DB+EC+AE=AB+AC求得,那么就能通過(guò)兩三角形周長(zhǎng)之比求得相似比,從而得到DE的長(zhǎng)度.

解法2的巧妙之處在于運(yùn)用切線長(zhǎng)定理推論和DE//BC將DE的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為DB和EC后,剛好又分別與AD、AE組合成AB、AC這兩條已知了長(zhǎng)度的線段,從而可求得△ADE周長(zhǎng).但若I是△ABC的外心或重心等,由于不能使用切線長(zhǎng)定理推論,這種巧妙的轉(zhuǎn)化就不復(fù)存在,而△ADE三邊長(zhǎng)都不知道,則只有通過(guò)相似比求得△ADE周長(zhǎng),從而又回到之前的問(wèn)題上,故不能得到解答.因此,解法2的局限性較大,適用范圍小.

而解法1更易想到,思路更自然,適用性更廣些,若I不是△ABC內(nèi)心,因的三邊長(zhǎng)都已知,我們也可以運(yùn)用海倫公式求得△ABC的面積,從而求得△ABC中BC邊上的高,那么就只需求△ADE中DE邊上的高了,再充分利用I的性質(zhì)與特點(diǎn),想方設(shè)法求得△ADE中DE邊上的高即可.因此,解法1的基本思路(通過(guò)求兩個(gè)三角形高之比來(lái)求相似比,從而求DE的長(zhǎng)度)適用范圍較大.

四、賽題推廣

我們知道三角形不僅有銳角、鈍角、直角三角形之分,而且除了內(nèi)心,還有旁心、外心、垂心、重心.現(xiàn)將此題按照三角形的五心進(jìn)行推廣,每個(gè)推廣包含各類(lèi)三角形.其中,推廣1、2、5適合初中:而推廣3、4的解答因涉及余弦定理,故適合高中.所有的推廣運(yùn)用解法1中的基本思想方法能很容易得到解答.

五、推廣的解答

運(yùn)用解法1中的基本思想方法都能夠很好地解答以上五個(gè)推廣,但由于解答時(shí)分類(lèi)情況較多,且篇幅有限,考慮到推廣4的解答難度稍大些,且解法2不能解答該推廣,故以解答推廣4為例,展示如何用解法1中的基本思想方法來(lái)解答,并簡(jiǎn)要說(shuō)明為何不能用解法2的思路.有興趣的讀者可以根據(jù)解法1的基本思路解答其他推論.

推廣4:△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,過(guò)△ABC的垂心I作I作DE//BC,分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E,則DE的長(zhǎng)為

圖3

解: ①若△ABC為銳角三角形.

②若△ABC為鈍角三角形.

1°若∠A是鈍角.

圖4

2°若∠C是鈍角.

如圖5,連接IA交BC延長(zhǎng)線于F,連接IC并延長(zhǎng)交AB于G.因?yàn)镮為△ABC的垂心,所以AF⊥BC,CG⊥AB.因?yàn)椤螴AG=∠BAF,∠AGI=90°=∠AFB,

圖5

③若△ABC為直角三角形.

1°若∠A是直角.

如圖6,則點(diǎn)A為△ABC的垂心,即I與A重合,則D,E均落在A點(diǎn),那么DE=0.另一方面,當(dāng)∠A=90°時(shí),cosA=0,故該情況下DE的長(zhǎng)度也滿(mǎn)足該式子.

圖6

2°若∠C是直角.

3°若∠B是直角.

圖7

推廣4是運(yùn)用解法1的基本思路(通過(guò)求兩個(gè)三角形高之比來(lái)求相似比)來(lái)解答的,難度在于求△ADE的高,此難點(diǎn)是通過(guò)充分利用I是△ABC垂心的性質(zhì)和特點(diǎn)來(lái)突破的.

由于I是△ABC垂心,不能使用切線長(zhǎng)定理推論,所以解法2中巧妙的轉(zhuǎn)化就不復(fù)存在,根據(jù)前面第三部分對(duì)原題解法的分析可以知道不能用解法2的思路來(lái)解答.

六、教學(xué)啟示

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出,在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的教學(xué)中,應(yīng)注意揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),加強(qiáng)知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系.因此,在研究具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)注重剖析其本質(zhì),抓住問(wèn)題的關(guān)鍵,從而強(qiáng)化本質(zhì)和形式之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu),深化知識(shí)縱橫聯(lián)系.結(jié)合自己對(duì)此競(jìng)賽題推廣與解答的經(jīng)歷,我對(duì)如何提高解題教學(xué)的效益有了一些思考,望與讀者分享.

(1.理性對(duì)待“通法”與“巧法”,注重挖掘問(wèn)題本質(zhì)

相比于解法1,解法2確實(shí)較巧妙且計(jì)算量小,但正由于它的巧妙,所以對(duì)條件或結(jié)論要求較苛刻,有時(shí)稍微改變(如,推論3、4、5將I改為外心或垂心等等),就不能用此法了,局限性大,不利于學(xué)生舉一反三.并且“巧法”也有可能掩蓋基本思想方法的滲透,故適用范圍小.若教師只重視對(duì)此法的講授,則學(xué)生很容易出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象.當(dāng)然,“巧法”也有利于擴(kuò)展學(xué)生解題思路,提高其分析、解決問(wèn)題的能力.因此,進(jìn)行解題教學(xué)時(shí),教師可以向?qū)W生展示“巧法”,但應(yīng)向?qū)W生說(shuō)明此法的利弊及適用范圍,讓學(xué)生對(duì)此有清楚認(rèn)識(shí),不至于盲目使用.

筆者認(rèn)為解法1是通法,通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)解法1的思路是基于問(wèn)題本質(zhì)(求△ADE中DE邊上的高)而產(chǎn)生的,它蘊(yùn)含了基本思想方法(通過(guò)求兩個(gè)三角形高之比來(lái)求相似比),具有普適性,因此,無(wú)論將I改為外心、垂心還是重心,無(wú)論△ABC是什么三角形,都可以運(yùn)用此法的解題思路來(lái)解決,有利于學(xué)生觸類(lèi)旁通,避免陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”,從而提高學(xué)習(xí)效率.

我認(rèn)為解題教學(xué)不僅僅是就解題而教學(xué),而是應(yīng)該挖掘問(wèn)題的本質(zhì),盡量講授能反映問(wèn)題本質(zhì)的解法,即通法,揭示通法中的基本思想方法,便于學(xué)生理解并掌握,以便學(xué)生舉一反三.

(2.縱向、橫向推廣,深化知識(shí)聯(lián)系

將原題按照三角形的五心進(jìn)行推廣,并不限三角形類(lèi)別.這一系列推廣及其解答將平行線的性質(zhì)、相似三角形、三角形五心的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理推論、圓周角與圓心角的關(guān)系、余弦定理等知識(shí)緊密聯(lián)系在一起,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),更便于學(xué)生理解,從而鞏固和強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的掌握,提高學(xué)生舉一反三的能力.

教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生縱向挖掘、橫向延伸相關(guān)知識(shí),形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),幫助學(xué)生理解知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,從而更加深刻地理解其本質(zhì).因此,在解題教學(xué)時(shí),應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多變、多題一解,并適當(dāng)進(jìn)行引申、推廣,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的遷移與內(nèi)化,從而提高數(shù)學(xué)解題的能力,引申、推廣就是找出一些特殊問(wèn)題中所蘊(yùn)含的事物發(fā)展的規(guī)律性,通過(guò)合情推理或演繹推理獲得更廣泛的新結(jié)論,在這過(guò)程中,學(xué)生不僅能體會(huì)成功的喜悅,而且有利于創(chuàng)新能力的提高,從而增強(qiáng)探索未知世界的信心.

七、結(jié)語(yǔ)

將一個(gè)競(jìng)賽題橫向、縱向進(jìn)行了五次推廣,涉及相似三角形、三角形五心的性質(zhì)、三角形面積求法、余弦定理等平面幾何中關(guān)于三角形的大部分知識(shí)點(diǎn),運(yùn)用原競(jìng)賽題解法1的基本思路很容易證明這五個(gè)推廣,達(dá)到了觸類(lèi)旁通的目的,這再次說(shuō)明了在解題教學(xué)中,教師注重講授通法的重要性.

解法2雖然能簡(jiǎn)化解題過(guò)程且計(jì)算量小,還能擴(kuò)展學(xué)生的思維,但在實(shí)際運(yùn)用中,卻不能證明以上某些推廣(如推廣3、4、5),實(shí)用范圍小.“巧法”的巧妙之處正是建立在嚴(yán)苛的條件或結(jié)論之上的,一旦稍有改變,該方法可能行不得通了,故用“巧法”提高學(xué)生解題能力的效益不大.

在解題教學(xué)時(shí),教師應(yīng)重點(diǎn)剖析問(wèn)題的本質(zhì),注重基于問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)行解題,暴露思維過(guò)程,之后,要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思,總結(jié)通性通法.可以適時(shí)從通法的回顧和反思中,去自然地發(fā)現(xiàn)和提煉“巧法”.在此基礎(chǔ)上,可適當(dāng)將問(wèn)題橫向、縱向挖掘進(jìn)行變式、推廣,拓寬問(wèn)題的寬度,加深問(wèn)題的深度:引導(dǎo)學(xué)生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律,增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性.