江蘇省海門(mén)市能仁中學(xué)(226100) 仇建新

南通市中考數(shù)學(xué)“壓軸題”之探究與思考—2016年8月暑期能仁教育集團(tuán)研訓(xùn)中考試題分析

江蘇省海門(mén)市能仁中學(xué)(226100) 仇建新

【2012—2016年南通市中考數(shù)學(xué)第27題回放】

1.(2012年南通27題12分)如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng):點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā),沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

圖1

(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值:

(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上,四邊形PQCM為平行四邊形.

②是否存在實(shí)數(shù)a,使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上?若存在,請(qǐng)求出a的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2013年南通27題13分)如圖,在Rt△ABC中,是邊長(zhǎng)為a(a為小于3的常數(shù))的等邊三角形,將△DEF沿AC方向平移,使點(diǎn)D在線段AC上,DE//AB,設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長(zhǎng)為T(mén).

(1)求證點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù):

(3)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示T.

3.(2014年南通27題13分)如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E為AB上一點(diǎn),AE=1,M為射線A上一動(dòng)點(diǎn),AM=a(a為大于0的常數(shù)),直線EM與直線CD交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EM,交直線BC于G.

圖2

(1)若M為邊AD中點(diǎn),求證:△EFG是等腰三角形:

(2)若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合,求線段MG的長(zhǎng):

(3)請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S,并指出S的最小整數(shù)值.

4.(2015年南通 27題 13分)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,點(diǎn)P,Q分別在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0＜x＜3).把△PCQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),得到△PDE,點(diǎn)D落在線段PQ上.

(1)求證PQ//AB:

(2)若點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,求CP的長(zhǎng):

(3)若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長(zhǎng)為T(mén),且12≤T≤16,求x的取值范圍.

5.(2016年南通27題13分)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于點(diǎn)O.D是線段OB上一點(diǎn),DE=2,ED//AC(∠ADE＜90°),連接BE、CD,設(shè)BE、CD的中點(diǎn)分別為P、Q.

(1)求AO的長(zhǎng):

(2)求PQ的長(zhǎng):

(3)設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M,請(qǐng)直接寫(xiě)出|PM-MQ|的值.

縱觀2012—2016年的數(shù)學(xué)“壓軸題”帶給我們的思考:

一、考題分值:

基本控制在12—13分,多數(shù)13分,只有2012年12分.

二、命題形式:

(1)以幾何綜合題為主,滲透代數(shù)知識(shí)與方法,關(guān)注幾何證題探究及幾何證明思路的同時(shí),也側(cè)重于關(guān)注代數(shù)的運(yùn)算,往往與150分(滿分)擦肩而過(guò)的不是28題,卻是27題,尤其第(3)問(wèn),關(guān)注并培養(yǎng)好孩子一定的運(yùn)算能力、運(yùn)算信心和與運(yùn)算技巧等.近幾年命題形式、內(nèi)容呈現(xiàn):

(a)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理或者由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求線段的長(zhǎng):

(b)考查了圖形的運(yùn)動(dòng),特殊三角形的判定和性質(zhì),分析出全程情況,再結(jié)合圖形的性質(zhì)求解:

(c)圍繞某個(gè)圖形(或重合部分)的周長(zhǎng)或面積考查:

(d)由中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線,利用中位線的數(shù)量與位置關(guān)系等進(jìn)行求解.

(2)最近五年27題以三角形或(特殊)四邊形—直線型居多,共有四年以純?nèi)切螢榛A(chǔ),一年(2014年)既有三角形又有四邊形,最終還是以三角形為主.因此,初中階段關(guān)注于三角形教學(xué)顯得更加重要,不容忽視其中考地位.

三、能級(jí)要求:

章建躍教授曾指出要讓學(xué)生解“真正的數(shù)學(xué)題”,并直言“好題”絕不是那種人為制造的“題目”,而應(yīng)該是“真正的數(shù)學(xué)題”.章教授認(rèn)為“真正的數(shù)學(xué)題”應(yīng)該滿足一些基本條件,例如:反映數(shù)學(xué)的本質(zhì),與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān),不糾纏于細(xì)枝末節(jié),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有發(fā)展性,表述形式簡(jiǎn)潔、流暢且好懂等等.從這個(gè)意義上講,上面涉及的五道壓軸題都符合“真正的數(shù)學(xué)題”,基本屬于原創(chuàng)題.

能級(jí)要求:C—D級(jí),近幾年考查要求有所提升,而且難度系數(shù)在遞減(趨勢(shì)),難度在加強(qiáng),D級(jí)居多,甚至于趕超28題,例如:2016年27題難度系數(shù)0.33,28題難度系數(shù)0.35.因此,平時(shí)教育學(xué)生不僅僅學(xué)會(huì)考試(智力因素),而且要了解并掌握命題老師的命題能級(jí)要求(意圖等),掌握必備的應(yīng)試技巧和心理因素等(非智力因素),這也往往影響了孩子中考考試優(yōu)異成績(jī)的正常發(fā)揮因素之一.

從5年的試題也看出,每年的能級(jí)要求在逐步增加,但需要我們堅(jiān)守的是教學(xué)內(nèi)容的關(guān)注點(diǎn),函數(shù)、方程與建模思想等思想不可少,教師的一種引導(dǎo)與數(shù)學(xué)基本思想、方法的滲透,讓學(xué)生真正理解萬(wàn)變不離其宗.

四、命題方向:

近5年的中考試題都是以“直線型”(三角形、四邊形或特殊四邊形)為背景的幾何綜合題呈現(xiàn),借助于動(dòng)態(tài)變化的形式,這類(lèi)題孩子們看看有些后怕的.在探討動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí),首先要對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程做一個(gè)比較客觀、合理與全面的分析,弄清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程的來(lái)龍去脈以及其中的變量和常量.變量反映了運(yùn)動(dòng)變化(外在)關(guān)系,常量則是問(wèn)題求解(內(nèi)在)的重要依據(jù),關(guān)鍵是抓住“不變的量”.其次,要分清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同的變化關(guān)系,關(guān)注“臨界點(diǎn)或值”,這一點(diǎn)決定了事物變化(本質(zhì))所遵循的規(guī)律,常常蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)解題中,凸出表現(xiàn)為不同的函數(shù)關(guān)系,滲透“建?！钡臄?shù)學(xué)思想,真正體現(xiàn)由“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化(化歸)過(guò)程.

從學(xué)生發(fā)展的觀點(diǎn)看,南通中考?jí)狠S題都有很好的發(fā)展性和導(dǎo)向性.從初中數(shù)學(xué)的視角來(lái)看,如上所述,考查了初中階段所學(xué)的諸如函數(shù)、方程等重要知識(shí)點(diǎn).同時(shí)又要求學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底、較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,特別是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和遷移能力.從高中數(shù)學(xué)的視角來(lái)看,試題為高中階段進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識(shí)奠定了基礎(chǔ).

當(dāng)然,我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中也應(yīng)該敢于突破,一題多變,一題多法等,以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”,相信這些都會(huì)對(duì)于學(xué)生的后繼發(fā)展帶來(lái)巨大的幫助.

五、教學(xué)建議:

1.瞻前顧后,厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)

解決壓軸題,既需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)作功底,也需要縝密的思維分析問(wèn)題,和靈活(多樣)的方法結(jié)合與處理,還需要概括、抽象的數(shù)學(xué)思想方法作統(tǒng)領(lǐng),所以以上各方面就需要足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法儲(chǔ)備,把握壓軸題在各個(gè)年級(jí)階段的不同內(nèi)容、不同的能級(jí)要求,能夠?qū)⑶昂蟮闹R(shí)結(jié)構(gòu)圖更加系統(tǒng)與合理,更加優(yōu)化與完善:考生還要有會(huì)中考應(yīng)試的技巧和方法,平時(shí)要訓(xùn)練具備一定的應(yīng)試心理素質(zhì),這些也往往影響能否考試正常發(fā)揮.

2.以生為本,優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)習(xí)者頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu),他們已有的全部觀念內(nèi)容和組織,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)說(shuō)是學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu).

廣義上,認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生已有的觀念的全部?jī)?nèi)容及其組織:狹義地說(shuō),它是學(xué)生在某一學(xué)科的特殊知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的觀念的全部?jī)?nèi)容及其組織.奧蘇貝爾提出了三個(gè)主要的影響有意義學(xué)習(xí)和遷移的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量:觀念的可利用性、觀念的可辨別性和觀念的穩(wěn)定性與清晰性.個(gè)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)同化作用,在心理上不斷擴(kuò)大并改進(jìn)所積累的知識(shí)而組成的,學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)一旦建立,又成為他學(xué)習(xí)新知識(shí)的極重要的能量或因素.

學(xué)生解決“動(dòng)態(tài)類(lèi)”壓軸題時(shí)或多或少會(huì)感到有點(diǎn)困難,平時(shí)的教學(xué)中教師不該用相關(guān)(現(xiàn)成)課件代辦或包辦,讓學(xué)生在自然狀態(tài)下體會(huì)運(yùn)動(dòng)中“變”與“不變”,平時(shí)要有意識(shí)地培養(yǎng)和積累具有一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),學(xué)會(huì)合理劃分運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)階段(尤其關(guān)注臨界點(diǎn)與臨界值):體驗(yàn)解法的靈活性與多樣性,不拘泥于某一種方法,體悟“一題多變”、“一題多解”,善于從不同角度(視野)解決同一問(wèn)題,既要學(xué)會(huì)“分類(lèi)”,還要學(xué)會(huì)“歸類(lèi)”,最終能夠達(dá)到比較靈活地獨(dú)立解決和掌握“壓軸題”的基本套路和方法等.

3.立足四基,關(guān)注核心素養(yǎng)

四基:基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn):

數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.

平時(shí)的教學(xué)中,我們不僅僅關(guān)注孩子“雙基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能)的培養(yǎng),還要在留有課堂教學(xué)余地和時(shí)間同時(shí),滲透數(shù)學(xué)“基本思想”的教學(xué),關(guān)注課本“課題學(xué)習(xí)”、“閱讀與思考”與“數(shù)學(xué)活動(dòng)”等教學(xué).讓學(xué)生“活”起來(lái),不僅僅體現(xiàn)在課堂上的熱鬧(外顯),更應(yīng)關(guān)注學(xué)生們的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(內(nèi)顯)的交流、分享與體驗(yàn)等等.作為教師不僅僅教會(huì)學(xué)生解題,更應(yīng)該學(xué)會(huì)與學(xué)生的及時(shí)溝通交流、質(zhì)疑互動(dòng),還要相互取長(zhǎng)補(bǔ)短,互進(jìn)互長(zhǎng),不斷優(yōu)化教學(xué)策略與方法等.初中(三年)階段的教學(xué),不僅僅關(guān)注課堂內(nèi)的教學(xué),還要關(guān)注課堂外的拓展與延伸.我們深知,培養(yǎng)與提升初中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)并非一朝一夕,這不僅僅需要用心、細(xì)心,更需要耐心、恒心等.

回想?yún)⒓?016年7月5日—7日(暑期檔),李庾南老師“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”海門(mén)市實(shí)驗(yàn)區(qū)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)會(huì)議上,南通市數(shù)學(xué)教研員袁亞良老師明確指出:在歷年難度基本不變,題量基本不變,命題原則基本不變(維穩(wěn))的前提下,改進(jìn)南通中考數(shù)學(xué)命題思路和套路迫在眉睫!命題改革要“三化”,即:題型設(shè)置力求多樣化、破解壓軸考題程式化、引領(lǐng)解題教學(xué)科學(xué)化.因此,給我們的師生明確了新目標(biāo)和要求的同時(shí),思考如何面對(duì)新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)?如何傳承并發(fā)揚(yáng)新教育理念……需要實(shí)踐中創(chuàng)新,且行且思考!