河北省石家莊市第十七中學(xué)(050056) 趙然

平面向量的教材分析與解題策略研究

河北省石家莊市第十七中學(xué)(050056) 趙然

一、向量的地位與作用

向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用很廣,在解析幾何中應(yīng)用更為直接,用向量方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題.從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看,在歷史上很長一段時間,空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家認(rèn)識.直到19世界末20世紀(jì)初,人們才把空間的性質(zhì)與向量運算聯(lián)系起來,使向量成為一套優(yōu)良運算通性的數(shù)學(xué)體系.

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算,從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景.

在高中數(shù)學(xué)中引入向量,是適應(yīng)時代發(fā)展對數(shù)學(xué)教學(xué)的需要,也是為學(xué)生提供一種重要的、有價值的數(shù)學(xué)工具,同時又創(chuàng)設(shè)了能促使學(xué)生從一種新角度來進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的情景,從而能更完整、更合理的構(gòu)建學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本技能.

二、《平面向量》章節(jié)的教材內(nèi)容分析與思想方法

向量作為溝通數(shù)和形的重要工具,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一.在本章介紹向量概念時,重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別,然后又重新規(guī)定了向量代數(shù)的部分運算法則,包括加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運算法則.之后,又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來.

平面向量有著清晰的三條主線:符號形式、幾何形式、坐標(biāo)形式.符號形式與坐標(biāo)形式反映了向量的數(shù)字抽象化:幾何形式反映了向量的圖形直觀化,兩者相輔相成、相得益彰.所以數(shù)形結(jié)合思想是解決向量問題的最常用的數(shù)學(xué)思想.平面向量的這種特點簡潔直觀的表示如下.

圖1

高中數(shù)學(xué)平面向量的知識體系主要包括向量的定義、向量的運算、向量的位置關(guān)系,而每一塊的每一點知識都對應(yīng)著向量的三種表現(xiàn)形式:符號、圖形、坐標(biāo).所以把《平面向量》章節(jié)看似凌亂的知識,可以通過以下表格系統(tǒng)的呈現(xiàn)出來.

幾何圖形代數(shù)符號坐標(biāo)向量的定義向量表示有向線段→a,→b,-→AB→a=(x1,y1),→b=(x2,y2) |→a|=√向量大小|→a|2=→a2有向線段的長度x21+y21零向量→0長度為0,方向任意→0=(0,0)單位向量→a|→a|長度為1,方向不定(x,y),x2+y2=1→a=→b相等向量長度相等,方向相同x1=x2,y1=y2相反向量長度相等,方向相反x1=-x2,y1=-y2BC=-→AC-→→a=-→b向量的運算平行四邊形、三角形加法AB+--→→a+→b=(x1+x2,y1+y2)減法→AB-→AC=→CB三角形法則→a-→b=(x1-x2,y1-y2)數(shù)乘長度|λ→a|=|λ||→a|方向由λ的正負(fù)決定λ→a=(λx1,λy1)λ→a數(shù)量積→a·→b=|→a||→b|cos〈→a,→b〉一個向量的長度乘以另一個向量在其方向上的投影→a·→b=x1x2+y1y2向量的位置關(guān)系平行→a=λ→b〈→a,→b〉=0°或180°x1=λx2,y1=λy2垂直→a·→b=0〈→a,→b〉=90°x1x2+y1y2=0夾角cos〈→a,→b〉=→a·→b|→a||→b| cos〈→a,→b〉= x1x2+y1y2√x21+y21·√x22+y22

本章的思想方法有:數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想、建模思想.數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)于向量的幾何形式和代數(shù)形式,幾何運算和代數(shù)運算的緊密聯(lián)系,也體現(xiàn)于解決問題中的以形助數(shù),以數(shù)解形,數(shù)形共存.

圖2

轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)的相互轉(zhuǎn)化:在向量的模計算,起點不在原點的向量轉(zhuǎn)化為起點在原點的向量,從而得到兩點的距離:向量模的運算轉(zhuǎn)化為向量的運算:向量的定比分點坐標(biāo)關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為向量共線關(guān)系:函數(shù)圖象按向量平移轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象按上下左右平移:解斜三角形問題中邊角條件相互轉(zhuǎn)化.

例2. 平面向量則這樣的向量有( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

方程思想體現(xiàn)在用向量解決幾何圖形中線段的比例關(guān)系,求滿足條件的點的坐標(biāo),解斜三角形問題中計算邊或角.

例3. 平面內(nèi)給定三個向量求滿足→a=m→b+n→c的實數(shù).

本題將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式,考查方程思想的應(yīng)用.

函數(shù)思想體現(xiàn)在向量與三角函數(shù)的關(guān)系中,同時也較多的體現(xiàn)在一些看似獨立的向量問題中.

圖3

三、平面向量問題的解題策略分析

無論試題如何變化,代數(shù)符號、圖形、坐標(biāo)是平面向量的三種體現(xiàn)形式這是永遠(yuǎn)不會改變的,換句話說任何一道關(guān)于向量的試題都可以從向量的代數(shù)運算、圖形運算、坐標(biāo)運算三條思路來探尋解決問題的突破口.下面我通過幾個典型例題加以說明.

例5. 2008年浙江理科第9題已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量則 |→c|的最大值是( )

本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運算問題,屬于中檔難度試題,題目新穎、解法多樣.答案為C

圖4

思路二:利用向量的幾何運算,通過向量的圖像特征構(gòu)造已知條件,挖掘、延伸已知條件.由于與垂直,所以A,B,C,D四點共圓.以點A為起點的向量→c的終點在以BD為直徑的圓上.

圖5

圖6

這道題難度較大,特別是如果單純的通過向量的幾何形式構(gòu)建已知條件,難以實現(xiàn):但是發(fā)現(xiàn)∠AOB為直角,所以考慮建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運算處理條件.

所以產(chǎn)生了第一種思路:

圖7

第二種思路:

綜上所述,在教學(xué)中應(yīng)該以向量的三種表示為綱,建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò).以三種表示下的三種運算理清知識結(jié)構(gòu).然后溝通與函數(shù),三角、幾何的關(guān)系.向量的三種解題策略展現(xiàn)了解決向量問題的三種解題思路,在教學(xué)中應(yīng)注重一法多題與一題多法的應(yīng)用,通過一法多題揭示方法的本質(zhì)特點:通過一題多法建立方法間的聯(lián)系,拓寬解題思路.從而建立向量的知識方法體系,提高解決向量問題綜合能力.