求參數(shù)范圍問(wèn)題中的一類錯(cuò)因分析

王會(huì)銀

（江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)）

求參數(shù)范圍問(wèn)題中的一類錯(cuò)因分析

王會(huì)銀

（江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)）

恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，此類問(wèn)題常與求參數(shù)范圍結(jié)合出現(xiàn)在高考題中，是熱點(diǎn)也是難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，本文從邏輯的角度對(duì)此類問(wèn)題的錯(cuò)誤原因進(jìn)行探析。

由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知：h（x）min=h（1）=3 ∴由①得a≤3

而φ（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)且當(dāng)x→+∞時(shí)，φ（x）→+∞

所以滿足條件②的a不存在.

綜合上述研究可得a的取值范圍是a≤3.

圖1

由（Ⅱ）對(duì)?x＞0成立得滿足條件的a不存在，所以a的取值范圍是a≤0

事實(shí)上，若將a換成y，我們可以從圖形的角度來(lái)分析上述解法的錯(cuò)誤（線性規(guī)劃的思想）得到正確解法。

圖2

圖3

下面再給出例1的兩種正確解法。

圖4

分情況討論：

所以當(dāng)a≤0時(shí)f（x）≥0恒成立.

只要研究f（x）在（0，+∞）上的最小值，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得f2（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，f1（x）在（0，1）上單調(diào)減在（1，+∞）上單調(diào)增，所以要分情況討論：

f（1x）在［，+∞）上是增函數(shù)，f（2x）在（0，］上是減函數(shù)

所以（fx）min=（f）=-1≥0 ∴a≤4又∵a≥2 ∴2≤a≤4

f（1x）在［，1］上單調(diào)減在［1，+∞）上單調(diào)增

f（2x）在（0，］上是減函數(shù) ∴（fx）min=（f1）=3-a≥0 ∴a≤3

∴0＜a＜2時(shí)，f（x）≥0恒成立.

由上述討論可知a的取值范圍是幾種情況的并集（-∞，0］∪（0，2）∪［2，4］=（-∞，4］

總結(jié)：解法1和解法2都用到了“分離變量法”，解法4用到“研究含參函數(shù)最值法”，這兩種方法都是解決不等式恒成立問(wèn)題的常用方法，前三種解法都用到“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問(wèn)題涉及的函數(shù)圖象是學(xué)生熟悉的圖像時(shí)，“數(shù)形結(jié)合”顯然是一種簡(jiǎn)潔有效的方法。

二、形如f（a，x）g（a，x）＞0恒成立問(wèn)題中的錯(cuò)因分析

問(wèn)題二：（浙江2012理科卷17題）設(shè)a∈R，若x＞0時(shí)均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=___________

錯(cuò)解：等價(jià)轉(zhuǎn)化為［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0對(duì)?x＞0恒成立

對(duì)錯(cuò)解糾正可以得到下面的正確解法：

即（Ⅰ）對(duì)?x∈［2，+∞）恒成立或（Ⅱ）對(duì)?x∈（0，2］恒成立.

此題還有多種其他解法，下面給出其中的兩種：

圖5

圖6

圖7

正解2：（數(shù)形結(jié)合）設(shè)y1=（a-1）x-1（x＞0），y2=x2-ax-1（x＞0）

①當(dāng)a≤1時(shí)，y1＜0，y2的值在x→+∞時(shí)y2→+∞，因而不滿足y1y2≥0對(duì)?x＞0恒成立

正解3：（函數(shù)與方程思想）設(shè)f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1），研究方程［（a-1）x-1］（x2-ax-1）=0（*）分情況討論：

①當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x2+x+1，f（2）=-1＜0，所以不符合題意

②當(dāng)a＜1時(shí)，方程x2-ax-1=0有一正一負(fù)兩不等實(shí)根，方程的根（a-1）x-1=0，所以方程（*）有一正兩負(fù)的實(shí)根，由三次函數(shù)圖像（圖6）知f（x）≥0不恒成立

總結(jié)：上述兩例的邏輯錯(cuò)誤實(shí)際上都是“或”惹的禍，即（Ⅰ）或（Ⅱ）對(duì)?x∈D恒成立不等價(jià)于（Ⅰ）對(duì)?x∈D恒成立或（Ⅱ）對(duì)?x∈D恒成立，對(duì)此類問(wèn)題還是以數(shù)形結(jié)合或分類討論的方法處理較為穩(wěn)妥。

羅增儒.一道不等式恒成立高考題的錯(cuò)解分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（9）.

●編輯 李博寧