楊紅莉+曾憲陽(yáng)

（1.南京工程學(xué)院數(shù)理部，江蘇 南京 211167；2.南京工程學(xué)院工業(yè)中心，江蘇 南京 211167）

摘要：高等數(shù)學(xué)是高?；A(chǔ)課程之一，其學(xué)習(xí)的核心不僅在于知識(shí)的掌握，更在于思維方式的學(xué)習(xí)。系統(tǒng)思維和逆推思維的應(yīng)用不僅能提高高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，也可幫學(xué)生更好的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)。文中結(jié)合本人教學(xué)實(shí)踐，探索教師在教學(xué)及學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)如何具體應(yīng)用系統(tǒng)思維和逆推思維。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)思維；逆推思維；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類(lèi)號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）52-0190-02

一、引言

為什么我們的學(xué)?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才？距離錢(qián)學(xué)森之問(wèn)，已俞一旬，國(guó)內(nèi)教育已經(jīng)取得了可喜的進(jìn)步與成就。然而，尚有某些地方有待優(yōu)化。正如國(guó)外某知名大學(xué)的校長(zhǎng)所說(shuō)，中國(guó)留學(xué)生們勤奮是有的，創(chuàng)新也不缺，可有一點(diǎn)，很令人感到遺憾，那就是中國(guó)留學(xué)生們，不敢質(zhì)疑教授，遑論與教授爭(zhēng)論。質(zhì)疑是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的起點(diǎn)，古人云：“學(xué)貴多疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”，由此可見(jiàn)一斑。而令人遺憾的是，質(zhì)疑精神的確為現(xiàn)代學(xué)生所欠缺，實(shí)際教學(xué)經(jīng)歷也印證了這一點(diǎn)。學(xué)生們大多沉默地聽(tīng)講，鮮有提出不同見(jiàn)解的。基于當(dāng)前這些現(xiàn)象，本文將論述兩種思維方法——系統(tǒng)思維和逆推思維，希望能對(duì)高校教師教學(xué)有所襄助，對(duì)莘莘學(xué)子學(xué)習(xí)有所裨益。

二、系統(tǒng)思維及其應(yīng)用探討

通俗地說(shuō)，系統(tǒng)思維就是將所學(xué)習(xí)的內(nèi)容按并列、從屬等關(guān)系分類(lèi)、歸納并總結(jié)后，創(chuàng)建一個(gè)知識(shí)體系。分類(lèi)的過(guò)程類(lèi)似于將發(fā)到手的牌按一定順序整理好的過(guò)程。對(duì)知識(shí)分類(lèi)之后歸納總結(jié)的過(guò)程則仿若插花。不同種類(lèi)的花，經(jīng)由心靈手巧的插花人妙手撥弄，無(wú)形之中形成了一種藝術(shù)美，繽紛而又融洽。無(wú)論是教還是學(xué)，善學(xué)善思者，美甚矣。然而知識(shí)的浩瀚繁復(fù)，不由得對(duì)這種插花似的整理過(guò)程的要求高了起來(lái)。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，稀里糊涂地規(guī)避可能的陷阱，跌跌撞撞地前進(jìn)，讓很多學(xué)生感覺(jué)到深深的疲倦和勞累，遑論對(duì)高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程產(chǎn)生熱愛(ài)與激情了。質(zhì)疑教授乃至于與其思維碰撞產(chǎn)生火花，更加是不可能的了。

1.系統(tǒng)思維，輔助工具。系統(tǒng)思維最常見(jiàn)的表達(dá)形式有流程圖、思維導(dǎo)向圖等。高等數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高級(jí)階段，本身也是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)章節(jié)或概念之間有深層且密切的聯(lián)系，使用思維導(dǎo)圖可以讓這些關(guān)系自然彰顯。一個(gè)最簡(jiǎn)單的思維導(dǎo)向圖是“等價(jià)無(wú)窮小”什么時(shí)候易出錯(cuò)，及出錯(cuò)的原因。

2.系統(tǒng)思維，在于理清脈絡(luò)，不重不漏。高校教師們常常是根據(jù)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯順序進(jìn)行備課及授課的，在講課的過(guò)程中，知識(shí)的樹(shù)從無(wú)到有，從輪廓到細(xì)節(jié)，逐步細(xì)化逐步充實(shí)。然而也正因如此，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中常會(huì)顧此失彼，有的知識(shí)掌握不牢固，甚至可能現(xiàn)學(xué)現(xiàn)忘。在講課的過(guò)程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生的困惑，幫助學(xué)生用精煉的語(yǔ)句準(zhǔn)確的表述其困惑，最終拋出問(wèn)題，以引導(dǎo)學(xué)生們思索。我們教育工作者需要激勵(lì)學(xué)生們進(jìn)一步思考，以建立一個(gè)更完善的知識(shí)體系，提高學(xué)習(xí)效率。在我們教育工作者潛移默化的影響下，學(xué)生漸漸有能力且有興趣主動(dòng)思索，提出問(wèn)題，乃至可以就某些知識(shí)點(diǎn)與教師進(jìn)行持久深刻的探討和爭(zhēng)論。毫無(wú)疑問(wèn)學(xué)習(xí)效率高的學(xué)生，往往是運(yùn)用系統(tǒng)思維學(xué)習(xí)的佼佼者。授人以魚(yú)，不如授人以漁?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰也認(rèn)為，“教育的宗旨不在于把盡可能多的東西教給學(xué)生，取得盡可能大的效果，而在于教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)發(fā)展自己，以及離校后繼續(xù)發(fā)展。”因此在教學(xué)中，除了教會(huì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)知識(shí)外，更重要的是教學(xué)生學(xué)習(xí)方法，同時(shí)培養(yǎng)其創(chuàng)新思維能力。

3.系統(tǒng)思維，用于串聯(lián)章節(jié)，引導(dǎo)思維。教師們通過(guò)有意識(shí)的應(yīng)用系統(tǒng)思維教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)思考，可以幫助學(xué)生及時(shí)串聯(lián)章節(jié)并作出系統(tǒng)的歸納。以極限為例，我們知道極限是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)乃至積分學(xué)中的基礎(chǔ)，舉足輕重，我們可以引導(dǎo)學(xué)生們應(yīng)用系統(tǒng)思維把所有求極限的方法串聯(lián)起來(lái)。

三、逆推思維及其應(yīng)用探討

教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該善于把握理論闡述與實(shí)際應(yīng)用之間的關(guān)系，盡可能讓學(xué)生們?cè)诶斫饫碚摰耐瑫r(shí)，具備解題能力和實(shí)際應(yīng)用能力。而在這過(guò)程中，逆推思維有著不可取代的地位。因?yàn)椴徽撟鍪裁矗傆锌赡苡龅狡款i，停滯不前。此時(shí)可以鼓勵(lì)學(xué)生先換個(gè)思路解出結(jié)果，然后嘗試反向的推理，在曾經(jīng)難以寸進(jìn)的地方，找出先前理解上的誤區(qū)，從而修正錯(cuò)誤。這就是逆推思維，它類(lèi)似于中醫(yī)學(xué)望聞問(wèn)切里的望，由已經(jīng)出現(xiàn)的征兆，推斷成因。

1.逆推思維，在于執(zhí)果索因、排錯(cuò)解惑。教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生們嘗試使用多種方法求解同一道題，讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)殊途同歸的美。各種方法之間優(yōu)劣互補(bǔ)、相得益彰，就像七色花，風(fēng)姿綽約，讓人移不開(kāi)眼。數(shù)學(xué)的瓊包就這樣在學(xué)生的細(xì)細(xì)思索中靜靜開(kāi)放，馥郁芳香。逆推思維在于執(zhí)果索因，但因果之間的聯(lián)系也往往不是釣魚(yú)，一魚(yú)餌對(duì)應(yīng)一條釣上的魚(yú)那般簡(jiǎn)單。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常有看似同類(lèi)，解法各異的題目，如同有些病癥看似相同，由于其發(fā)病機(jī)理不同，用藥也當(dāng)有所區(qū)別。思維訓(xùn)練得到加強(qiáng)，解題能力自然會(huì)提高，在此基礎(chǔ)上，還需教師設(shè)計(jì)較多的具有啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維的練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生思維方式的形成。為了讓學(xué)生更好的區(qū)分易混淆的知識(shí)點(diǎn)，教師可以準(zhǔn)備一些代表性的題目，讓學(xué)生對(duì)比訓(xùn)練，使其在比較中學(xué)會(huì)分析，在比較中學(xué)會(huì)判斷，在比較中掌握方法。

2.逆推思維，用于理清思路。精于逆推思維的人，不僅可以從題目中看到所需的知識(shí)點(diǎn)、出題人的意圖，還可以舉一反三。當(dāng)學(xué)生們精于此道時(shí)，便可撥開(kāi)迷霧，有的放矢，不斷的成功能增強(qiáng)學(xué)生自信，遇到困難就不會(huì)如從前一般輕易放棄，從而構(gòu)成一個(gè)良性循環(huán)?？茖W(xué)研究中所需要的韌性便這樣逐漸的形成。當(dāng)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法解答問(wèn)題時(shí)，可在矛盾問(wèn)題可拓模型基礎(chǔ)之上找出核心問(wèn)題，然后實(shí)施逆向變換，進(jìn)而獲得逆向策略集，再以逆向變換引起的傳導(dǎo)變換的最終效應(yīng)，去評(píng)價(jià)逆向策略的優(yōu)劣性，最后選出滿(mǎn)意的策略，去解決最初的矛盾問(wèn)題。

3.逆推思維，用于推理論證。逆推思維可以用來(lái)排除一些錯(cuò)誤，也可以用來(lái)嘗試證明一些結(jié)論。用逆推思維來(lái)證明某個(gè)結(jié)論很好理解，至于寫(xiě)推理過(guò)程時(shí)，就可以不按逆向思維來(lái)寫(xiě)，以彰顯各個(gè)結(jié)論間的因果先后關(guān)系。證明題考的往往是知識(shí)的聯(lián)系與實(shí)際應(yīng)用。很多同學(xué)看到答案，常常會(huì)感嘆，這題原來(lái)這么容易，自己居然沒(méi)有想出來(lái)，而悔恨懊惱。證明題是最有可能多解，也是最有可能用到多章節(jié)不同知識(shí)的題目。因此，證明題的難度較大，常放在試卷最后幾題。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，還可從其他方面進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練。即，注意闡述定義的逆向使用；注意公式及定理的逆向使用；對(duì)問(wèn)題的常規(guī)解法進(jìn)行反向思考；注意采用反證法等。

四、結(jié)論

系統(tǒng)思維和逆推思維只是思維世界的冰山一角，不論我們是嘗試解決何種問(wèn)題，最好能做到大處著眼，小處著手，因時(shí)制宜，因事制宜，行于所當(dāng)行，止于所不可不止?？捎们业拇_大有裨益、省時(shí)省力的情況大膽使用這兩種思維，此即行于所當(dāng)行；沒(méi)有必要乃至有可能阻礙目標(biāo)達(dá)成時(shí)能果斷放棄，此即止于不可不止。

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