高職數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和思考

趙麗姝

摘 要：隨著我國高職教育的快速發(fā)展，我國高職院校在數(shù)學(xué)教學(xué)中也取得了長足進(jìn)步。高職院校在教學(xué)過程中應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)教學(xué)的作用，注重發(fā)揮導(dǎo)數(shù)教學(xué)的作用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中提高導(dǎo)數(shù)教學(xué)的有效性，讓學(xué)生能夠充分運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行解題，從而使得高職院校的學(xué)生能夠全面提升導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力，提高他們的解題能力，讓他們的數(shù)學(xué)解題能力得到全面提高。該文筆者主要探討高職數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的作用以及應(yīng)用，以供參考。

關(guān)鍵詞：高職數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用能力 思考

中圖分類號：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）09（a）-0140-02

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，作為重要的解題工具，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用不僅能夠有效解決函數(shù)問題，還能夠分析函數(shù)中的極限值和單調(diào)性問題，為函數(shù)的解決問題手段提供有效幫助，在目前的高職數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，函數(shù)的極值問題和單調(diào)性問題都能夠?yàn)楹瘮?shù)提供有效解決手段，這也是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)能夠解決的函數(shù)問題，可以說函數(shù)的重點(diǎn)在于教學(xué)過程，這也是為何導(dǎo)數(shù)成為高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要解題方式，并且能夠在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。

1 導(dǎo)數(shù)能夠解決的函數(shù)問題

1.1 導(dǎo)數(shù)能夠有效解決高職數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題

在高職數(shù)學(xué)中，函數(shù)是重要的知識點(diǎn)，如果不能正確掌握函數(shù)知識，將會影響高職學(xué)生數(shù)學(xué)的最終學(xué)習(xí)效果。而函數(shù)的解題是一個(gè)難點(diǎn)，如何保證函數(shù)解題有效性成為了高職數(shù)學(xué)的研究重點(diǎn)。而導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)，為函數(shù)解題提供了新的方法。

1.2 導(dǎo)數(shù)能夠?qū)Ω呗殧?shù)學(xué)問題的解決起著重要作用

利用導(dǎo)數(shù)解題，目前已經(jīng)成為解決高職數(shù)學(xué)問題的有效手段，在導(dǎo)數(shù)解題的過程中，學(xué)者們不但要學(xué)會導(dǎo)數(shù)解題的具體方法，同時(shí)還要培養(yǎng)導(dǎo)數(shù)解題的意識，認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)解題對解決高職數(shù)學(xué)問題起到的重要作用。

1.3 導(dǎo)數(shù)能夠有效解決高職數(shù)學(xué)問題

在高職數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)知識具有重要地位，導(dǎo)數(shù)知識不但本身屬于高職數(shù)學(xué)的重要組成部分，同時(shí)還成為了解決高職數(shù)學(xué)問題的有力手段，因此，要正確認(rèn)識導(dǎo)數(shù)知識在解決高職數(shù)學(xué)問題中的促進(jìn)作用。

2 導(dǎo)數(shù)在高職數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

（1）邊際與邊際分析。

如果在處可導(dǎo)，那么它在處的變化率為，即函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，在經(jīng)濟(jì)分析中稱它為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值。設(shè)在點(diǎn)處，從改變一個(gè)單位時(shí)，的增量的準(zhǔn)確值為，由于實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題中，一般是一個(gè)比較大的量，而與相比就可以看作是一個(gè)相對較小的量，由微分學(xué)可知，的近似值可表示為。這說明在點(diǎn)處，當(dāng)改變一個(gè)單位時(shí)，近似的改變個(gè)單位。在實(shí)際應(yīng)用中，通常略去“近似”二字，來解釋邊際函數(shù)的定義。于是，就有以下定義：設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)為邊際函數(shù)，稱為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值。

（2）彈性與彈性分析。

彈性也是高職數(shù)學(xué)中重要的概念之一，它反映了一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化對另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的影響程度。彈性常用于對需求、供給、生產(chǎn)收益等問題的討論。彈性的計(jì)算有兩種：點(diǎn)彈性和弧彈性。這里我們只介紹函數(shù)的點(diǎn)彈性。下面將給出一般函數(shù)的彈性定義。設(shè)函數(shù)，和分別為自變量和函數(shù)的絕對改變量，和分別稱為自變量的相對改變量和函數(shù)的相對改變量，而稱為函數(shù)從到兩點(diǎn)間的彈性，若在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為在點(diǎn)處的彈性，記作。對于一般的，是的函數(shù)，稱為的彈性函數(shù)。在點(diǎn)處的值記為，當(dāng)很小時(shí)，在點(diǎn)的彈性。這說明，表示在點(diǎn)處，當(dāng)相對改變量為1%時(shí)，近似改變了%（在應(yīng)用中常常略去“近似”），也就是說，反映隨的變化而變化的幅度，即對變化反應(yīng)的靈敏度。

（3）優(yōu)化分析。

高職數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的優(yōu)化問題，例如：最大產(chǎn)出分析、最大收入分析、最大利潤分析、資源合理利用的優(yōu)化分析等，數(shù)學(xué)的最優(yōu)化求解方法是這類問題的主要解決方法。進(jìn)行優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者以最低的生產(chǎn)成本獲得最大化收益，意義非常深遠(yuǎn)。這里考慮運(yùn)用邊際函數(shù)求最大利潤。利潤等于收入減去成本，邊際利潤為邊際收入減去邊際成本，即ML=MR-MC。

當(dāng)MR-MC>0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)品，所增加的收益大于所增加的成本，因而總利潤增加，但沒能達(dá)到獲得最大收益的規(guī)模，此時(shí)，企業(yè)應(yīng)該擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模。

當(dāng)MR-MC<0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)品，所增加的收益要小于所增加的成本，從而總利潤減少，說明企業(yè)應(yīng)該減少生產(chǎn)規(guī)模。

當(dāng)MR-MC=0時(shí)，即MR=MC，企業(yè)達(dá)到最優(yōu)的產(chǎn)量規(guī)模。即L（x）取得最大值的必要條件是：邊際收益與邊際成本相等。另外，如果要保證利潤取得最大值，利潤對產(chǎn)量的二階導(dǎo)數(shù)必須小于零，即：<0。其中，是邊際收益的變化率，即邊際收益曲線的斜率，是邊際成本的變化率，即邊際成本曲線的斜率。所以，利潤最大化的必要條件是邊際收益邊際成本相等，充分條件是邊際成本曲線的斜率大于邊際收益的曲線的斜率。不管是競爭性的還是非競爭性的企業(yè)都適用。

通過以上分析，學(xué)者發(fā)現(xiàn)，在達(dá)到某一點(diǎn)之前，增加產(chǎn)量會使企業(yè)獲利增加；過了這一點(diǎn)，產(chǎn)量增加反而會使利潤減少。

2.2 導(dǎo)數(shù)在高職數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在求極限方面的應(yīng)用。求一個(gè)分式函數(shù)的極限時(shí)，若分子、分母的極限分別都為0，這種類型的極限有可能存在也有可能不存在，稱為型未定式極限，不能直接利用極限的四則運(yùn)算法則，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)是求未定式極限，也就是洛必達(dá)法則，這是一種有效的方法。

3 高職院校培養(yǎng)學(xué)生導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的思考及重要性

導(dǎo)數(shù)在高職數(shù)學(xué)中對學(xué)生的培養(yǎng)具有重要作用，不僅能夠提高學(xué)生的解題能力，還能夠結(jié)合實(shí)際將解題中遇到的問題應(yīng)用到實(shí)際中，因此，筆者認(rèn)為高職院校培養(yǎng)學(xué)生導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力是十分重要的。主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：首先，高職院校培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題可以提高學(xué)生的實(shí)際解題能力考慮到導(dǎo)數(shù)在解題過程中的重要作用，高職院校在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)積極培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的意識，并將導(dǎo)數(shù)解題作為重要的解題手段來開展，使學(xué)生能夠更好掌握導(dǎo)數(shù)解題技巧。其次，高職院校培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性由于高職院校主要是以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力為主，因此，導(dǎo)數(shù)解題這一重要的數(shù)學(xué)手段可以對高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性的提高產(chǎn)生重要促進(jìn)作用。因此，要正確認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)解題意識對高職院校的重要影響。最后，高職院校培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題可以拓展學(xué)生的知識面，使學(xué)生具備全面發(fā)展的素質(zhì)。

4 結(jié)語

綜上所述，高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重的是導(dǎo)數(shù)的解題過程和技巧，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的解題能力和解題意識，從根本上將學(xué)生綜合運(yùn)用和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的能力提高起來，讓高職院校的學(xué)生有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的能力，通過以上可以發(fā)現(xiàn)，目前我國高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)還不夠成熟，但是從目前的整體教學(xué)體系來看，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題是十分必要的，這也是在高職院校中積極培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的意識，這種意識的培養(yǎng)不僅能夠有效促進(jìn)高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)的開展，同時(shí)也是對高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)，對發(fā)展我國高職數(shù)學(xué)教育教學(xué)具有重要意義。

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