江蘇省射陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 施海麗

巧用中位線定理，解答幾何證明題

江蘇省射陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 施海麗

中位線定理是幾何證明部分常用的知識，包括三角形中位線和梯形中位線定理，定理的內(nèi)容學(xué)生應(yīng)該都了如指掌。在此類題中，一般不會直接給出中位線，甚至不能直接應(yīng)用中位線定理解題，這就考驗(yàn)學(xué)生的想象力以及理論分析能力。本文分三點(diǎn)討論在題中沒有給出中位線的情況下，如何添加中位線以達(dá)到簡便解題的目的。

一、證明特殊圖形的形狀

特殊的圖形具有特殊的性質(zhì)，也分別具有不同的證明方法，這就要求學(xué)生對不同圖形的證明方法了如指掌。通過中位線定理可以找出互相平行或者相等的線段，對我們解決常見的幾何證明題有很大的幫助。

圖1

例1 如圖1所示，有兩個等邊三角形△ABD、△ACE，點(diǎn)F、G、

點(diǎn)撥：題中的輔助線連接之后,可以直接利用三角形中位線定理得出線段的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在看到題中沒有與中點(diǎn)相對應(yīng)的三角形的時候應(yīng)該想辦法構(gòu)造出三角形，不應(yīng)該直接放棄此種方法，這是解題的關(guān)鍵。

二、證明線段的位置和長度關(guān)系

線段所在的直線常見的需要證明的有垂直和平行關(guān)系，長度關(guān)系就是線段相等或者不等關(guān)系，線段的這些關(guān)系都是證明時常見的，將兩種情況結(jié)合在一起的目的是增大題目難度,同時還可以減少篇幅，做到全面系統(tǒng)的考查。

例2 如圖2所示，在Rt△ADE中，AD=DE，在Rt△ABC中，AB=BC，連接EC并取其中點(diǎn)M，連接MB和MD。（1）如果點(diǎn)D在AC邊上，點(diǎn)E在AB邊上且不與線段端點(diǎn)重合，求證BM垂直且等于DM；（2）如果將△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，此角小于45°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？寫出證明過程。

圖2

解 析：（1） 在Rt△EBC中，M為斜邊中點(diǎn)，因此BM=MC，同理，在Rt△EDC中有DM=MC，因此有BM=DM。角的關(guān)系有：

圖3

點(diǎn)撥：本題中對于中位線的運(yùn)用可以說是無處不在的，取不同邊的中點(diǎn)，構(gòu)造不同的三角形，進(jìn)而為中位線定理的運(yùn)用提供條件，充分利用了中位線所帶來的技巧性和簡便性，學(xué)生要懂得如何添加輔助線來實(shí)現(xiàn)最終的證明。

三、證明兩個角度相等

角度相等一般有兩種出題方式，直接證明角度相等或者證明直線是角的平分線。由于第一種情況較為常見，本文就不再介紹，下面通過例題來介紹第二種情況的出題方式和解題方法，為學(xué)生帶來不同的題型和思路。

解析：本題中已經(jīng)給出了梯形腰上的一個中點(diǎn)以及線段的數(shù)量關(guān)系，很顯然這時再補(bǔ)出另一個腰的中點(diǎn)就可以得到很多等量關(guān)系，取AB邊中點(diǎn)N，連接MN，由中位線定理可知，因?yàn)轭}中的等量關(guān)系A(chǔ)D+BC=AB得出MN=BN，即即BM平分。同理可證AM平分。

圖4

點(diǎn)撥：本題中對于角平分線的證明利用的是梯形的中位線定理，梯形是除三角形外另一個可以應(yīng)用中位線定理的圖形，梯形中對中位線定理的應(yīng)用更能簡化解題過程，由于定理在梯形中是恒成立的，因此我們也可以直接引用。

利用中位線定理在幾何證明中進(jìn)行應(yīng)用不光是上述介紹的內(nèi)容，還有對角、線段大小的比較，對線段等量關(guān)系的證明等等出題方式，但是思路都是類似的，我們要學(xué)會添加輔助線構(gòu)造可以應(yīng)用中位線定理的三角形或者梯形，然后利用中位線定理提供的線段位置和大小關(guān)系結(jié)合題中所給的條件完成解題。H分別為邊BC、BD、CE的中點(diǎn)。求證△FGH為等腰三角形。

解析：題中給出了多個中點(diǎn)，這在一定程度上暗示我們要利用中位線定理求解，但是根據(jù)題中條件畫出的圖形并不具備三角形中位線定理的應(yīng)用條件，連接CD、BE后，根據(jù)中位線定