江蘇省射陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 夏明亮
數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用
江蘇省射陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 夏明亮
二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),是每年中考的必考點(diǎn)。由于二次函數(shù)易與其他知識(shí)點(diǎn)相融合,經(jīng)常會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn),因此也是學(xué)生比較犯難的一類題目。利用數(shù)形結(jié)合思想,將“數(shù)”與“形”巧妙結(jié)合在一起,可以將繁瑣、抽象的函數(shù)問題變得簡(jiǎn)單化、直觀化,從而幫助學(xué)生更高效、準(zhǔn)確地解決好函數(shù)問題。
數(shù)形結(jié)合;圖像;二次函數(shù)
解決函數(shù)問題如果單從代數(shù)的角度出發(fā),往往會(huì)引起計(jì)算復(fù)雜、理解難等問題,而采用數(shù)形結(jié)合思想,畫出其函數(shù)圖像可以將抽象的數(shù)學(xué)問題更加直觀地展示出來,這樣不僅可以極大程度地簡(jiǎn)化計(jì)算,也促進(jìn)學(xué)生更好地分析題目。本文將通過一些實(shí)例,探析數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用。
求二次函數(shù)中的參數(shù)是二次函數(shù)基礎(chǔ)問題中常見的一種題型。解答該問題時(shí),如果采用解出帶參數(shù)的根的方法進(jìn)行解答,往往會(huì)使解題過程比較復(fù)雜。因此,我們可以畫出二次函數(shù)的圖像,然后通過分析圖像并結(jié)合題干所給出的條件列式計(jì)算。
解析:本題看似簡(jiǎn)單,由題干中的條件“有兩個(gè)交點(diǎn)”,可想到運(yùn)用即可解題,但是這樣解答就掉進(jìn)了命題人的陷阱中了,因?yàn)轭}干中還有一個(gè)重要的條件:“在原點(diǎn)兩邊”,因此用該方法解答出的答案是錯(cuò)誤的。通過觀察式子,發(fā)現(xiàn)參數(shù)是位于常數(shù)區(qū)域,即與y軸的交點(diǎn),可以想到根據(jù)題干條件畫出其圖像。由圖1我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí),就滿足了題目的條件了,從而解得故本題選擇A。
圖1
點(diǎn)撥:此題也可以利用求根公式將兩根求出,然后聯(lián)立不等式組解出答案,但是這樣計(jì)算量較大。而通過畫出滿足題目條件的函數(shù)圖像,即可很簡(jiǎn)單地將問題解決,不僅可以保證解題的準(zhǔn)確性,也提高了解題的效率。
二次函數(shù)的應(yīng)用題,其在中考中考查的頻率較高。該類題型常設(shè)置的問題一般包括二次函數(shù)的表達(dá)式、求最值等,解決該類問題的關(guān)鍵是從圖像出發(fā),根據(jù)函數(shù)圖像求出表達(dá)式,從而求出最值。
例2 如圖2所示,判斷一個(gè)高為2.8m,寬為2.4m的矩形能否穿過拱門?
解析:由題意可知,要想判斷是否能穿過,就是判斷寬為2.4m時(shí)其高是否超過2.8m。此時(shí)不妨建立如圖3所示的坐標(biāo)系,此時(shí)可得,此時(shí)就可以得到函數(shù)表達(dá)式當(dāng)寬為2.4m時(shí),即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)分別為,將其帶入函數(shù)表達(dá)式,即可得出,,從而得出,因此物體可通過。
圖2
圖3
點(diǎn)撥:解決此類問題就是要利用數(shù)形結(jié)合的思想,建立合適的直角坐標(biāo)系,從函數(shù)圖像入手,求出函數(shù)表達(dá)式即可解決問題。其中,在建立坐標(biāo)系時(shí)需要注意的是盡量建立比較簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系,這樣對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)也比較簡(jiǎn)單,有助于高效解題。
二次函數(shù)的綜合運(yùn)用涉及的知識(shí)點(diǎn)較復(fù)雜,其中包括二次函數(shù)、平面幾何等知識(shí),因此,此類問題的綜合性較強(qiáng),難度系數(shù)也比較高。解答此類問題需要充分利用圖形,靈活運(yùn)用各部分的知識(shí)點(diǎn)。
圖4
點(diǎn)撥:此題是以二次函數(shù)為載體,其解題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)。由于此類問題一般都是壓軸題,在解題初期可能會(huì)感到毫無(wú)思路,因此就要學(xué)會(huì)分析圖形,從圖像中尋找思路。
綜上所述,數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛的,因此在解題中要充分運(yùn)用其函數(shù)圖像并且聯(lián)系其函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)性質(zhì),這樣往往會(huì)使難題迎刃而解。所以,在今后的學(xué)習(xí)和做題中要充分了解、學(xué)習(xí)和運(yùn)用函數(shù)圖像,這樣不僅可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)得更加全面,也有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。