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      例談圖形的全等分割

      2017-03-29 18:34:06王翠玲
      關(guān)鍵詞:旋轉(zhuǎn)

      王翠玲

      [摘 要] 背景圖形不同,分割要求不同,對應(yīng)的分割方案也不同. 如以正方形為背景,把確定分割線的問題轉(zhuǎn)化為以正方形的中心為中心找成中心對稱的點;如在“非對稱圖形的全等分割”中,把“非對稱圖形”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的“對稱圖形”——矩形,以降低探究難度,破解分割障礙.

      [關(guān)鍵詞] 全等分割;折線型;曲線型;旋轉(zhuǎn)

      全等圖形是初中幾何的重要內(nèi)容之一,是學(xué)生從單一圖形過渡到復(fù)雜圖形的認知基礎(chǔ),其中全等圖形的分割設(shè)計是一項有意義、富有挑戰(zhàn)的教學(xué)活動. 在活動中,教師應(yīng)首先引導(dǎo)學(xué)生分析已知圖形——“父圖”的特征,抓住“全等圖形指的是兩個圖形能夠完全重合”的內(nèi)涵,根據(jù)要求進行全等分割,獲得“子圖”. 下面結(jié)合一些圖例,與大家一起分享.

      圖例賞析

      (一)以對稱圖形為背景

      1. 以圓為背景

      例1 要在圓形的空地上種植4種不同顏色的花,每種顏色的花集中種植,且所占地面的形狀、大小都相同,請畫出設(shè)計方案(分割線用實線表示).

      “種植4種不同顏色的花,每種顏色的花集中種植,且所占地面的形狀、大小都相同”,也就是把圓分割成4個全等的圖案. 如圖2,根據(jù)圓的軸對稱性可知互相垂直的兩條直徑便把圓分割成4個全等的扇形,這是絕大部分學(xué)生都可以想到的最基本的設(shè)計方法.

      這種方法所呈現(xiàn)的分割線是直線,我們稱之為“直線型”,該方法很容易被學(xué)生理解和接受,但此時學(xué)生的思維處于淺層次運作狀態(tài).

      教師可以再設(shè)置以下問題,引導(dǎo)學(xué)生探索不同的分割方法:

      (1)分割后,每一部分的面積與原來圖形面積有何數(shù)量關(guān)系?

      (2)“直線型”中的每一個扇形的圓心角是多少度?你能利用旋轉(zhuǎn)驗證“直線型”的合理性嗎?

      (3)分割線一定是直線嗎?折線、曲線行嗎?

      學(xué)生借助問題導(dǎo)航,根據(jù)分割要求(把圓分割成4個全等的圖案),通過獨立分析、嘗試畫分割線、小組合作交流等方式可以獲得不同的分割方法,筆者將其分割方法分為兩大類——“折線型”和“曲線型”.

      折線型 如圖3、圖4,巧用旋轉(zhuǎn)畫折線.

      如圖3,以折線0AB為基礎(chǔ)分割線,以點O為旋轉(zhuǎn)中心依次旋轉(zhuǎn)90°,每經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)得到一處分割線(如折線ODC,OFE,OHG). 從圖形直觀感知,我們可以看出此時分割的目的已經(jīng)達成.

      對于幾何圖形問題,我們重視幾何直觀的同時,也要重視合情說理. 如根據(jù)要求“把圓分割成4個全等的圖案”,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形構(gòu)成著手,認識到每一個圖形的面積等于圓的面積的1/4,理解“折線型”實質(zhì)上是在“直線型”的基礎(chǔ)上進行割補而已:如將原有(圖3)的扇形OCB中“割”去△AOB,又“補”了與之全等的△COD,利用等式性質(zhì)——以算代證,可知SBAODC=S扇OCB,且整個圓可以看作是由4個具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的全等“子圖”構(gòu)成的. (類似的,我們還可以設(shè)計圖4“法西斯”式的折線圖)

      曲線型 如圖5、圖6、圖7,巧用旋轉(zhuǎn)畫曲線.

      “折線型”和“曲線型”是在“直線型”基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造,是“直線型”的一種“轉(zhuǎn)型”,每一種分割方法都滲透著轉(zhuǎn)化、全等變換等思想. 如以4個全等扇形為基礎(chǔ),以等式的性質(zhì)為算理,在每一個對應(yīng)區(qū)域順次剪裁一個全等的圖形,使相鄰扇形的不同部分組合成新的圖形,從而獲得四等分全等分割. 殊途同歸,學(xué)生也可以以基本圖形為原型(如圖5中的基本圖形是),從圖形旋轉(zhuǎn)的角度(依次旋轉(zhuǎn)90°)進一步理解分割方案,這對于深化學(xué)生對全等圖形的認知、拓寬學(xué)生的思維,大有裨益.

      2. 以正方形為背景

      例2 已知正方形ABCD,要求將其分割成兩個全等圖形.

      教師可以設(shè)置以下問題串,引導(dǎo)學(xué)生思考、探索不同的分割方法:

      (1)分割后,每一部分的面積與原來圖形的面積有何數(shù)量關(guān)系?

      (2)正方形是軸對稱圖形嗎?是中心對稱圖形嗎?對稱中心是什么?

      (3)在例1中“把圓分割成4個全等圖形”,我們運用了90°的旋轉(zhuǎn)角,而例2要求把正方形分割成兩個全等圖形,我們能否也從旋轉(zhuǎn)的角度進行思考?旋轉(zhuǎn)角應(yīng)該是多少度?你有什么分割猜想?

      (4)分割線可以是直線嗎?折線、曲線行嗎?

      “如果我們成功地回想一個以前求解過的與我們當(dāng)前的題目有某些相關(guān)的題目,我們就很幸運. 我們應(yīng)該努力爭取并獲得這樣的幸運. ”教師要善于啟發(fā)學(xué)生遷移、類比相關(guān)知識,引導(dǎo)學(xué)生積極捕捉“幸運”知識鏈條. 顯然,類比例1的背景圖形——圓,例2中的正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,其分割方法有可借鑒之處. 幸運的是,通過學(xué)生的積極思考、嘗試分割,也獲得了“直線型”“折線型”和“曲線型”等分割方案.

      方法1 “直線型”,這是一種簡單易懂的分割方法,如圖8、圖9、圖10,過對稱中心的任意一條直線均是符合要求的分割線.

      教師可以結(jié)合圖10,引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理:如圖11,連接AC,因為點O是正方形ABCD的中心,所以AO=CO,根據(jù)“AAS”或“ASA”易證△AOE≌△COF,進而知四邊形AEFD≌四邊形CFEB.

      方法2 “折線型”:如圖12~圖15,以正方形ABCD的對稱中心O為中心,在滿足條件BE=DH,OF=OG的情況下(圖14的點E與點B重合,點H與點D重合;圖15的點E與點A重合,點H與點C重合),即確定了對稱點:點E和點H,點F和點G,也確定了折線段E-F-O與折線段H-G-O關(guān)于點O成中心對稱,進而獲得折分割線E-F-O-G-H,根據(jù)中心對稱的性質(zhì)(成中心對稱的兩個圖形全等)或利用等積轉(zhuǎn)化的方法(以其中一條對稱軸為分割參照線,輔助合情推理),驗證分割后的兩個圖形全等.

      方法3 “曲線型”,如圖16和圖17,與“折線型”相似,以中心對稱為理論依據(jù)(旋轉(zhuǎn)角為180°),在滿足相同條件下有規(guī)則地畫關(guān)于中心O對稱的弧線. 如圖16,直線EF是正方形的對稱軸,分別以O(shè)E,OF為直徑在正方形的對稱軸兩側(cè)畫半圓,這兩個半圓關(guān)于中心O成中心對稱,所獲得的兩部分為全等圖形, 則為分割線. 學(xué)生根據(jù)已有的推理經(jīng)驗,以正方形的對稱軸為輔助線,運用“割補”轉(zhuǎn)化的方法,易證分割后的“子圖形”對應(yīng)全等.?搖

      3. 變式:以網(wǎng)格線的對稱圖形為背景

      例3 用不同方法沿網(wǎng)格線把正方形分成兩個全等的圖形.

      其實,分割方法仍然類似,關(guān)鍵是確定對稱點、確定對稱線段,即抓住對稱中心發(fā)散線路(如圖18,點A,B關(guān)于中心O的對稱點分別是點D,C,則分割線為A-B-O-C-D). 與前例不同的是,此題中的關(guān)鍵詞是“沿網(wǎng)格線”,則對分割方法加以限制:分割線只能是水平的或豎直的,不能是斜線或曲線(如圖18、圖19).

      例4 把圖20中的網(wǎng)格圖形用一條折線沿網(wǎng)格線分割成兩個全等圖形. 請畫出兩種不同的分割方案,然后與同伴交流你的發(fā)現(xiàn).

      菱形既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形. 根據(jù)軸對稱性,學(xué)生容易獲得“直線型”分割方案(如圖21,AB是分割線);根據(jù)中心對稱性,學(xué)生借助已有的活動經(jīng)驗(以菱形的中心O為中心,確定對稱點線段,即抓住對稱中心發(fā)散線路)可以獲得不同的分割方法,如圖21、圖22、圖23和圖24.

      對稱圖形是初中幾何學(xué)習(xí)的“重頭戲”,所以以對稱圖形為背景研究全等圖形應(yīng)作為全等分割教學(xué)的重點,而在非對稱圖形中探究全等分割,可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

      (二)以非對稱圖形為背景

      例5 在圖25中沿網(wǎng)格線把圖形分割成兩個全等形.

      設(shè)小正方形的邊長為1,與“4×4型(邊長為4)”正方形相比,相當(dāng)于上面的“1×4型(寬為1,長為4)”矩形向右平移了1個單位長度. 根據(jù)正方形的軸對稱性,教師引導(dǎo)學(xué)生猜想:原對稱軸經(jīng)過“1×4型”矩形的部分是不是也應(yīng)向右平移一個單位長度?

      學(xué)生通過動手畫圖,獲得圖26所示的分割線,并進行操作驗證(平移),感受這種通過對比、關(guān)聯(lián)圖形而聯(lián)想到的方法. 對于這種分割方法,教師引導(dǎo)學(xué)生換一個角度分析,數(shù)學(xué)體驗也有所不同.

      從整體上看,背景圖形不具有對稱性,而從圖形組合的視角進行剖析,它可以看成是由幾個矩形組合而成的,而每一個矩形是對稱圖形!此時便將復(fù)雜的非對稱圖形轉(zhuǎn)化為簡單的對稱圖形,搭建起順利進行全等分割的“腳手架”.

      思路1 背景圖形可以看成是由兩個矩形構(gòu)成的:“1×4型”“3×4型”(圖27). 根據(jù)兩個矩形的對稱性,我們分別獲得分割線AB,CD,再連接BC,即運用A-B-C-D將該圖進行了全等分割,獲得與圖26一樣的分割線. 顯然,同一種分割方法,思考角度不同,數(shù)學(xué)理解不同,學(xué)生會滋生不同的知識生長點.

      從不同視角分析圖形,我們會獲得不同的結(jié)論,也可以獲得不同的方法. 對于該背景圖形,我們還可以進行如下分析與分割.

      思路2 背景圖形可以看成是由3個矩形構(gòu)成的:“1×4型”“2×4型”“1×4型”.

      首先突破分割難點:把兩個“1×4型”矩形看作對應(yīng)部分,沿網(wǎng)格線進行合理分割,再把“2×4型”矩形進行合理等分,并使得分割線完美對接,即把這個圖形分割成兩個全等圖形. 如圖28,其中的兩個“1×4型”矩形分別被AB,CD分割成1個正方形和3個正方形,“2×4型”被全等分割,則折線A-B-E-C-D即為分割線.

      圖29中的兩個“1×4型”矩形不分割,而是利用折線A-B-C-D-E-F-G將“2×4型”進行分割,并與“1×4型”矩形對應(yīng)組合,構(gòu)成倒“F”型的全等圖形.

      對于以上圖形的分割方案的合理性,學(xué)生可以運用翻折、平移等方法進行驗證和感悟.

      教學(xué)思考

      1. 充分理解圖形

      美國著名數(shù)學(xué)家G·波利亞指出“理解題目”的重要性:“如果學(xué)生還沒有理解題目,就著手計算和畫圖,那就可能發(fā)生最糟的事了. ”所以,擬定全等分割方案的前提是充分理解圖形.

      (1)立足圖形本身性質(zhì)

      全方位的觀察已知圖形,充分了解圖形本身的性質(zhì),這是正確設(shè)計全等分割的首要條件. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形蘊含的性質(zhì)出發(fā),根據(jù)分割要求不斷調(diào)整分割線、修正分割線,以獲得創(chuàng)意紛呈的分割線和全等圖形. 因此,在教學(xué)中,教師應(yīng)重視對幾何圖形基本條件和性質(zhì)的教學(xué),為學(xué)生搭建好深入探究問題的腳手架.

      (2)多角度的辯證分析圖形

      以前文的“非對稱性圖形背景”為例,其組成方式不唯一,站在“由兩個矩形構(gòu)成”的視角我們得到圖27的方案,站在“由3個矩形構(gòu)成”的視角我們得到圖28、圖29的方案. 從不同角度審視圖形能獲得不同的靈感,綻放不同的思維火花,收獲不同的分割方案,這種“多角度分析圖形”是形成多元化策略的基礎(chǔ).

      背景圖形是一個整體,亦是分成的幾個全等圖形的合體:沿分割線“分”“合”交替,整體可以分為若干全等的個體,個體亦可以合成完整的整體——“多圖合一”,即恢復(fù)成原來的背景圖形. 教師可以利用幾何畫板操作、演示等手段,引導(dǎo)學(xué)生辯證地分析圖形,讓學(xué)生體會圖形的“分”與“合”的多種策略,感受圖形之間蘊含的辯證思想,理解整體與個體的關(guān)系,增強對各種設(shè)計方案的感性認識,充分感受幾何圖形設(shè)計之妙.

      2. 挖掘關(guān)聯(lián)性知識點

      有的學(xué)生圖感很好,能較快地獲得分割線,但對于為什么這樣分割,這樣分割有什么理論依據(jù),如何驗證,由此帶來的數(shù)學(xué)知識還有哪些,卻不清楚,此時教師應(yīng)正確引導(dǎo)和點撥,讓學(xué)生“知其然,亦知其所以然”,以培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì),并獲得豐富的數(shù)學(xué)體驗.

      如以上圖例中,教師引導(dǎo)學(xué)生借助軸對稱、中心對稱分析圖形,鏈接平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等進行操作驗證,進一步感受常見的全等變換的應(yīng)用. 在教學(xué)中,教師應(yīng)“小題大做”,高角度審視原命題,理解題目蘊含的更深層次的知識點,契機設(shè)疑、追問,巧妙聯(lián)系、過渡,融入相關(guān)聯(lián)的知識點或?qū)υ}進行拓展變式.

      3. 關(guān)注數(shù)學(xué)思維

      (1)多種策略,延展思維的寬度

      優(yōu)秀的教師總是“勤”字當(dāng)先,從不拘泥于一個視角或一種解法,不以獲取答案作為解題終結(jié)目標,而是善于引領(lǐng)學(xué)生多角度分析問題,努力培養(yǎng)學(xué)生勤思考、勤探究的良好學(xué)習(xí)品質(zhì),并不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

      在本文圖例中,學(xué)生在掌握背景圖形性質(zhì)的前提下,從不同角度動手嘗試畫圖,形成不同全等分割方案;學(xué)生在探究多種解題策略的同時,積累了分析圖形的經(jīng)驗,拓寬了數(shù)學(xué)思維,有效提高了解題能力和思維水平.

      (2)推理驗證,培養(yǎng)思維的嚴謹性

      每一種全等分割策略形成之后,教師都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合情推理,驗證方案的正確性和可行性,這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性,并使學(xué)生逐步形成理性的、縝密的思維習(xí)慣.

      4. 滲透數(shù)學(xué)思想

      數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂. 前文圖形的全等分割策略中應(yīng)滲透轉(zhuǎn)化的思想方法,如例2,我們把確定分割線的問題轉(zhuǎn)化為以正方形的中心為中心找成中心對稱的線段,進而轉(zhuǎn)化為找成中心對稱的點;如例5,我們引導(dǎo)學(xué)生把“非對稱圖形”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的“對稱圖形”——矩形,降低了探究難度,破解了分割障礙. 把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題,這種轉(zhuǎn)化的思想方法是探究學(xué)習(xí)的基本策略.

      背景圖形不同,條件不同,分割要求不同,對應(yīng)的分割方案不同,教師要引導(dǎo)學(xué)生尋求有用的思路:“從不同的方面來考慮問題,強調(diào)不同的部分,考察不同的細節(jié),從不同的途徑反復(fù)考察同一細節(jié),以不同的方式組合這些細節(jié),從不同角度來處理它們”,并由此使學(xué)生生成不同的數(shù)學(xué)思考,積累豐富的活動經(jīng)驗,不斷提高解題能力和思維水平.

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