靳海濤

【摘要】 高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高一直是教育者關(guān)注的熱點(diǎn).極限是高等數(shù)學(xué)最重要的概念，是整個微積分的基礎(chǔ).本文結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對極限概念的教學(xué)進(jìn)行了一些探討.

【關(guān)鍵詞】 高等數(shù)學(xué)；極限；教學(xué)

【基金項(xiàng)目】 國家自然科學(xué)基金青年基金（項(xiàng)目號：11501416）.

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)非數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門核心課程，一般在大學(xué)一年級開設(shè).從內(nèi)容上講，高等數(shù)學(xué)既是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的推廣和擴(kuò)展，又為后續(xù)各專業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)；從教學(xué)要求上講，高等數(shù)學(xué)通過介紹微積分學(xué)的理論與方法，力求培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力.鑒于高等數(shù)學(xué)的重要性，它一直是絕大多數(shù)專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考科目.然而，教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對這門課的掌握程度完全沒有達(dá)到預(yù)期目標(biāo).很多學(xué)生“談高數(shù)而色變”，戲稱“從前有一棵高高的樹，上面掛了很多人”.因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革和教學(xué)方法研究逐漸成了大家的研究熱點(diǎn).本文結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，對極限概念的教學(xué)方面做了一些探討.

一、極限概念的重要性與教學(xué)要求

極限是微積分的主要理論基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中的后續(xù)概念如導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等都要以極限概念為基礎(chǔ)來建立，后續(xù)的諸多計(jì)算性質(zhì)也是由極限性質(zhì)來直接推出的.因此，如果極限概念掌握不好，后續(xù)學(xué)習(xí)將相當(dāng)困難.由于當(dāng)下高數(shù)課程的課時(shí)較為緊張，很多教師要么完全摒棄嚴(yán)格的極限概念，要么直接講嚴(yán)格的ε-N極限表達(dá)，這使得學(xué)生云里霧里，對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)十分不利.

另一方面，按照高等數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)中須遵循“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，注重理論聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)對學(xué)生基本運(yùn)算能力和分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，以努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì).因此，極限概念不宜講得過難，關(guān)鍵是要讓學(xué)生建立起極限思維和認(rèn)識到極限是一個變化過程.

二、極限概念的引入與建立

結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者在教學(xué)中一般采取如下教學(xué)步驟：

（一）還原極限發(fā)展過程，引發(fā)學(xué)生興趣

自公元前三四世紀(jì)產(chǎn)生極限思想的萌芽到德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出課本上的嚴(yán)格定義，前后跨越兩千三百余年，極限理解之難可見一斑.在教學(xué)中，首先，我們粗略介紹極限概念的發(fā)展歷程，使學(xué)生不感枯燥且能體會極限的基本思想.比如，《九章算術(shù)》中用割圓術(shù)計(jì)算圓的面積時(shí)，提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.在教學(xué)中，我們介紹阿基里斯悖論后，很多學(xué)生就已產(chǎn)生興趣，覺得這是“不可能的”，但細(xì)想之下又覺得有一定道理，迫切想知道正確解釋.

（二）采用“導(dǎo)—學(xué)—研”模式，從感性到理性，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索

《莊子》中記載“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，將其用數(shù)列來描述，即每日的截取量為 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即為通項(xiàng)an= 1 2n .學(xué)生們可以很直觀地認(rèn)識到，隨著天數(shù)增加，所剩長度越來越小，會無限地接近于零但又不為零，即“萬世不竭”.由此，即可得到極限的描述性概念：給定一個數(shù)列{an}，隨著n越來越大時(shí)，若通項(xiàng)an無限地接近一個常數(shù)A，則稱該數(shù)列的極限為A，記作 lim n→∞ an=A.此時(shí)，給出 lim n→∞ 1 n =？學(xué)生立刻會答：“等于零.”這表明已經(jīng)建立了感性認(rèn)識.

為了給出嚴(yán)格定義，可以提出問題：如何定量地表達(dá)“接近”？什么叫“無限接近”？一般的，學(xué)生很容易想到利用距離的大小來衡量接近程度，部分學(xué)生也能想到“無限接近”指的是“要多近就有多近”.這就可以理解為給定一個規(guī)定的接近程度（用正數(shù)ε來刻畫接近程度），只要n很大，就一定可以達(dá)到該程度.對上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n <0.1，就需要n>10.換言之，只有從第十項(xiàng)開始（我們用N=10來刻畫這個開始下標(biāo)），才能達(dá)到該接近程度.于是，為了表達(dá)無限接近，只需要對給定的任意一個正數(shù)ε，都能找到這樣一個開始下標(biāo)N，從第N項(xiàng)開始，都有|an-A|= 1 n <ε.自然，該N可通過解不等式獲得.

至此，教師可以與學(xué)生一起將極限的描述性概念用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來：若對任給的ε>0，總存在一個正整數(shù)N，對任意的n>N，都有|an-A|<ε，則稱數(shù)列{an}的極限為A并記作lim n→∞ an=A.

（三）用定義證明數(shù)列極限，強(qiáng)化理解

在公共數(shù)學(xué)的研究生入學(xué)考試中，一般不會考查嚴(yán)格的極限定義.雖然如此，我們還是認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)適時(shí)地讓學(xué)生練習(xí)一下如何利用極限定 義來證明極限.如下的例1是今后計(jì)算極限時(shí)常用的結(jié)論，例2則是從小學(xué)時(shí)代就困惑的循環(huán)小數(shù)問題.

例1 對給定的|q|<1，有 lim n→∞ qn=0.

例2 記an= 0.99 … 9 n個 ，有 lim n→∞ an=1.

（四）趁熱打鐵，將數(shù)列極限概念推廣到函數(shù)極限

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識不是通過教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者憑借原有的知識和經(jīng)驗(yàn)，在他人的幫助和引導(dǎo)下，通過意義建構(gòu)的方式而獲得的.在完成數(shù)列極限的概念后，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限包含兩個變化過程，一是自變量n的變換，一是函數(shù)值an的變化.這樣，我們很容易引導(dǎo)學(xué)生自己給出函數(shù)極限lim x→+∞ f（x）=A的概念：就是隨著自變量x趨于正無窮大時(shí)，函數(shù)值f（x）無限接近于A.在此基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)學(xué)生建立其他極限概念（包括x→-∞，x→a，x→a+，x→a-）.講解時(shí)可以利用圖形的直觀性來展示，此外還要特別注意引導(dǎo)學(xué)生了解本質(zhì)：就是隨著自變量x越來越接近某一值時(shí)，函數(shù)值無限趨近于某個常數(shù).

三、結(jié) 語

對極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對這一概念掌握的好壞將直接影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解，也將決定學(xué)生大學(xué)數(shù)學(xué)功底的修煉水平.本文通過極限部分教學(xué)中的一些具體問題來探索教學(xué)方法.當(dāng)然，教無成法.要提高教學(xué)質(zhì)量，還要從多方面入手.筆者將不斷努力，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索教學(xué)方法，以期從根本上提高教學(xué)效果，讓學(xué)生們真正熱愛數(shù)學(xué)！

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