列方程解應(yīng)用題起始課教學(xué)策略探尋

鄭巧斌+陳海烽

[摘 要] 本文通過一節(jié)實際問題與一元一次方程的起始課，分析了起始課的特點，提出了四個策略：一是要對比方法，感知體現(xiàn)方程優(yōu)越；二是規(guī)范步驟，明晰應(yīng)用題解題程序；三是巧用圖表，直觀感知等量關(guān)系；四是提煉模型，指點今后解題方向.

[關(guān)鍵詞] 列方程；應(yīng)用題；起始課；教學(xué)策略

列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的載體之一. 良好的開端是成功的一半，如何讓學(xué)生在第一節(jié)起始課對該知識有良好的第一印象，使得他們在第一節(jié)課中樹立起使用方程解應(yīng)用題的信念，能夠正確尋找方程等量關(guān)系，建立起列方程解應(yīng)用題的框架. 筆者以七年級數(shù)學(xué)上冊《3.4.1 實踐問題與一元一次方程》起始課為例，談?wù)勛约旱目捶?

對比方法，感知體現(xiàn)方程優(yōu)越

初中數(shù)學(xué)老師都有這樣的體驗，當(dāng)我們教學(xué)生列方程解應(yīng)用題時，很多學(xué)生總是對列方程解應(yīng)用題很不感冒. 因為覺得麻煩，需要假設(shè)未知數(shù)，還需要檢驗等一系列操作，學(xué)生打心眼里認(rèn)為方程并沒有優(yōu)越性，心理上是拒絕方程的. 這種狀態(tài)大多要到初二的時候才能得到緩解. 如何讓學(xué)生盡早地、愉悅地接納方程，是我們起始課教學(xué)的應(yīng)有之義.

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們都知道，如今我們中國已經(jīng)成為體育大國，2016年的里約奧運會上我國共奪得了70枚獎牌，獎牌數(shù)是1984年奪得獎牌數(shù)的2倍多6枚，你能算出1984年我國取得了多少枚獎牌嗎？

生1：2016年的獎牌數(shù)是1984年獎牌數(shù)的2倍多6枚，說明比70枚少6枚的獎牌數(shù)是1984年獎牌數(shù)的2倍，也就是用（70-6）÷2就能得出1984年我國奪得的獎牌數(shù)是32.

師：很好，這位同學(xué)很快得到答案. 還有沒有同學(xué)用不同的辦法？

生2：先假設(shè)1984年我國取得了x枚獎牌. 題目中說，2016年獎牌數(shù)是1984年的2倍多6枚，能得到2x+6=70.

師：（板書2x+6=70，解得x=32. ）這個同學(xué)也回答得很好，請坐. 也就是說這個題目，不管是用列方程還是用列算式來解決，都很簡便. 我們再看下面這個題目：1984年共奪得的32枚獎牌中，金牌數(shù)是銅牌數(shù)的2倍少3枚，銅牌比銀牌多1枚，那么1984年我國取得了幾枚金牌？這個題目，你又將用什么方法來解決呢？請將你的辦法寫在練習(xí)本上.

師：（一分半鐘后）我們請一位同學(xué)來說說看，他所列出的式子是什么樣的，他用了什么辦法來解決.

生3：我是假設(shè)取得銅牌x枚，則銀牌有（x-1）枚，金牌有（2x-3）枚，然后列出方程：x+（2x-3）+（x-1）=32.

師：好，把這三個數(shù)量相加，金牌數(shù)+銀牌數(shù)+銅牌數(shù)= 32枚，算出來得到x=9，x=9是我們的……

生3：銅牌數(shù)，金牌數(shù)就有2×9-3=15枚.

師：恩，15枚，這就得到了答案. 真棒！這位同學(xué)選擇了列方程來解決這個問題，還有同學(xué)用不同辦法來解決的嗎？

師：（無人舉手，無人回答）好，沒有！那么，在這個問題中，為什么大家都不約而同地選擇列方程來解決，而沒有選擇列算式呢？列方程和列算式，在解決實際問題中，有什么區(qū)別？

生4：列算式解題大多數(shù)是用逆向思維，而方程大多數(shù)是用順向思維.

師：歸納得真好，所以當(dāng)我們遇到數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的實際問題時，通常會選擇列方程來解決. 恰當(dāng)?shù)厥褂靡辉淮畏匠痰闹R有助于我們解決現(xiàn)實生活中的許多實際問題. 所以今天，就讓我們一起來研究如何用一元一次方程解決實際問題.

師：板書課題：實際問題與一元一次方程.

筆者在教學(xué)時利用奧運會這一情境，親近學(xué)生的生活，讓學(xué)生容易接納. 同時讓學(xué)生感受算術(shù)解法和方程解法的區(qū)別，特別是強調(diào)后面一個小題因為關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生會使用方程來解決，點明方程的優(yōu)越性. 從學(xué)生的反饋效果來看，也證明是比較有效的，它為下一步的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

規(guī)范步驟，明晰應(yīng)用題解題程序

列方程解應(yīng)用題是有一套程序的，教師要注意把列方程解應(yīng)用題的格式滲透到教學(xué)中去，使得學(xué)生有一個基本的套路. 正如任勇所說：“格式要死，思維要活”. 初一的學(xué)生解題時往往缺乏條理，天馬行空地書寫，對于起始課來說，給定方程解應(yīng)用題的游戲規(guī)則很重要.

【教學(xué)片段2】

師：接下來，我們一起看一下，用一元一次方程來解決實際問題的步驟應(yīng)該有哪些？我們?nèi)绻龅揭粋€實際問題，應(yīng)該要怎么解決它？

生5：先找到題目當(dāng)中的等量關(guān)系，然后利用等量關(guān)系列出相應(yīng)的式子.

師：恩，列什么式子？

生5：就是先把要求的那個量設(shè)為x，然后再根據(jù)找到的等量關(guān)系列出相應(yīng)的式子.

師：也就是列出相應(yīng)的方程，然后再……

生5：解方程.

師：恩，很好！請問，解方程的步驟有哪些？

生5：①去分母，②去括號，③移項，④合并同類項，⑤系數(shù)化為1.

師：好，請坐！那么解方程得到x=a，我們還要對這個答案進行檢驗，檢驗其是不是所列方程的解. 在實際問題當(dāng)中，還要注意檢驗這個解是不是符合實際問題. 在這個過程中，我們就得到了最終的結(jié)果. 根據(jù)剛才所總結(jié)出來的步驟，我們一起來看看剛才所解的這個問題，有沒有漏了什么步驟？

生（齊）：還需要檢驗.

師：恩，漏掉了檢驗，同學(xué)們注意，需要做幾個檢驗呀？

生（齊）：2個.

師：首先將x=9代入方程的左邊，看計算結(jié)果是否等于右邊的32；然后檢驗9枚銅牌是否符合我們的實際問題，很明顯，是符合的. 當(dāng)然最后還需要作答.

筆者在教學(xué)時，通過和學(xué)生對話，讓學(xué)生知道在列方程解應(yīng)用題時需要注意的各個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在起始課就有一個良好的答題框架，對他們家庭作業(yè)的規(guī)范書寫起到良好的示范作用.

巧用圖表，直觀感知等量關(guān)系

在應(yīng)用題教學(xué)中，如何收集和整理信息，并從這些信息中尋找等量關(guān)系是一個難點. 通過出示圖表能讓學(xué)生更容易感知信息的直觀性，從而發(fā)現(xiàn)題目中存在的等量關(guān)系.

【教學(xué)片段3】

師：我們一起來看看例題1，請一位同學(xué)把這個題目朗讀一遍.

生6：例1，某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母. 1個螺釘配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？

師：恩，非常好. 那么大家來看看，你從這個題目中提取到了什么信息？這個題目的未知量有哪些？

生（齊）：應(yīng)安排每天生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)和生產(chǎn)螺母的人數(shù).

師：那么我們將怎樣對它進行假設(shè)呢？

生（齊）：我們應(yīng)該假設(shè)它生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，然后以此列出等量關(guān)系式，1個螺釘配2個螺母.

師：非常好，設(shè)哪個未知量為x？

生（齊）：假設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)或者假設(shè)生產(chǎn)螺母的人數(shù)為x人.

師：那我們就選擇其中一個吧！

生（齊）：那就假設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)為x吧.

師：（與學(xué)生邊假設(shè)邊板書，并強調(diào)單位）恩，設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)挠衳人，則生產(chǎn)螺母有（22-x）人. 接下來，請大家動筆寫寫，在這樣的假設(shè)基礎(chǔ)上，怎么列方程？

師：（2分鐘后）現(xiàn)在可以將你們所列的方程，以4人為一個小組互相討論一下，看看你們所列出來的方程一樣嗎？說說你列出方程的理由是什么.

師：（1分半鐘后）好，暫停. 請一位同學(xué)來說說看，你是怎么來列方程的？

生7：我列的方程是2×1200x=2000×（22-x）.

師：可以告訴我們，你這樣列方程的依據(jù)是什么嗎？

生7：因為題目說1個螺釘配2個螺母，還要剛好配套……

師：恩，不僅1個螺釘配2個螺母，而且還剛好配套，那你由此可以得到什么數(shù)量關(guān)系？

生7：螺母總數(shù)是螺釘總數(shù)的2倍.

師：（板書）2×螺釘總數(shù)=螺母總數(shù).

師：也就是說你認(rèn)為“螺釘總量”就是這里的“1200x”是嗎？可以給我們解釋一下為什么嗎？

生7：因為這里有x個工人生產(chǎn)螺釘，然后每個工人可以生產(chǎn)1200個螺釘，那么人數(shù)乘以單人生產(chǎn)數(shù)就等于它的總數(shù).

師：這位同學(xué)說得很好，為了整理信息，我們可以制作這樣的表格（如表1），同學(xué)們看一下是不是很直觀地呈現(xiàn)出了我們要找的關(guān)系.

生（齊）：借用這樣的圖表來分析等量關(guān)系，列方程更快了.

【教學(xué)片段4】

師：我們再請一位同學(xué)朗讀下面這道例題.

生8：例2，整理一批圖書，由一個人做要40小時完成. 現(xiàn)計劃由一部分人先做4小時，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作. 假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？

師：來看看，這個題目你將要怎么解決？想好后，在練習(xí)本上把答案寫下來.

師：（3分鐘后）寫完的同學(xué)，可以將你的答案跟你小組里的其他同學(xué)交流一下，看看列法一樣嗎？

師：（2分半鐘后）好，暫停！咱們先來看看這位同學(xué)做的，首先他假設(shè)誰為x？我可以將他寫的“一部分人”理解為“前一部分人”嗎？

生9：是假設(shè)先安排的人數(shù)為x.

師：設(shè)前一部分人為x……老師在前面特地交代大家不要忘記什么？

生（齊）：單位.

師：恩，單位一定要記得帶上，則后一部分工作的人為（x+2）人，請這位同學(xué)說說看，你這樣列方程的理由是什么？這是哪位同學(xué)做的？上來說說看吧.

生9：（學(xué)生上臺講解）雖然它表面上看起來的時間減少了，但是實際上按所有人花去的時間加起來，它消耗的總時間還是不變的. 所以抓住了不變量就是40個小時. 前一部分人做了4個小時，所以是4x，后面的也是同理，所以它們之和等于40，即4x+8（x+2）=40，算出x=2.

師：恩，可以理解嗎？剛才提到有個不變量是40，這個40是什么呢？

生9：一個人做需要40小時完成.

師：一個人需要工作的時間，幾個人來做，總時間為40個小時就可以做完了，是不是？所以前部分人做了4x小時，與后部分人做的時間加起來，等于40，即4x+8（x+2）=40. 可以理解嗎？

生（齊）：OK！

師：好，非常好，跟她一樣列法的舉手我看看. （有十幾位同學(xué)舉手）請放下，那還有跟她不一樣列法的嗎？能否借助圖表的方法來分析這道題的關(guān)系？這個題目中，這三個量和工作量之間有什么關(guān)系？

生（齊）：人均效率×人數(shù)×?xí)r間=工作量.

師：很好，那么我們就根據(jù)這幾個量列出表格.

師：（思考3分鐘后，巡視一下，有8名學(xué)生獨立列出了如下表格）筆者接著出示表格，讓其他學(xué)生進一步填充.

生10：由于一個人要工作40小時完成，那么他每小時就工作了工作總量的1/40，前一部分人總共工作了4個小時，也就是工作了4/40，再乘以工作的人數(shù)x，即4x/40，然后再加上后部分工作的是8（x+2）/40，它們的工作總量等于1.

師：可以給我們說說看，你列這個方程的依據(jù)是什么嗎？也就是等量關(guān)系是什么？

生10：工作效率是一樣的，然后乘以總共工作的小時數(shù)再乘以人數(shù)，就等于工作總量.

師：恩，他剛提到了“工作效率×工作時間=工作總量”，這是工程問題中三個基本量之間的關(guān)系. 剛才我們已經(jīng)知道了時間和工作效率，再把人數(shù)假設(shè)出來，是不是自然而然可以得到前部分和后部分的工作量？也就是這位同學(xué)列的，將這兩部分相加，就等于單位“1”.

筆者通過兩個圖表，展示了兩道應(yīng)用題的等量關(guān)系，對第二道應(yīng)用題，有8個學(xué)生（總?cè)藬?shù)50）開始嘗試應(yīng)用列表法得到等量關(guān)系，是一個很不錯的開端，毛主席說過：“星星之火，可以燎原”，何況現(xiàn)在已經(jīng)不是星星之火了. 作為起始課，有這樣的良好開端，那么后面的幾節(jié)應(yīng)用題解題的教學(xué)就可以有更大的收獲.

提煉模型，指點今后解題方向

列方程解應(yīng)用題有兩個常用的模型，這些模型如果沒有進行提煉，學(xué)生往往無法體會到，這時教師就要介入，通過分析與歸納，提煉出模型，使得學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中能更加自覺地使用，使列方程的效率得到提高.

【教學(xué)片段5】

師：等量關(guān)系要怎么樣才能夠更快速地把它找出來呢？一起來看看今天我們所列出來的5個方程，大家能不能從數(shù)量關(guān)系的角度來對這5個方程進行分類？

（五個方程：①2x+6=70；②（2x-3）+（x-1）+x=32；③1/40×4x+1/40×8（x+2）=1；④4x+8（x+2）=40；⑤2×1200x=2000×（22-x））

師：（半分鐘后）如果讓你分類的話，你想怎么分類？

生11：可以分為2類，一類是未知數(shù)在方程兩邊的，有⑤；一類是未知數(shù)單獨在方程一邊的，數(shù)字在另一邊，有①②③④.

師：這位同學(xué)以未知數(shù)的位置為標(biāo)準(zhǔn)來分類，那還有其他分類情況嗎？

師：（時間接近下課）好，那我們一起來看第②個方程，代表的是金牌數(shù)+銀牌數(shù)+銅牌數(shù)=總獎牌數(shù)；再看第③個方程，是前部分的工作量，加后部分的工作量，等于總工作量；第④個也一樣，前部分工作量+后部分工作量=總工作量. 這三個方程都體現(xiàn)了一個基本的數(shù)量關(guān)系，也就是幾個分量之和等于總量.

師：咱們再來看第①個和第⑤個方程，第①個方程的70，代表的是2016年我們所獲獎牌的總數(shù)，而左邊代表的是1984年所獲獎牌數(shù)的2倍多6枚，這也是2016年所獲獎牌數(shù)的另一種表達(dá)形式；第⑤個方程的右邊代表的是螺母的總量，方程的左邊是兩倍的螺釘總量，是不是螺母總量的另一種表達(dá)形式？那么，像這樣的，用兩個不同的式子表示同一個量，是我們今天學(xué)習(xí)的第二個基本模型. （PPT投影如下內(nèi)容）

① 分量1+分量2+分量3=總量.

（總量=各分量的和）

② 方式1=方式2.

（用兩個不同的式子表示同一個量）

那么今后，大家在遇到實際問題時，就可以圍繞著這兩個基本模型來進行思考.

筆者通過歸納這兩個模型，讓學(xué)生今后能沿著這兩個方向去尋找等量關(guān)系，使得他們對數(shù)學(xué)問題能進一步抽象. 正如史寧中所說，數(shù)學(xué)最大的特點就是抽象，越抽象的東西其應(yīng)用的價值就越大.

作為起始課，這樣一節(jié)課下來，學(xué)生體驗了通過分析應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，知道了列方程解應(yīng)用題的基本程序. 這節(jié)課就像一個建筑物的框架一樣，或者說是骨架，后面的各種類型的應(yīng)用題只要根據(jù)這些策略去豐滿，就會對列方程解應(yīng)用題有更大的信心和收獲.