如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力

胡世梅

【摘 要】在信息時(shí)代，對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜、千變?nèi)f化的信息的判斷和選擇能力尤顯重要，而推理能力在分析和評(píng)判問(wèn)題、選擇解題方案中具有重要作用，因此培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是十分重要的。數(shù)學(xué)推理能力訓(xùn)練能使學(xué)生領(lǐng)悟依據(jù)邏輯進(jìn)行思考、表述的真諦，從而學(xué)會(huì)邏輯地推演的思想，這也是數(shù)學(xué)教育對(duì)素質(zhì)教育的重要貢獻(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 推理能力 培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.06.050

《新課標(biāo)》指出：“初中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、歸納、證明、探索等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和初步的演繹推理能力”，它明確了數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生推理能力的作用和價(jià)值，同時(shí)也對(duì)初中學(xué)生應(yīng)具備的推理能力提出了具體要求，那么教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何實(shí)施教學(xué)，從而達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生推理能力的目標(biāo)呢？

一、重視課程中公式、定理的推導(dǎo)

新課程中公式定理貫穿于初中數(shù)學(xué)知識(shí)的每個(gè)領(lǐng)域，是初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)推理能力的有效“載體”。這些公式、定理，本身就是經(jīng)過(guò)嚴(yán)密演繹推理產(chǎn)生的。所以，在教學(xué)中，教師應(yīng)充分認(rèn)識(shí)“公式”、“定理”的作用和價(jià)值。“有意”對(duì)“公式”、“定理”的來(lái)龍去脈進(jìn)行梳理。在教學(xué)中重視推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生積極參與體驗(yàn)推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生推理能力的培養(yǎng)就從知識(shí)的起源開始，例如：對(duì)一元二次方程求根公式推導(dǎo)，對(duì)稱形中位儀定理的推導(dǎo)等等就是很好的例證。

二、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

長(zhǎng)期以來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，過(guò)分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理，使人們誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起重要作用，如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理、四色問(wèn)題等的發(fā)現(xiàn)，其他學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過(guò)合情推理、提出猜想、假說(shuō)和假設(shè)，再經(jīng)過(guò)演繹推理或?qū)嶒?yàn)得到的，也就是恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。

因此，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力，而且要培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。《標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生“能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?！币簿褪且髮W(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過(guò)程。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神，當(dāng)然，由合情推理得到的猜想，需要通過(guò)演繹推理給出證明或舉出反例否定。合情推理的條件與結(jié)論之間是以猜想與聯(lián)想作為橋梁的，直覺(jué)思維是猜想與聯(lián)想的思維基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生善于合情推理的思維習(xí)慣是形成數(shù)學(xué)直覺(jué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，也要重視思維的直覺(jué)探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)合情推理的合理性和必要性。充分發(fā)揮課堂教學(xué)的作用，漸進(jìn)而有序地培養(yǎng)數(shù)學(xué)合情推理能力，提高學(xué)生素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生健康、全面地發(fā)展。

合情推理并非盲目的、漫無(wú)邊際的胡亂猜想。它是以數(shù)學(xué)中某些已知事實(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)牟牧蟿?chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。歐拉曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)?！庇^察是人們認(rèn)識(shí)客觀世界的門戶。觀察可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，通過(guò)觀察還可以減少猜想的盲目性，同時(shí)觀察力也是人的一種重要能力。所以在教學(xué)中要給學(xué)生必要的時(shí)間和空間進(jìn)行觀察，培養(yǎng)良好的觀察習(xí)慣，提高觀察力，發(fā)展合理推理能力。例如，把20，21，22，23，24，25這六個(gè)數(shù)分別放在六個(gè)圓圈里，使這個(gè)三角形每邊上的三個(gè)數(shù)之和相等。通過(guò)觀察圖形以及這六個(gè)數(shù)后，我們應(yīng)該想到，較大的幾個(gè)數(shù)或較小的幾個(gè)數(shù)不能同時(shí)在三角形的某一邊上，否則其和就會(huì)太大或太小，也就是說(shuō)，可以把較小的三個(gè)數(shù)分別放在三個(gè)頂點(diǎn)上，再把三個(gè)較大的數(shù)放在相應(yīng)的對(duì)邊上。

三、加強(qiáng)思維培養(yǎng)

培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論的得出及其證明過(guò)程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的。那么什么是合情推理呢？它是由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出另一個(gè)未知判斷的思維形式，合情推理是根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在某種情境和過(guò)程中推出過(guò)能性結(jié)論的推理。合情推理就是一種合乎情理的推理，主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯(lián)想、自覺(jué)、頓悟，靈感等思維形式。合理推理所得的結(jié)果是具有偶然性，但也不是完全憑空想象，它是根據(jù)一定的知識(shí)和方法，做出的探索性的判斷。因而在平時(shí)的課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理要精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維。

當(dāng)今教育改革正在全面推進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力是大家公認(rèn)的新教改的宗旨，合情推理是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的一種手段和過(guò)程。人們認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門純粹的演繹科學(xué)，這難免太偏見了，忽視了合情推理，合情推理和演繹推理相輔互相成的，在證明一個(gè)定理之前，先得猜想。高斯曾提到過(guò)，他的許多定理都是靠實(shí)驗(yàn)、歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)充的手段。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，正確地恰到好處地應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也是當(dāng)前實(shí)施素質(zhì)教育的需要。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但是另一方面，在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)更像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”，從這一點(diǎn)上講，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維有著不可低估的作用。

四、引發(fā)學(xué)生猜想

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)研究中合情的推理，是數(shù)學(xué)證明的前提。只有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的猜想，才會(huì)激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，啟迪學(xué)生的創(chuàng)造思維，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)猜想是在已有數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)未知量及其規(guī)律做出的似真判斷，是科學(xué)假說(shuō)在數(shù)學(xué)的體現(xiàn)，它一旦得到論證便上升為數(shù)學(xué)理論。牛頓有一句名言：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”數(shù)學(xué)家通過(guò)“提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—作出猜想—檢驗(yàn)證明”，開拓新領(lǐng)域，創(chuàng)立新理論。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多命題的發(fā)現(xiàn)、性質(zhì)的得出、思路的形成和方法的創(chuàng)造，都可以通過(guò)數(shù)學(xué)猜想而得到。通過(guò)猜想不僅有利于學(xué)生牢固地掌握知識(shí)，也有利于培養(yǎng)他們的推理能力。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)，對(duì)于我們教師，能提高教學(xué)效率，增加課堂教學(xué)的趣味性，優(yōu)化教學(xué)條件，提升教學(xué)水平和業(yè)務(wù)水平。對(duì)于學(xué)生，它不但能使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，會(huì)解決問(wèn)題而且能使學(xué)掌握在新問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)該如何應(yīng)對(duì)的思想方法。