郭冠驛

(湖南師大附中梅溪湖中學(xué)，湖南 郴州 423000)

試析導(dǎo)數(shù)在學(xué)習(xí)函數(shù)中的應(yīng)用

郭冠驛

(湖南師大附中梅溪湖中學(xué)，湖南 郴州 423000)

導(dǎo)數(shù)是新課程改革之后增加的內(nèi)容，它在高中的數(shù)學(xué)中作用是非常明顯和突出的，在高中的階段我們進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，可以為我們解決函數(shù)的問題提供非常有利的一個(gè)工具和渠道，同時(shí)利用導(dǎo)數(shù)我們也可以解決函數(shù)中的最值問題，幫助我們更好地對(duì)函數(shù)的形態(tài)進(jìn)行了解，同時(shí)掌握函數(shù)的思想，幫助我們發(fā)展自己的思維能力.

導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；學(xué)習(xí)；應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究中的用途是很廣泛的，因?yàn)楹瘮?shù)是對(duì)一個(gè)客觀世界的變化規(guī)律進(jìn)行描述的非常重要的模型，因此我們?cè)趯?duì)函數(shù)進(jìn)行研究的時(shí)候，要了解它的增減性增減的快慢情況以及最大值最小值的性質(zhì)問題，而導(dǎo)數(shù)對(duì)于這些問題的解決是非常有效的.

1.求函數(shù)的單調(diào)性

如果利用導(dǎo)數(shù)來對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，就必須要求學(xué)生會(huì)求不超過三次方的多項(xiàng)式函數(shù)中的單調(diào)區(qū)間，簡(jiǎn)單點(diǎn)來說，可以歸納總結(jié)如下.如果函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是比零大的，那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)附近是單調(diào)遞增的，反之，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)附近就是單調(diào)遞減的.在這個(gè)研究的過程當(dāng)中，要注意的是我們知道函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)附近的增減情況，但是如果在整個(gè)區(qū)間當(dāng)中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是恒大于零或者恒小于零，那么函數(shù)在整個(gè)區(qū)間都是單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減，如果函數(shù)在這個(gè)區(qū)間中出現(xiàn)一直都等于零的情況，那么就說明這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，是一個(gè)常數(shù)函數(shù).我們對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷有兩種常用方法，一種是直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義來進(jìn)行判斷，簡(jiǎn)單點(diǎn)來說就是利用兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差與零之間的關(guān)系來進(jìn)行判斷，但是這樣的判斷過程是比較繁瑣的，而利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)結(jié)論來對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，這種方法不僅迅速快捷，同時(shí)也更加容易讓同學(xué)們聯(lián)想到.

2.求函數(shù)的極值

對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，在某一個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是零，是這個(gè)函數(shù)取得極值的一個(gè)必要的條件，這個(gè)條件是必不可少的.因?yàn)橛械暮瘮?shù)，它雖然在某一個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，但是不管它是在定義域大于零的區(qū)間還是在定義域小于零的區(qū)間，它的絕對(duì)值都恒大于0，它是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù).在這樣的情況下，這個(gè)點(diǎn)也不會(huì)成為這個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn).也就是說一個(gè)函數(shù)要在某一個(gè)點(diǎn)獲取極值，它的充分條件是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，并且在這個(gè)點(diǎn)附近的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).

我們?cè)趯?duì)函數(shù)極值的點(diǎn)進(jìn)行判斷的時(shí)候，一定要注意函數(shù)的極值點(diǎn)，它肯定是在區(qū)間內(nèi)部的，因此這個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)是不可能成為函數(shù)的極值點(diǎn).如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，那么它在這個(gè)區(qū)間上就沒有極值.有些點(diǎn)不存在導(dǎo)數(shù)，但是它也有可能成為極值點(diǎn)，在這樣的情況下，結(jié)合具體的圖象來進(jìn)行分析.在函數(shù)的定義域當(dāng)中有可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)極大值點(diǎn)或者極小值點(diǎn)，并且極大值不一定要比極小值要大.我們?cè)趯?duì)可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的極值進(jìn)行討論的時(shí)候，如果這一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所獲得的實(shí)根比較多，我們最好使用表格的形式，這樣才可以使得極值點(diǎn)一目了然，并且在討論的時(shí)候要注意分類討論的進(jìn)行.

3.求函數(shù)的最大值或者最小值

對(duì)于函數(shù)來說，集中反映的是他在某一個(gè)點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，并不是它在整個(gè)定義域上的性質(zhì).在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解決或?qū)瘮?shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究的時(shí)候，我們都會(huì)去關(guān)心函數(shù)在一個(gè)指定的區(qū)間上哪一個(gè)值是最大的，哪一個(gè)角色是最小的，由此誕生了函數(shù)的最大值或者最小值的問題.函數(shù)的最大值或者最小值是在函數(shù)的極大值或者極小值的基礎(chǔ)上發(fā)展所得到的.如果從函數(shù)的圖象上觀察，我們可以比較直觀地發(fā)現(xiàn)，如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象本身是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它在閉區(qū)間上肯定是有最大值或者最小值的.因此，我們?cè)谔接懙臅r(shí)候只需要把這個(gè)函數(shù)的所有的極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以從里面看出函數(shù)的最大值或者最小值.

4.生活中實(shí)際問題的應(yīng)用

生活中，我們常常會(huì)遇到一些求利潤(rùn)的最大值、如何使用材料最節(jié)省或者效率最高的問題，這些問題也是我們常說的優(yōu)化性問題，也是最值問題.對(duì)這類問題進(jìn)行解決有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.我們常?？梢园堰@些問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，然后將其轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.在這樣的情況下，導(dǎo)數(shù)就是解決這類問題比較強(qiáng)有力的一個(gè)工具.

綜上所述，在對(duì)函數(shù)的增減性變化的快慢和最值的問題求解的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)非常有用的研究工具，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候要準(zhǔn)確地對(duì)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行合理地掌握，從而幫助我們更好地解決各種函數(shù)的問題.

[1]劉曉華，鄔堅(jiān)耀.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015(26)：34-36.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

郭冠驛( 2000.07-)， 男，湖南師大附中梅溪湖中學(xué)在校學(xué)生.

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