卞慶龍

在時(shí)下的數(shù)學(xué)課堂中，尤其在賽課、觀摩課中，經(jīng)常有教師在課中或課尾運(yùn)用一些數(shù)學(xué)史材料。一方面是因?yàn)楝F(xiàn)行的《數(shù)學(xué)》教材中安排了一些數(shù)學(xué)史材料、背景材料、知識(shí)應(yīng)用等內(nèi)容（如人教版、蘇教版《數(shù)學(xué)》教材中的“你知道嗎？”專欄）；另一方面，是執(zhí)教者有意識(shí)的主動(dòng)追求，用以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增加數(shù)學(xué)課堂的文化品位。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)除了要讓學(xué)生掌握知識(shí)、技能外，還承載著育人的任務(wù)。無(wú)疑，數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教育有著巨大的教育價(jià)值。所以，我們不要把數(shù)學(xué)史的運(yùn)用僅僅作為一種點(diǎn)綴、裝飾，而是要在數(shù)學(xué)與人文之間建造起一座橋梁，去塑造學(xué)生的人格品質(zhì)，去提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高郵市數(shù)學(xué)名師工作室打磨了一節(jié)“用字母表示數(shù)”，在此方面作了一些有益探索。

【片段1】與史同步，經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)過(guò)程

（課件依次出示：用小棒圍成的1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)三角形。）

師：用小棒圍成不連續(xù)的1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)三角形，各需要多少根小棒？

師：像這樣圍4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)三角形，分別需要多少根小棒？怎樣列式表示所需小棒的根數(shù)？

（學(xué)生說(shuō)，教師板書算式。）

師：你們能繼續(xù)擺下去嗎？你想擺多少個(gè)三角形？需要多少根小棒？

（教師指多名學(xué)生回答。）

師：你知道三角形的個(gè)數(shù)和用的小棒根數(shù)有什么關(guān)系嗎？

……

師：大家想擺的三角形個(gè)數(shù)各不相同，你們能用一個(gè)式子表示我們已經(jīng)擺好的三角形所用小棒根數(shù)，又能表示我們心中想擺出的三角形所用小棒根數(shù)嗎？

（教師行間巡視，選擇學(xué)生有代表性的作業(yè)投影展示，并組織學(xué)生討論。）

師（展示作業(yè)1：4×3=12根）：這道式子表示什么？

生：表示擺4個(gè)三角形用12根小棒。

師（展示作業(yè)2：所用小棒根數(shù)=三角形個(gè)數(shù)×3）：你們認(rèn)為哪個(gè)式子好？

生：作業(yè)2的式子好，它能表示所有情況。

師（展示作業(yè)3：所用小棒根數(shù)=a×3）：你們認(rèn)為哪個(gè)式子好？

生：作業(yè)3的式子好，它不僅能代表所有的擺法，而且更簡(jiǎn)潔。

師：這里a表示什么？a×3表示什么？

生：a表示擺成的三角形個(gè)數(shù)，a×3表示所需小棒的根數(shù)。

生：a×3還能表示a的3倍。

師：小棒根數(shù)也就是數(shù)量，也就是說(shuō)a×3能夠表示數(shù)量；a×3還能表示a的3倍，說(shuō)明a×3還能表示數(shù)量關(guān)系。（板書：數(shù)量，數(shù)量關(guān)系。）

師：a能表示1個(gè)三角形嗎？能表示2個(gè)三角形嗎？能表示3個(gè)、4個(gè)三角形嗎？a能表示你心中想擺的三角形嗎？

生：能。

生：a表示變化的數(shù)。

師：a能取小數(shù)嗎？a能表示分?jǐn)?shù)嗎？

生：不能，這里a只能表示自然數(shù)。

師：原來(lái)a表示的變化的自然數(shù)是有范圍的。（板書：變化，范圍。）

師：這里的3為什么不用字母表示？

生：3是我們已經(jīng)知道的，是固定不變的數(shù)，所以不需要用字母表示，我們用字母表示變化的數(shù)，一道式子就可以表示所有的答案。

師：通過(guò)擺三角形我們知道：變化的數(shù)量可以用字母表示，同一個(gè)字母可以表示很多的數(shù)，已經(jīng)知道的固定不變的數(shù)不需要用字母表示。

【賞析】代數(shù)發(fā)展經(jīng)歷了文辭代數(shù)、縮寫代數(shù)、符號(hào)代數(shù)三個(gè)歷史階段。教師有目的、有順序地展示學(xué)生的作業(yè)，其目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過(guò)程，讓兒童心理發(fā)生、發(fā)展順序同代數(shù)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展順序、邏輯順序相一致。這里學(xué)生用字母表示已知數(shù)，用一道式子表示所有的答案，初步感受到含有字母的式子的概括性特征。教師追問(wèn)“3為什么不用字母表示”，進(jìn)一步讓學(xué)生感受到這里字母表示的是變量，常數(shù)是不需要用字母表示的。教學(xué)中，教師巧妙借鑒代數(shù)發(fā)展史，卻不露痕跡，它對(duì)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)功底提出了更高的要求。

【片段2】了解規(guī)則由來(lái)，掌握代數(shù)式簡(jiǎn)寫方法

1.教學(xué)a×4的簡(jiǎn)寫

師：如果用S表示長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a，寬是4，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積怎么表示？

生：S=a×4。

師：如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是x，寬是4，面積該怎么表示呢？

生：x×4。

師：德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)乘號(hào)和字母“x”很像，就提出如下建議：

課件出示：

[你知道嗎？

德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為“×”容易與字母“x”相混淆，建議用“·”表示乘號(hào)；如果有數(shù)，數(shù)要寫在字母的前面。這樣，用“·”標(biāo)志乘號(hào)得到了廣泛的承認(rèn)。如今，歐洲大陸派（德、法等國(guó)）規(guī)定以“·”作乘號(hào)。其他國(guó)家則以“×”作乘號(hào)，“·”為小數(shù)點(diǎn)。而我國(guó)則規(guī)定以“×”或“·”作乘號(hào)都可，一般用于字母或括號(hào)前的乘號(hào)可略去。

]

（教師請(qǐng)學(xué)生根據(jù)上述規(guī)定重新說(shuō)說(shuō)a×4、x×4可以怎么簡(jiǎn)寫，并根據(jù)學(xué)生回答相機(jī)板書a×4=4·a=4a。x×4=4x。）

師：a×4可以看成表示4個(gè)a，你覺(jué)得哪種寫法看起來(lái)更簡(jiǎn)潔？

生：4a和a×4都表示4個(gè)a，但是4a看起來(lái)更簡(jiǎn)潔。

2.介紹a×1的簡(jiǎn)寫

師：a×1該怎樣簡(jiǎn)寫呢？

生：a×1=a。

師：為什么等于a？

生：任何數(shù)乘1得原數(shù)。

師：開始我們寫的a×3該怎么簡(jiǎn)寫呢？

（教師請(qǐng)學(xué)生在作業(yè)紙上寫一寫。）

3.教學(xué)字母乘字母的簡(jiǎn)寫

（1）教學(xué)a×a的簡(jiǎn)寫。

師：如果正方形的邊長(zhǎng)是a，那么它的面積是多少？

生：a×a。

師：后來(lái)又有數(shù)學(xué)家把幾個(gè)相同字母連乘時(shí)，進(jìn)行簡(jiǎn)寫。比如a×a寫成a2，表示兩個(gè)a連乘，讀作a的平方。

（學(xué)生讀a2，并說(shuō)說(shuō)書寫時(shí)要注意些什么。）

師：a2表示什么？b×b怎么簡(jiǎn)寫？c2等于什么呢？

學(xué)生先在作業(yè)紙上寫一寫，再在全班交流，教師相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生比較a2與2a的區(qū)別。

（2）教學(xué)a×b的簡(jiǎn)寫。

師：如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是a和b，它的面積怎么表示？

生：S=a×b=ab。

……

【賞析】教學(xué)代數(shù)史的簡(jiǎn)寫時(shí)，教師通常讓學(xué)生自學(xué)課本或者教師直接講授。本教學(xué)片段中教師通過(guò)復(fù)習(xí)梳理學(xué)過(guò)的平面圖形面積公式，引出并串聯(lián)起含有字母的乘法式子的簡(jiǎn)寫。采用鏈接式的方式直接出示相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)規(guī)定的由來(lái)，不僅知道怎么簡(jiǎn)寫，而且知道為什么這樣簡(jiǎn)寫，知道數(shù)學(xué)規(guī)定也是有趣的、講道理的，并非不講理的強(qiáng)制性規(guī)定。對(duì)于a×1的簡(jiǎn)寫和加號(hào)、減號(hào)、除號(hào)的不可省略，則是為了啟發(fā)學(xué)生自己悟出其中的道理。

【片段3】以史為鑒，滲透代數(shù)思想

師（課件出示5本字典）：如果用a表示字典的（ ），那么5a表示（ ）。

生1：如果a表示一本字典的價(jià)錢，5a就表示5本字典的總價(jià)。

生2：如果a表示一本字典的厚度，那么5a就表示5本字典的總厚度。

生3：如果a表示一本字典的總量，那么5a就表示5本字典的總量。

生4：如果a表示一本字典的頁(yè)數(shù)，那么5a就表示5本字典的總頁(yè)數(shù)。

生5：如果a表示一本字典的字?jǐn)?shù)，那么5a就表示5本字典的總字?jǐn)?shù)。

師：剛才我們圍繞這本字典說(shuō)了a和5a表示的意義。我們還能用a和5a表示其他事物的意義嗎？我們還能繼續(xù)像這樣說(shuō)下去嗎？

生：如果a表示一個(gè)工作日工作的時(shí)間，那么5a表示5個(gè)工作日工作的總時(shí)間。

……

師：a與5a多神奇?。?/p>

【賞析】從古希臘丟番圖所代表的縮寫代數(shù)時(shí)代，發(fā)展到韋達(dá)所代表的符號(hào)代數(shù)時(shí)代，經(jīng)歷了1 200多年。丟番圖用字母解方程，往往一題一種解法，無(wú)共性規(guī)律可循。韋達(dá)被稱為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)之父，是因?yàn)轫f達(dá)用字母表示數(shù)，目的是揭示“類”題的規(guī)律，具有高度的概括性，解題方法具有一般性。本教學(xué)片段的教學(xué)目的就是滲透數(shù)學(xué)發(fā)展史所呈現(xiàn)的代數(shù)思想，讓學(xué)生回顧用字母表示運(yùn)算律和公式，主要是讓學(xué)生體悟字母不僅可以運(yùn)算而且可以推理，字母表達(dá)式子具有概括性、間接性，所得到的結(jié)論更具一般性。

啟發(fā)學(xué)生對(duì)“a”和“5a”這兩個(gè)符號(hào)進(jìn)行多種現(xiàn)實(shí)意義的解讀，使得a和5a能表示不同類的量具有多種意義，使得現(xiàn)實(shí)情境符號(hào)化的過(guò)程更加簡(jiǎn)潔和概括，這樣有利于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思維的遷移性、變通性和靈活性。

數(shù)學(xué)課堂不僅要傳授知識(shí)和技能，還要育人，提升人的學(xué)科素養(yǎng)，其重要的途徑就是滲透數(shù)學(xué)思想。本課所滲透的代數(shù)思想，無(wú)疑是從代數(shù)發(fā)展史而來(lái)。重點(diǎn)讓學(xué)生體會(huì)：數(shù)只能表示一種情況，而字母能代表一類情況；字母不僅能表示未知數(shù)，而且能表示不確定的已知數(shù)（變量）。用字母表示不確定的數(shù)，是因?yàn)樽帜副磉_(dá)式具有高度的概括性，更有利于我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)規(guī)律、表示規(guī)律，從而完成從“確定”到“不確定”、從“個(gè)”到“類”、從“術(shù)”到“道”、從“算術(shù)”思維到“代數(shù)”的跨越。