錢亞琴

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生的抽象思維已經(jīng)有了高度重視，這是由高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容決定的. 但在教學(xué)的過程中容易忽視學(xué)生形象思維所起的促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的作用. 實(shí)踐證明，不能因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)知識(shí)的抽象，而遮蔽了形象思維應(yīng)有的作用，以形象思維突破學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，然后再以抽象思維幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)及其體系，是有效的教學(xué)途徑. 基于形象思維與抽象思維的結(jié)合，可以為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尋找到堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；形象思維；抽象思維；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)是最需要注重思維的，通常在人們的意識(shí)中，高中階段之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的是形象思維，而到了高中之后則需要抽象思維. 這樣的判斷主要是基于初高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的不同而做出的，高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容抽象復(fù)雜，尤其是從數(shù)學(xué)教材來看，基本上可以認(rèn)為高中數(shù)學(xué)幾乎完全是數(shù)學(xué)符號(hào)與推理的集合體，再也沒有此前學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到的具體例子或形象事物. 那么，是不是說在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中就不需要再重視形象思維了呢？答案顯然不是這樣的. 在筆者看來，高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更需要重視形象思維的參與，尤其是注意讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠切實(shí)感受到形象思維與抽象思維的結(jié)合，這樣才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不至于陷入一個(gè)完全的符號(hào)與邏輯的世界，才可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)化解難度，尋找到階梯；也才能真正面向全體學(xué)生，落實(shí)好有效教學(xué)的初衷，進(jìn)而切實(shí)提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

[?] 面對(duì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)，從形象思維處突破

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，無疑是存在諸多學(xué)習(xí)難點(diǎn)的. 這些學(xué)習(xí)難點(diǎn)如何克服，關(guān)鍵在于對(duì)學(xué)生思維方式的巧妙利用，這也是筆者在實(shí)際教學(xué)中摸索出來的突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)的一個(gè)有效的方式. 具體來說，就是在遇到學(xué)習(xí)難點(diǎn)的時(shí)候，教師一般想到的往往是從教學(xué)方式角度去尋找突破方法，這種思路本沒有什么問題，但這種思路又常常不是那么有效，因?yàn)榧兇鈴慕處煹慕嵌热ヅ?，?shí)際上是忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位；反之，如果從學(xué)生思維的角度入手，充分利用學(xué)生的思維特點(diǎn)來完成難點(diǎn)突破，其實(shí)是省時(shí)省力的做法. 因?yàn)檫@里存在著一個(gè)理論上的認(rèn)識(shí)，即所謂的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，就是學(xué)生思維難以加工，視角難以突破的地方，因此對(duì)于難點(diǎn)的突破，只有從學(xué)生的思維入手，為學(xué)生的思維搭建臺(tái)階，才能取得預(yù)期的效果.

比如說在運(yùn)用“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的知識(shí)解決實(shí)際問題的教學(xué)中，筆者注意到這樣的一個(gè)問題：當(dāng)給學(xué)生呈現(xiàn)一些實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生的思維往往難以一下子打開. 如筆者曾經(jīng)給學(xué)生這樣的一個(gè)實(shí)際問題：已知某公司第一年的產(chǎn)值為a，根據(jù)公司生產(chǎn)計(jì)劃，其后每一年的增長率為10%，那五年后這個(gè)公司的總產(chǎn)值是多少？在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的表現(xiàn)出乎意料，他們并不是無法解決此問題，因?yàn)樗麄兂３Ｓ梅堑缺葦?shù)列前n項(xiàng)和的知識(shí)可以求解. 而這樣的思路顯然不是當(dāng)初的教學(xué)目標(biāo)，而當(dāng)筆者提出必須用所學(xué)過的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的知識(shí)來求解時(shí)，學(xué)生就遇到了困難，相當(dāng)一部分學(xué)生的共同表現(xiàn)，就是不知道從哪里下手. 由于筆者在此知識(shí)教學(xué)的過程中，帶有強(qiáng)烈的分析學(xué)生思維的意識(shí)，于是自然就去猜想學(xué)生此時(shí)思維是什么樣的情形. 根據(jù)課堂上即時(shí)與學(xué)生的簡單對(duì)話以及對(duì)部分學(xué)生在草稿紙上的演算，筆者判斷學(xué)生此時(shí)遇到的問題就是：無法將實(shí)際問題中給出的信息與等比數(shù)列前n項(xiàng)和的關(guān)系聯(lián)系起來. 換句話說，他們不知道這個(gè)實(shí)際例子與等比數(shù)列前n項(xiàng)和有什么直接的聯(lián)系. 正是這種聯(lián)系建立不起來，導(dǎo)致了學(xué)生所用的數(shù)學(xué)工具與預(yù)設(shè)的目標(biāo)背道而馳.

顯然，這可以從形象思維的角度加以突破. 因?yàn)檫@種聯(lián)系看起來是數(shù)學(xué)符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)，實(shí)際上卻是將實(shí)際問題利用形象思維進(jìn)行加工，以發(fā)現(xiàn)其中的等比關(guān)系的過程. 于是筆者引導(dǎo)學(xué)生去思考：在這個(gè)實(shí)際問題中，每年遞增10%是什么意思？學(xué)生起初想到的是第二年比第一年多10%，而這正是學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)，教師需要進(jìn)一步追問：其與等比數(shù)列是不是存在什么關(guān)系？這個(gè)時(shí)候?qū)W生就需要調(diào)用等比數(shù)列的定義，結(jié)果發(fā)現(xiàn)每一年的總值之比其實(shí)是一個(gè)固定值，即1.1.認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)之后，本難點(diǎn)就迎刃而解，于是等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式自然就成為學(xué)生選擇解決問題的工具了.

在這個(gè)過程中，正是因?yàn)楣P者注意到學(xué)生思維的困難并尋找到了從形象思維處突破學(xué)生的思維難點(diǎn)，才較為成功地解決了問題. 這個(gè)過程中，也沒有教師刻意的引導(dǎo)與機(jī)械的灌輸，有的只是讓學(xué)生的思維靈光一閃的機(jī)會(huì).

[?] 注重知識(shí)構(gòu)建，以抽象思維為載體

形象思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中起的往往是一種促進(jìn)知識(shí)理解、應(yīng)用的作用，而抽象思維則更多地服務(wù)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建. 畢竟，我們說數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，這里的“數(shù)”自然是抽象的結(jié)果，而“形”也是基于形象思維對(duì)實(shí)際事物的思考，然后再抽象出的最為簡潔的圖. 只是在教學(xué)中要注意的是，以學(xué)生的形象思維為基礎(chǔ)去構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，往往更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

如上面一點(diǎn)所舉的例子中，筆者給學(xué)生一個(gè)反思的時(shí)間，讓他們想自己為什么當(dāng)初沒有意識(shí)到用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的知識(shí)來解決. 學(xué)生有了這樣的一個(gè)反思機(jī)會(huì)，可以將自己思維前后的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，然后就可以發(fā)現(xiàn)自己的問題的關(guān)鍵在于，沒有發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題背后的等比關(guān)系，而這也就提醒他們?cè)谝院蟮慕忸}中，要善于發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系. 這實(shí)際上是一個(gè)什么過程？課堂上一個(gè)學(xué)生瞬間反映出來的一個(gè)詞語，叫“數(shù)學(xué)模型”. 筆者肯定了他的思考成果，告訴他對(duì)于實(shí)際問題的解決，最需要的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即要將實(shí)際問題中的旁枝去掉，只留下一個(gè)與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的架子，這就是數(shù)學(xué)模型形成的基礎(chǔ). 這樣的認(rèn)識(shí)，在筆者看來，就是數(shù)學(xué)知識(shí)的一種構(gòu)建過程.

除此之外，還有一個(gè)例子也具有研究的價(jià)值：在“平面的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容的教學(xué)中，要讓學(xué)生順利地建構(gòu)出運(yùn)用數(shù)學(xué)語言（包括圖形語言和符號(hào)語言）去描述平面的無限延展性，首先必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾個(gè)基本的平面圖形（具體實(shí)例這里不一一列舉），而這就是一個(gè)形象思維的過程. 在這個(gè)過程中，教師的主要任務(wù)其實(shí)不是提供實(shí)例，而是讓學(xué)生基于實(shí)例去展開想象，將有限的平面圖形想象成可以無限延展的平面. 這是利用形象思維構(gòu)建想象表象的過程，在此過程的基礎(chǔ)上，如何幫學(xué)生構(gòu)建無限延展的數(shù)學(xué)語言呢？要知道，學(xué)生僅有意會(huì)但是無法言傳，可是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌，也是數(shù)學(xué)語言運(yùn)用的缺失. 但是直接的灌輸顯然不是教學(xué)的好策略，并不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 于是筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：平面的這一特點(diǎn)與此前學(xué)習(xí)過的哪個(gè)例子有相似之處？這個(gè)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生調(diào)用此前所學(xué)過的知識(shí)，而“直線”也就浮現(xiàn)在學(xué)生的腦海中. 學(xué)生想到直線可以向兩端無限延伸，而平面則是向任意一個(gè)方向無限延伸；點(diǎn)和直線沒有厚薄（用學(xué)生的話說叫“不占空間”），而一綜合，平面也就是一個(gè)沒有厚薄且可以無限延伸的面. 于是圖形語言就表現(xiàn)為畫在紙上的一個(gè)平面圖形，而數(shù)學(xué)語言就是某一個(gè)希臘字母或者是三角形、四邊形的頂點(diǎn)符號(hào). 經(jīng)過這樣的一個(gè)從形象思維到抽象思維的過程，大腦中關(guān)于平面就是三個(gè)層次的認(rèn)識(shí)：基本層次是具體的平面實(shí)例；其次就是平面的符號(hào)表示；最后就是平面的數(shù)學(xué)語言表示. 從而也就成功地構(gòu)建出了關(guān)于平面及其基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí).

[?] 兩種思維結(jié)合，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)是最需要形象思維與抽象思維的結(jié)合的，對(duì)于形象思維是不能忽視的，對(duì)于抽象思維是不能任意拔高的. 雖然說高中學(xué)生的抽象思維能力較強(qiáng)，但這其實(shí)并不能完全支撐起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 事實(shí)證明，只有基于形象思維基礎(chǔ)上的抽象思維，才能構(gòu)建起結(jié)實(shí)穩(wěn)固的數(shù)學(xué)知識(shí)的大廈.

更重要的是，注重形象思維與抽象思維在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的結(jié)合，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)也是極有幫助的. 學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)前研究得比較熱烈的一個(gè)話題，對(duì)于這一話題，筆者的觀點(diǎn)是其不能脫離學(xué)科本質(zhì)，不能脫離了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體過程而奢談學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng). 高中數(shù)學(xué)學(xué)科所要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)內(nèi)容較多，數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)問題解決都是其中的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容只有在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的過程中才能實(shí)現(xiàn). 而數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)又是離不開思維的，對(duì)于不同學(xué)生，或者說即使是同一學(xué)生在學(xué)習(xí)同一數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，形象思維與抽象思維也是同時(shí)并存的. 如果教師在教學(xué)的過程中忽視了其中的形象思維基礎(chǔ)，那對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生來說，可能就是人為地制造了學(xué)習(xí)的困難. 而這對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)來說，顯然是有缺憾的. 因此，培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要從兩種思維方式出發(fā)，要基于形象與抽象思維的結(jié)合，然后將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠基其中，如此方可實(shí)現(xiàn)教學(xué)初衷.